Appunti statistica

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI

DI MODENA E REGGIO EMILIA

STATISTICA

(per CLEA e CLEF)

ESERCIZI TIPO-ESAME

E TESTI DEGLI ESAMI

DI ANNI PRECEDENTI

A.A. 2017-2018

1

Michele LALLA

Dipartimento di Economia “Marco Biagi”

2

Patrizio FREDERIC

Dipartimento di Economia “Marco Biagi”

14 dicembre 2017

1 Tel. 059/205.6849

2 Tel. 059/205.6727

2

Indice

1 Parte I – Esercizi tipo per esame 5

1.1 Esercizi di statistica descrittiva: TIPO 1 — Capp. 1–4 . . . . . . . . . . 5

1.2 Esercizi di probabilità: TIPO 2 — Cap. 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Esercizi sulle variabili casuali: TIPO 3 — Capp. 9–10 . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Esercizi sul teorema del limite centrale: TIPO 4 — Capp. 9–10 . . . . . . 49

1.5 Esempi di alcune domande di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.6 Esercizi di stima puntuale: TIPO 5 — Cap. 11 . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.7 Esercizi sui test per un solo campione: TIPO 6 — Capp. 12–14 . . . . . . 95

1.8 Esercizi sui test per due campioni: TIPO 7 — Cap. 14 . . . . . . . . . . . 105

1.9 Esercizi su regressione: TIPO 8 — Capp. 16–17 . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.10 Teoria e esercizi sul test chi-quadrato: TIPO 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1.10.1 Test di conformità per variabile qualitativa politoma . . . . . . . . 130

1.10.2 Test di indipendenza per due variabili qualitative . . . . . . . . . . 135

1.10.3 Analisi bivariata di variabili qualitative dicotome . . . . . . . . . . 138

1.10.4 Riepilogo: esempi di applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

1.11 Struttura del compito di esame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

1.11.1 Prima parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

1.11.2 Seconda parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2 Parte II – Compiti di esami di anni precedenti 155

2.1 Compiti d’esame - statistica descrittiva: TIPO 1 . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.2 Compiti d’esame - probabilità: TIPO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.3 Compiti d’esame sui test per un solo campione: TIPO 6 . . . . . . . . . . 177

2.3.1 Come scegliere il test statistico: 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2.4 Compiti d’esame sui test per due campioni indipendenti: TIPO 7 . . . . . 184

2.4.1 Come scegliere il test statistico: 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

2.5 Compiti d’esame sulla regressione: TIPO 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.6 Compito I prova intermedia: 6 novembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2.7 Compito II prova intermedia: simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

2.8 Compito II prova intermedia: 7 gennaio 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

2.9 Compito II appello: 4 febbraio 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2.10 Compito III appello: 26 giugno 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

2.11 Compito “nuovo” IV appello: 15 luglio 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

2.12 Compito “nuovo” V appello: 10 settembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . 264

2.13 Prova di statistica: 2 febbraio 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

2.14 Prova di statistica: 25 giugno 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

2.15 Prova di statistica: 19 gennaio 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

3

4 Indice

2.16 Prova di statistica: 18 febbraio 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

2.17 Prova di statistica: 22 luglio 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

2.18 Prova di statistica: 07 febbraio 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

2.19 REGOLE per l’ESAME di statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

2.19.1 Come è il compito di esame di statistica? . . . . . . . . . . . . . . . 307

2.19.2 Regole per lo svolgimento del compito d’esame . . . . . . . . . . . . 307

2.19.3 Regole per il dopo-compito di esame . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

2.19.4 Notizie particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Capitolo 1

Parte I – Esercizi tipo per esame

CON QUASI TUTTE LE DOMANDE POSSIBILI .

STRUTTURA DEL COMPITO .

Si ricorda che il compito è organizzato in due parti.

La PRIMA parte concerne i capitoli da 1 a 10 del testo adottato e contiene 4 tipi di

esercizi. In ogni tipo sono previste domande di teoria.

La SECONDA parte concerne i capitoli da 11 a 17 del testo adottato e contiene 5 tipi

di esercizi. In ogni tipo sono previste domande di teoria.

Per ridurre i costi, solo 3 esercizi per parte (totale 6) saranno presenti nel compito. .

