Appunti statistica

SE(

X̄) = = = 0, 184

n 400

dove SE(

X̄) indica l’errore standard della media, X̄.

(b) Stimare la probabilità che la media dei voti degli esami selezionati (nel 2001)

inferiore a 23.

Soluzione ( )

− −

X̄ µ 23 24, 44

P ( X̄ < 23) = P <

SE( X̄) 0, 184

−7, − ≃ −

= P (Z < 83) = 1 Φ(7, 83) 1 1 = 0 .

La probabilità di osservare una media inferiore a 23 è un evento rarissimo,

“quasi impossibile”. SE(

X̄) = σ(

X̄) è l’errore standard della media.

(c) Stimare la probabilità che la media dei voti degli esami selezionati (nel 2001)

sia compresa tra il 24 e 25.

Soluzione )

( − −

− X̄ µ 25 24, 44

24 24, 44 < <

P (24 < X̄ < 25) = P 0, 184 SE( X̄) 0, 184

− −

= P (−2, 39 < Z < 3, 04) = Φ(3, 04) [1 Φ(−2, 39)]

−

= 0, 99882 1 + 0, 9916 = 0, 99042 .

(d) Qual è la probabilità che la media dei voti degli esami selezionati (nel 2001)

sia (esattamente) uguale a 24?

Soluzione

Come sopra, la domanda si riferisce a una proprietà delle VC continue: la

risposta è zero, senza fare calcoli o dimostrazioni, e tale risultato è vero anche

per ogni altro valore diverso da 5010 kg. NON CONFONDERE tale domanda

1.4. Esercizi sul teorema del limite centrale: TIPO 4 — Capp. 9–10 63

con la correzione di continuità [domanda (g) dell’esercizio (6)]

Una possibile dimostrazione

La VC X̄ assume valori in un continuum e, quindi, è una variabile continua;

in questo caso, la probabilità di assumere un valore qualunque esatto è uguale

a zero. ( )

− − − −

24 ϵ 24, 44 X̄ µ 24 + ϵ 24, 44

−

P (24 ϵ < X̄ < 24 + ϵ) = P < <

0, 184 SE(

X̄) 0, 184

( ) ( )

−0, −0, −

44 + ϵ 44 ϵ

−

= Φ Φ

0, 184 0, 184

→ →

0 per ϵ 0 .

Nella tabella seguente è riportata la distribuzione di frequenza (assoluta e re-

lativa) del voto di esame e si riferisce alla reale composizione dell’urna, non

riportata nel grafico per brevità.

X 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

n 626 407 760 592 596 659 842 789 800 816 844 321 1114

i

f 0,068 0,044 0,083 0,065 0,065 0,072 0,092 0,086 0,087 0,089 0,092 0,035 0,122

i

(13) . .

P C

Da a : proporzione, π . P. P

In una città vi sono N = 100.000 abbonati al telefono, Si sa che π =20% di

(composta di N unità) guadagna piú di 35 mila euro l’anno. Si estrae un campione

casuale semplice senza reimmissione di ampiezza n = 400.

(a) Quali sono il valore atteso e la deviazione standard (detta anche, errore stan-

dard) della proporzione campionaria?

Soluzione

Si consideri il MODELLO D’URNA disegnato di séguito che rappresenta la

P.

popolazione .

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20000 biglietti 80000 biglietti . .

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1 0

∑

b

E(

p) = x P (X = x)

∀x

64 Capitolo 1. Parte I – Esercizi tipo per esame

80000 20000 20000

= 0 +1 =0 = 0, 20 = π

100000 100000 100000

√ √

− −

π (1 π) 0, 2 (1 0, 2)

b

SE(

p) = = = 0, 02

n 400

Operando in percentuali

×

b

E(

p ) = 100 π = 20%

% × ×

b b

SE(

p ) = 100 SE( p) = 100 0, 02 = 2%

% Operando con S e poi in %

n

20000

×

E(S ) = 400 = 80

n 100000

√

√ × −

SE(S ) = 400 0, 2 (1 0, 2) = 8

n S SE(S )

n n

±

b

p = 100 100

% n n

80 8

± ±

= 100 100 = 20% 2%

400 400

b b

dove SE(

p ) indica l’errore standard della percentuale, p .

% %

(b) Stimare la probabilità che la proporzione di persone che guadagnano piú di 35

mila euro (nel campione) sia inferiore al 15%.

