Appunti statistica

Curva normale

È la più importante distribuzione continua e trova numerose

applicazioni nello studio dei fenomeni biologici. Fu proposta da

Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori , ed è stata

attribuita anche a Laplace ( 1821) che ne definì le proprietà

principali in anticipo rispetto alla trattazione completa di gauss.

Il nome normale deriva dalla convinzione che molti fenomeni fisico

– biologici si distribuiscono con frequenze più elevate nei valori

centrali e frequenze progressivamente minore verso gli estremi. È

detta anche curva degli errori accidentali in quanto, soprattutto nelle

discipline fisiche , la distribuzione degli errori commessi nel

misurare ripetutamente la stessa grandezza , è molto ben

approssimata da questa curva. Quando le

distribuzioni di frequenze prima risultano crescenti , raggiungono un

massimo e poi cominciano a decrescere fino ad arrivare a zero , si

possono parlare di variabili che tendono a distribuirsi normalmente

ossia che seguono un andamento secondo la curva di gauss. In

una distribuzione simmetrica , i valori media aritmetica, moda e

mediana coincidono. Se non valgono le condizioni precedenti , la

distribuzione si dice asimmetrica. In particolare se a media è

maggiore alla mediana e quest’ultima è maggiore alla moda si ha

asimmetria positiva e graficamente , la distribuzione viene

rappresentata con una coda più lunga verso destra. Nel caso in cui

invece la media è minore alla mediana e quest’ultima è minore alla

moda si ha asimmetria negativa e graficamente la distribuzione

viene rappresentata con una coda più lunga verso sinistra. La

distribuzione normale dipende da due parametri, media e moda.

Caratteristiche di questa curva sono:

- è un istogramma con infiniti casi.

– comprende casi da meno infinito a più infinito.

– è asintoticamente normale , ovvero è asintotica all’asse delle x da

entrambi i casi.

L ’area sottesa alla curva è 1.

Se varia la media si sposta orizzontalmente l’asse di simmetria

della curva. Se varia la varianza la curva si allarga e appiattisce al

crescere del valore. Presenta due punti di flesso in corrispondenza

ʮ ʮ

di + e di - cioè i punti in cui la curva da connessa diventa

ϑ ϑ

concava e si trovano a più o meno 1 deviazione standard.

In statistica l’indice di curtosi è uno degli indici relativi alla forma di

una distribuzione , che costituisce una misura dello spessore delle

code di una funzione di densità , ovvero il grado di appiattimento di

una distribuzione. L’interesse per questo indice è dato dal fatto che

lo spessore delle code influenza il comportamento di diverse

statistiche. Se il coefficiente di curtosi è:

- > 0 la curva si definisce leptocurtica cioè più appiattita di una

normale. - <0 la curva si

definisce platicurtica cioè più piatta di una normale.

- =0 la curva si definisce normocurtica cioè come una normale.

Correlazione

Il grado di correlazione è dato da alcuni indici, di cui il più

importante è il coefficiente di correlazione lineare di Bravais

Pearson. La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili

(x,y) a variare, ovvero a covariare. La correlazione viene usata per

esprimere la forza, l’intensità del legame. La covarianza è il valor

medio del prodotto degli scarti corrispondenti di x e di y. Tale

coefficiente è standardizzato ed assume valori che vanno da -1

( correlazione perfetta negativa ) e 1 (correlazione perfetta positiva)

Regressione

L’obbiettivo della regressione è quello di trovare l’equazione di una

curva che meglio interpreta il meccanismo con il quale una

variabile è relazionata ad un'altra. Talvolta l’analisi della

correlazione precede lo studio della regressione, in quanto una

variabile viene confrontata con varie altre per vedere quelle più

connesse fra di loro. Per regressione lineare s’intende una

procedura che permette di trovare una funzione di primo grado

( lineare ) del tipo y= a+bx che esprime il legame che esiste tra una

variabile y considerata dipendente ed una variabile x considerata

indipendente.

La procedura matematica che permette di trovare le formule per

calcolare i parametri a e b della funzione è chiamata metodo dei

minimi quadrati. Con il metodo dei minimi quadrati è sempre

possibile ottenere la retta che meglio si adatta ai dati relativi,

indipendentemente dalla dispersine dei punti intorno alla retta.

La retta potrebbe indicare :

-una relazione reale tra due variabili, se il valore di b è alto e la

dispersione dei punti intorno alla retta è ridotta.

- relazione casuale non significativa , quando la dispersione dei

punti intorno alla retta è approssimativamente uguale alla media.