1.1 Esercizi di statistica descrittiva: TIPO 1 —

Capp. 1–4

OBIETTIVI

Gli obiettivi delle applicazioni della statistica descrittiva (TIPO 1) riguardano le

verifiche delle SEGUENTI capacità:

(1) disegnare l’istogramma partendo dalla distribuzione di frequenza (assoluta, relativa,

percentuale) o dai percentili;

(2) determinare i dati della distribuzione di frequenza (assoluta, relativa, percentuale)

o i percentili, partendo dall’istogramma;

(3) individuare le classi che contengono la media o mediana o moda;

(4) calcolare indici di posizione centrale e dispersione, sia dalla distribuzione di frequen-

za, sia di un insieme di dati numerici. ÷

Il peso complessivo dell’esercizio sul totale è circa un quinto, P = 4 6 .

5

6 Capitolo 1. Parte I – Esercizi tipo per esame

(1) . .

La figura seguente riporta l’istogramma relativo a un campione di 200 imprese clas-

sificate sulla base del numero di addetti secondo le classi: 0–9 addetti, 10–19 addetti,

20–49 addetti, 50–99 addetti, 100-249 addetti. Si noti che sull’asse delle ordinate è

riportata la densità percentuale e sulla colonna è riportato, tra parentesi tonde, il

valore esatto dell’altezza della colonna stessa.

Si noti che, a causa dell’ampiezza della scala dei valori, i dettagli dell’istogramma

non si leggono sul grafico e, pertanto, non sono stati riportati gli estremi delle

classi sull’asse delle ascisse, X, e i dati si evincono dal testo.

3.5 [60]

(3)

3.0

2.5 [40]

d (2)

e

n 2.0

s

i

t 1.5

a [50]

% (0,83̄)

1.0 [30] [20]

(0,3)

0.5 (0,06̄)

0.0 Numero di addetti

Il testo fornisce una rappresentazione grafica. Per rispondere alle domande succes-

sive occorre partire dalla rappresentazione in una tabella di frequenze (relative o,

come conviene in questo caso, percentuali). Si devono determinare, quindi, le aree

dei rettangoli per ottenere le percentuali di unità statistiche contenute nelle varie

classi. Si procede come segue:

− − ×

A(0 9) = [9, 5 (−0, 5)] 2 = 20%

− − ×

A(10 19) = [19, 5 9, 5)] 3 = 30%

− − ×

A(20 49) = [49, 5 19, 5)] 0, 83̄ = 25%

− − ×

A(50 99) = [99, 5 49, 5)] 0, 3 = 15%

− − ×

A(100 249) = [249, 5 99, 5)] 0, 06̄ = 10%

A questo punto è possibile costruire la tabella della distribuzione delle frequenze

percentuali della X, numero di addetti delle imprese.

1.1. Esercizi di statistica descrittiva: TIPO 1 — Capp. 1–4 7

Indice classe 1 2 3 4 5

Classi 0–9 10–19 20–49 50–99 100–249

f 20 30 25 15 10

%; j

F 20 50 75 90 100

%; j

Nella tabella si sono riportate anche le frequenze percentuali cumulate, indicate con

F e chiamate, nel complesso, funzione di ripartizione percentuale, cosı́ definita:

%; j ∑

j

F = f ne consegue che

%; j %; l

l=1

F = f

%; 1 %; 1

F = F + f = f + f

%; 2 %; 1 %; 2 %; 1 %; 2

F = F + f = f + f + f

%; 3 %; 2 %; 3 %; 1 %; 2 %; 3

..

.

F = 100 .

%; J

La funzione di ripartizione è utile quando si devono determinare la mediana (o la

classe che la contiene) e/o la classe che contiene un determinato percentile. Un’al-

tra definizione di percentile, infatti, utilizza la funzione cumulata delle frequenze

percentuali, F . Il percentile p-esimo è il “primo” valore della x, indicato con x ,

p

%; j ×

nel quale la F (x ) è uguale o supera il (100 p) %:

p

%; j ∈ ⇒ ×

x [x , x ) F (x ) = 100 p .

p j−1 j p

%; j

(a) P=0,5 Qual è l’intervallo con il maggior numero di imprese?

Soluzione

L’intervallo [10; 19].

(b) P=0,5 Qual è il numero di imprese che hanno addetti nella classe [0, 9]?

Soluzione ×

⊢ 10 2

f (0 10) = 200 = 40 (circa).

100 o

P=0,5 In quale classe si trova il 15 percentile?

(c) Soluzione

o

Il 15 percentile si trova nella classe [0; 9].

(d) P=0,5 Qual è l’intervallo che contiene la mediana?

