Appunti Statistica

n XY X Y Y X

= = - = -

b a b Y b

X

( )

å å 2

-

2

n X X n n

Metodo dei minimi quadrati:

2

n ( )

å

= - =

ˆ

D y y min!

i i

=

i 1 2

n ( )

å

= - - × =

D y a b x min!

i i

=

i 1

Il problema di minimo si risolve derivando D rispetto al parametro a e rispetto al parametro b e uguagliando a 0 le

derivate parziali. Il sistema che si ottiene è un sistema lineare in due equazioni in due incognite, ha un’unica

soluzione. å ( )( )

n - -

x x y y

i i

=

i 1

= =

b , a y - bx .

å ( )

à n 2

-

x x

i

=

i 1

Retta dei minimi quadrati (proprieta’)

Passa sempre per il punto di coordinate x,y (barincentro dei dati)

n n

å å

= ˆ

y y

E’ tale che (somma dei valori osservati=somma dei valori stimati)

i i

= =

i 1 i 1

n n

å å

- = =

ˆ

( y y ) e 0

Ovvero (somma dei residui = zero)

i i i

= =

i 1 i 1

Usi della retta dei minimi quadrati

L’interpolazione si usa per predire i valori di Y servendosi dei valori di X che si trovano all’interno

• dell’intervallo dei dati.

Risultati soddisfacenti quando la retta ben si adatta ai dati

–

L’estrapolazione si usa per predire i valori di Y attraverso i valori di X che si trovano al di fuori dell’intervallo

• dei dati.

Procedura pericolosa. Non si conoscono le relazioni esistenti al di fuori dell’intervallo.

–

CAPITOLO 5

Che cos’è la probabilità?

La probabilità è una misura di quanto è verosimile il verificarsi di un evento.

• Un esperimento (casuale) è qualsiasi azione che ha come risultato un insieme di dati registrabili.

•

Quando effettuiamo un esperimento:

Lo spazio campionario, S, è l’insieme di tutti gli esiti elementari possibili di un esperimento.

• Spazio campionario finito (numero finito di esiti)

• Spazio campionario infinito (numero infinito di esiti)

•

Eventi casuali: Un evento casuale è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario S.

Evento complementare: Il complemento di un evento A è l’insieme di tutti gli esiti dello spazio A A

campionario S che non appartengono ad A e si denota con A’ o Ā, che si può leggere «non A»

Eventi

Quando siamo interessati ad indagare più di un evento

È

L’evento unione A o B (A B) indica che o A o B o entrambi possono verificarsi. Contiene tutti gli esiti

• elementari di S che appartengono ad A o a B (o a entrambi).

Ç

L’evento intersezione A e B (A B) indica che sia A sia B si verificano. Contiene tutti gli esiti elementari di S

• che appartengono sia ad A che a B.

Due eventi A e B sono detti mutuamente esclusivi o incompatibili se non hanno casi in comune, cioè AÇB=Ø

•

Eventi incompatibili: A S B

Gli eventi in probabilità

La probabilità di un evento casuale A, P(A), è una misura di quanto sia verosimile che accada l’evento A. Cioè

• è un numero associato a A che ne quantifica a priori la possibilità di realizzazione.

Se ogni esito elementare dello spazio campionario ha la stessa probabilità di verificarsi, allora definiamo la

• numero di casi " favorevoli

"

probabilità di A (definizione «classica») numero di casi in cui A si può verificare =

P ( A

)

=

P ( A

) numero di casi " possibili"

numero totale di esiti elementari in S

Definizione di probabilità:

Definizione classica: numero di casi favorevoli ad A/numero totale di casi (solo se i casi sono equiprobabili). Le

probabilità che andremo a calcolare soddisferanno le condizioni previste della definizione assiomatica (la probabilità

non viene definita in modo operativo ma deve soddisfare alcune condizioni (assiomi):

≥ ∀ ⊆

1. P(A) 0 A S

2. P(S) = 1

∩ ∅ ∪

3. A B = P(A B) = P(A) + P(B)

à ≤ ≤

La probabilità di un evento A è un numero compreso tra 0 e 1. 0 P(A) 1

La probabilità dell’intero spazio campionario è 1:

P(S) = 1

P(A) = 1 se A si presenta necessariamente (evento quasi certo) A A

P(A) = 0 se A non può verificarci (evento quasi impossibile) 1-P(A)

Evento complementare: P(A) = 1-P(A)

Eventi incompatibili

Si usa: È

Regola semplice della somma: P(A B) = P(A)+P(B)

altrimenti: È Ç

Regola generale della somma: P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) Ç

P ( A B )

( ) =

P A B

Probabilità condizionata: è la probabilità che si verifichi A dato che si è verificato B. P ( B )

P(B)¹0

• Due eventi A e B sono indipendenti se la probabilità che un evento si verifichi non è modificata dal verificarsi

- =

P ( A | B ) P ( A

)

dell’altro evento: oppure

Due eventi sono indipendenti se la probabilità della loro intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità:

- Ç = × Ç

P ( A B ) P ( A

) P ( B ) infatti: P ( A B )

= = Û Ç = ×

P ( A | B ) P ( A

) P ( A B ) P ( A

) P ( B )

P ( B )

