Appunti statistica

Curva normale

È la più importante distribuzione continua e trova numerose applicazioni nello studio dei fenomeni biologici. Fu proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori, ed è stata attribuita anche a Laplace (1821) che ne definì le proprietà principali in anticipo rispetto alla trattazione completa di Gauss. Il nome normale deriva dalla convinzione che molti fenomeni fisico-biologici si distribuiscono con frequenze più elevate nei valori centrali e frequenze progressivamente minore verso gli estremi.

È detta anche curva degli errori accidentali in quanto, soprattutto nelle discipline fisiche, la distribuzione degli errori commessi nel misurare ripetutamente la stessa grandezza, è molto ben approssimata da questa curva. Quando le distribuzioni di frequenze prima risultano crescenti, raggiungono un massimo e poi cominciano a decrescere fino ad arrivare a zero, si possono parlare di variabili che tendono a distribuirsi normalmente ossia che seguono un andamento secondo la curva di Gauss.

In una distribuzione simmetrica, i valori media aritmetica, moda e mediana coincidono. Se non valgono le condizioni precedenti, la distribuzione si dice asimmetrica. In particolare, se la media è maggiore della mediana e quest’ultima è maggiore della moda si ha asimmetria positiva e graficamente, la distribuzione viene rappresentata con una coda più lunga verso destra. Nel caso in cui invece la media è minore della mediana e quest’ultima è minore della moda si ha asimmetria negativa e graficamente la distribuzione viene rappresentata con una coda più lunga verso sinistra.

La distribuzione normale dipende da due parametri, media e moda. Caratteristiche di questa curva sono:

• È un istogramma con infiniti casi.
• Comprende casi da meno infinito a più infinito.
• È asintoticamente normale, ovvero è asintotica all’asse delle x da entrambi i casi.

L’area sottesa alla curva è 1. Se varia la media si sposta orizzontalmente l’asse di simmetria della curva. Se varia la varianza, la curva si allarga e appiattisce al crescere del valore. Presenta due punti di flesso in corrispondenza di + e di - cioè i punti in cui la curva da connessa diventa concava e si trovano a più o meno 1 deviazione standard.

In statistica, l’indice di curtosi è uno degli indici relativi alla forma di una distribuzione, che costituisce una misura dello spessore delle code di una funzione di densità, ovvero il grado di appiattimento di una distribuzione.