Soluzione

Il 50% delle imprese è contenuto esattamente nelle prime due classi. La me-

diana si trova dunque tra la fine dell’intervallo [10; 19] e l’inizio dell’intervallo

[20; 49]. Si potrebbe, quindi, dire che la mediana è 20? No, perché non è

8 Capitolo 1. Parte I – Esercizi tipo per esame

noto come sono distribuite le imprese nella classe [20; 49]; infatti, ipotetica-

mente, tutte le imprese della classe potrebbero avere 49 addetti e, in tal caso

la mediana sarebbe 49 o la media tra 49 e 19.

o

(e) P=0,5 In quale classe si trova il 75 percentile?

Soluzione

o

Il 75 percentile si trova nella classe [50; 99].

NB: il 75% della frequenza cumulata si trova proprio nella terza classe [20; 49];

o

perciò un valore successivo potrebbe essere il 75 percentile, per esempio 50.

Non si sa, come già detto per la mediana, se tra i dati vi sia una impresa con

o

50 addetti e, dunque, si può solo dire che la classe contenente il 75 percentile

è la successiva.

(f) P=0,5 Quale relazione ci si deve attendere fra media e mediana per i dati

proposti? √

2 2 2

media < mediana media = mediana media > mediana

L’esame del grafico mostra che vi è una asimmetria a destra (o positiva);

pertanto, risulta (media>mediana); infatti, in base ai dati dell’istogramma,

eseguendo i calcoli si trova che x̄ = 43 e x = 20.

0,5

(g) P=0,5 Determinare il valore approssimato della mediana, assumendo la di-

stribuzione uniforme dei casi contenuti nella classe che contiene la mediana.

Soluzione

Sia m il numero della classe contenente la mediana:

( )

−

0, 5 F m−1 −

x = x + (x x )

0,5 m; inf m; sup m; inf

−

F F

m m−1

)

( −

0, 5 F 3−1 −

(x x )

= x + 3; sup 3; inf

3; inf −

F F

3 3−1

( )

−

0, 5 0, 5 −

(49, 5 19, 5) = 19, 5 .

= 19, 5 + −

0, 75 0, 5

(h) P=0,5 Definizione formale di percentile.

Soluzione ≤ ≤

Il p-esimo percentile (0 p 1) del carattere X è quel valore di X, indicato

con x , tale che

p p = F (x )

p

p = A(−∞ < X < x ) Area totale uguale 1

p

100 p = A (−∞ < X < x ) Area totale uguale 100

p

%

1.1. Esercizi di statistica descrittiva: TIPO 1 — Capp. 1–4 9

(2) . .

L’istogramma seguente mostra la distribuzione per classi di cilindrata delle autovet-

ture iscritte al Pubblico Registro Automobilistico (dati aggiornati al 31/12/99; fonte

www.aci.it). Il numero di autovetture censite è pari a 32027945; ma, per comodità

nei calcoli, il numero totale, n, è stato posto pari a 3000. Sopra ogni rettangolo è

indicato il valore delle densità di frequenza percentuale.

0.11

0.10 0,0925

0.09 0,0775

0.08

d

e

n 0.07

s

i 0.06 0,05

t 0.05

a

% 0.04

0.03 0,02

0.02

0.01 0,0026̄

0.00 400 800 1200 1600 2000 3500

Cilindrata delle auto (in decine di cc), X

Qual è la percentuale di autovetture comprese nella seconda classe?

(a) Soluzione −

La seconda classe ha ampiezza pari a 1200 800 = 400. La densità percentuale

è pari a 0,0925 e, quindi, la percentuale di autoveicoli con cilindrata compresa

×

in tale intervallo è 0, 0925 400 = 37%.

P=0,5 : punteggio.

(b) In quale classe cade la mediana?

Soluzione ×

La percentuale di autoveicoli nella prima classe è 0, 02 400 = 8%. La percen-

tuale di autoveicoli nella seconda classe è 37%. La percentuale di autoveicoli

×

nella terza classe è 0, 0775 400 = 31%. Dal momento che 8% + 37% < 50%,

mentre 8% + 37% + 31% > 50%, la mediana appartiene alla terza classe, ovvero

è compresa fra 1200cc e 1600cc.

P=0,5 : punteggio.

(c) Determinare il valore approssimato della mediana, assumendo la distribuzione

uniforme dei casi contenuti nella classe che contiene la mediana.