Riepilogo:

Ā (A’) è l’evento complementare di A, P(Ā)=1-P(Ā)

AÇB è l’evento intersezione tra gli eventi A e B

AÈB è l’evento unione tra gli eventi A e B

Due eventi A e B sono incompatibili se AÇB=Æ, e quindi P(AÇB)=0

Due eventi A e B sono indipendenti se P(AÇB)=P(A)*P(B)

P(A|B)= P(AÇB)/P(B) è la probabilità condizionata di A dato B

Se A e B sono eventi indipendenti, allora P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B)

Probabilità dell’unione di due eventi (caso generale):

P(AÈB) = P(A)+P(B)-P(AÇB)

Probabilità dell’unione di due eventi incompatibili:

P(AÈB) = P(A)+P(B)

CAPITOLO 6

Variabili casuali

Una variabile casuale X è una variabile quantitativa i cui valori sono determinati dai risultati di un esperimento

• casuale

Le variabili casuali possono essere discrete o continue.

• Discreta se assume un numero finito o al più numerabile di valori

• Continua se può assumere tutti i valori appartenenti ad un intervallo reale

• L’insieme di tutti i possibili valori che X può assumere è detto supporto

• T 1

S S

ℝ C 0

Una v.c è una funzione definita su uno spazio campionario S a valori reali (ℝ).

Variabili casuali discrete: Funzione di probabilità

La distribuzione o funzione di probabilità p(x) di una variabile casuale X è la funzione che associa ad ogni

• possibile valore di X la probabilità che X assuma tale valore: å

£ £

= = 0 p ( x ) 1

p ( x ) P ( X x ) =

p(x) 1

supporto

Valore atteso e varianza å

= ×

E ( X ) x p ( x )

Il valore atteso di una v.c. discreta X con funzione di probabilità p(x) è definito come

• supporto

å

La varianza di una v.c. X è definita come

• = - ×

2

V ( X ) [ x E ( X )] p ( x )

supporto

Variabile casuale Variabile osservata su una popolazione

å

= ×

E ( X ) x p ( x ) P P

1 å å

µ = × = ×

x f x rf

i i i i

supporto N = =

i 1 i 1

å

= - ×

2

V ( X ) [ x E ( X )] p ( x ) P P

1 å å

s µ µ

= - × = - ×

2 2 2

( x ) f ( x ) rf

i i i i

supporto N = =

i 1 i 1

Notare l’analogia tra

valore atteso di una v.c. e media aritmetica di una variabile statistica

– Varianza di una v.c. e varianza di una variabile statistica

–

Variabile casuale di Bernoulli (o bernoulliana)

Si consideri un esperimento che può portare a due soli esiti: A (successo) e A’ (insuccesso), con probabilità

rispettivamente p e 1-p

P(A)=p

P(A’)=1-P(A)=1-p

La variabile casuale discreta X che associa all’evento A il numero 1 e all’evento A’ il numero 0 è una v.c. di Bernoulli

di parametro 0<p<1.

La sua funzione di probabilità è quindi P(X=0)=1-p e P(X=1)=p

Variabile casuale binomiale

Si consideri un esperimento che può portare a due soli esiti: A (successo) e A’ (insuccesso), con probabilità

rispettivamente p e 1-p

P(A)=p

P(A’)=1-P(A)=1-p

Si supponga inoltre

di ripetere l’esperimento n volte (n prove)

• che le n prove siano indipendenti

• che la probabilità p di successo sia costante per ogni prova

•

La v.c. che descrive il numero di successi in queste n prove (cioè il numero di volte che si verifica l’evento A) è detta

X ~ Binom ( n

, p )

Binomiale con parametri n e p

I valori che questa variabile può assumere sono tutti gli interi da 0 a n: 0, 1, …, n

Cioè il suo supporto è S={0, 1, 2,…, n}

Funzione di probabilità della Binomiale: æ ö

n n

!

ç ÷ = Coefficiente binomiale

æ ö

n ç ÷

-

ç ÷

= = - = -

x n x

P ( X x ) p (

1 p ) , x 0

, 1

, 2

, ..., n x ( n x )! x

!

è ø

ç ÷

x

è ø

= × - × - × × ×

n

! n ( n 1

) ( n 2

) ... 2 1 Fattoriale

Variabile casuale binomiale

Media e varianza della Binomiale: X~Binom(n, p)

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

Variabili casuali continue

Assumono valori in un intervallo di numeri reali

• Sono caratterizzate da una funzione di densità di probabilità f(x)

• La probabilità che una v.c. assuma un determinato valore è sempre 0!

• f(x)

Funzione di densità di probabilità per una variabile casuale continua f(x)>0

Rappresentazione grafica della probabilità

P(x <X<x ) L’area totale sottesa dalla curva è pari a 1, cioè

1 2 valori di X

+¥

ò =

f ( x ) dx 1

f(x) - ¥

Probabilità rappresentata dall’area sottesa dalla curva in (x ,x )

1 2

x 2

ò f ( x ) dx

x

1

x

x x

1 2

Intervallo di valori

Analogia con variabili continue in statistica descrittiva

Istogramma Area del rettangolo pari a rf (frequenza relativa della terza classe)

3

Densit&ag