Soluzione

10 Capitolo 1. Parte I – Esercizi tipo per esame

Sia m il numero della classe contenente la mediana:

( )

−

0, 5 F

m−1 −

x = x + (x x )

0,5 m; inf m; sup m; inf

−

F F

m m−1

( )

−

0, 5 F 3−1 −

= x + (x x )

3; inf 3; sup 3; inf

−

F F

3 3−1 )

( −

0, 5 0, 45 −

= 1200 + (1600 1200) = 1264, 52 .

−

0, 76 0, 45

P=0,5 : punteggio.

(d) Qual è la “classe modale”?

Soluzione

La “classe modale” è quella con la massima densità di frequenza (il rettangolo

con l’altezza maggiore) e corrisponde alla classe 800–1200 con una percentuale

(seconda classe) pari a 37%. In questo caso è anche la classe con la per-

centuale di piú alta; infatti, la percentuale di autoveicoli nella terza classe è

×

0, 0775 400 = 31%. Le altre classi hanno una percentuale inferiore, come si

può osservare considerando le unità di misura del grafico e i relativi valori.

P=0,5 : punteggio.

(e) Giulio ha una macchina con cilindrata pari a 625cc. Indicare la risposta cor-

retta:

2 l’auto di Giulio è molto potente, infatti meno del 9% delle auto ha cilindrata

inferiore

2 l’auto di Giulio è molto potente, infatti più del 90% delle auto ha cilindrata

inferiore

√

2 l’auto di Giulio è poco potente, infatti meno del 9% delle auto ha cilindrata

inferiore

2 l’auto di Giulio è poco potente, infatti più del 9% delle auto ha cilindrata

inferiore

P=0,5 : punteggio.

ALTRI MODI DI FORMULARE LO STESSO ESERCIZIO

(3) . .

La distribuzione delle frequenze assolute della cilindrata delle autovetture iscritte al

Pubblico Registro Automobilistico (dati aggiornati al 31/12/99; fonte www.aci.it)

è riportata nel grafico seguente. Il numero di autovetture censite, per comodità è

stato posto pari a 3000 (decine di migliaia, si veda l’esercizio precedente).

1.1. Esercizi di statistica descrittiva: TIPO 1 — Capp. 1–4 11

1200 1110

1100

1000

f 930

r

e 900

q

u 800

e

n 700

z 600

e 600

a

s 500

s

o 400

l

u 300 240 120

t 200

e 100

0 400 800 1200 1600 2000 3500

Cilindrata delle auto (in decine di cc), X

(a) Qual è la percentuale di autovetture comprese nella seconda classe?

Soluzione ×

f = 100 1110/3000 = 37%.

%; 2

P=0,5 : punteggio.

(b) In quale classe cade la mediana?

Soluzione

Per individuare la classe che contiene la mediana, si cumulano le percentua-

li a partire dalla prima classe e ci si arresta appena si supera il 50%. Per

completezza e comodità si riporta la seguente tabella che contiene le frequenze

percentuali e le frequenze percentuali cumulate, F .

%; j

40-80 80-120 120-160 160-200 200-350

n 240 1110 930 600 120

j

f 8 37 31 20 4

%; j

F 8 45 76 96 100

%; j

La classe che contiene la mediana è 120-160 perché in questa la frequenza

percentuale cumulata ha superato il 50%.

Le altre domande possono essere simili alle precedenti.

Si noti che un modo diverso di fornire i dati è riportare nel grafico: le densità

percentuali, h , oppure le densità di frequenza relativa, h ; si ricordi che:

j

%; j f f

f j

j %; j

, h = 100 = .

h =

j %; j

− − −

b b b b b b

j+1 j j+1 j j+1 j

Si noti che in casi come questi, in cui si riportano le frequenze assolute, n ,

j

occorre esaminare con attenzione la leggenda dell’asse delle ordinate perché

può capitare che le n si riportino direttamente sull’asse delle ordinate.

j

P=0,5 : punteggio.

12 Capitolo 1. Parte I – Esercizi tipo per esame

(4) . .

La distribuzione delle frequenze relative della cilindrata delle autovetture iscritte al

Pubblico Registro Automobilistico (dati aggiornati al 31/12/99; fonte www.aci.it)

è riportata nella tabella seguente. Il numero di autovetture censite è pari a 320,27

5

centinaia di migliaia (10 ). 400-800 800-1200 1200-1600 1600-2000 2000-3500

Frequenza relativa, f 0,08 0,37 0,31 0,20 0,04

j

(a) Disegnare l’istogramma (delle densità relative) della distribuzione della cilin-

drata delle auto in circolazione.

Soluzione

Densità relativa

.

.

.

.

.

.

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0.00025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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0.00020 .

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