Soluzione )

( − −

c

p π 15 20

% %

c

P (

p < 15) = P <

% c

SE(

p ) 2

%

−2, −

= P (Z < 5) = 1 0, 9938 = 0, 0062 .

Si ha che il reddito è quantitativo, ma è stato trasformato in una variabile

dicotoma e, quindi, qualitativa che assume valori 0 e 1 . La distinzione non

è cosı́ netta. Quando si usa il MODELLO D’URNA con 0 e 1 ?

• SI USA quando si classificano i soggetti per ottenere una percentuale

• NON SI USA quando si somma per ottenere una media.

(c) Stimare la probabilità che la proporzione di persone che guadagnano piú di 35

mila euro (nel campione) sia compresa tra il 18% e il 22%.

Soluzione )

( − −

− c

p π 22 20

18 20 % %

c < <

P (18 < p < 22) = P

% c

2 SE(

p ) 2

% − −

= P (−1 < Z < 1) = 0, 8413 (1 0, 8413) = 0, 6826 .

Qual è la probabilità che la proporzione di persone che guadagnano piú di 35

(d) mila euro (nel campione) sia (esattamente) uguale al 20%?

1.4. Esercizi sul teorema del limite centrale: TIPO 4 — Capp. 9–10 65

Soluzione

c

La VC p assume valori in un continuum e, quindi, è una variabile continua;

%

in questo caso, la probabilità di assumere un valore qualunque esatto è uguale

a zero. ( )

− −

c

20 ϵ p π 20 + ϵ

% %

− c

P (20 ϵ < p < 20 + ϵ) = P < <

% c

2 SE( p ) 2

%

( ) ( )

−

20 + ϵ 20 ϵ

− → →

= Φ Φ 0 per ϵ 0 .

2 2

Tale risultato è vero anche per ogni altro valore diverso dal 20% perché è una

proprietà delle VC continue.

(14) . .

∗ TLC: Bin Alcune confezioni di bicchieri sono state sottoposte a urti. La proba-

bilità che un bicchiere si sia rotto è pari a 0,4 e è indipendente dalla probabilità di

rompersi degli altri. Ogni confezione contiene 3 bicchieri.

(a) Sia X il numero di bicchieri rotti in una confezione. Determinare la distribu-

zione di probabilità di X.

Soluzione

Si tratta, anche in questo caso, di una distribuzione binomiale, perché si as-

sume che: (1) le probabilità di successo non si modificano da una confezione

all’altra e ciò equivale a eseguire ECR da un’urna binaria (con biglietti 0 , 1 )

con probabilità pari a 0,4 di successo ( 1 o bicchiere rotto); (2) le rotture all’in-

terno delle confezioni sono indipendenti; (3) il numero di estrazioni (bicchieri

in una confezione) è fissato (in questo caso è pari a 3). Dato il solito caveat

∼

della semplificazione, allora, X Bin(3; 0, 4) con probabilità riportate nella

seguente tabella.

Numero bicchieri rotti (x ) 0 1 2 3

i

P (X = x ) 0,216 0,432 0,288 0,064

i

Infatti, i valori possibili di X sono: 0 (nessuno rotto), 1, 2, 3.

( )

3 − −

0 3−0 3

P (X = 0) = (0, 4) (1 0, 4) = (1 0, 4) = 0, 216 ;

0

( )

3 − −

1 3−1 2

P (X = 1) = (0, 4) (1 0, 4) = 3 (0, 4) (1 0, 4) = 0, 432 ;

1

( )

3 − −

2 3−2 2

P (X = 2) = (0, 4) (1 0, 4) = 3 (0, 4) (1 0, 4) = 0, 288 ;

2

( )

3 −

3 3−3 3

P (X = 3) = (0, 4) (1 0, 4) = (0, 4) = 0, 064 .

3

66 Capitolo 1. Parte I – Esercizi tipo per esame

(b) Determinare il valore atteso e la deviazione standard della distribuzione di

probabilità del giocatore.

Soluzione ∑ ×

E(X) = x P (X = x) = n π = 3 0, 4 = 1, 2 .

Bin

∀x

√∑ √

− −

2 2

σ(X) = x P (X = x) E (X ) = n pi π (1 π)

U Bin

∀x

√ × × −

3 0, 4 (1 0, 4) = 0, 8485 .

=

(c) Si supponga che le confezioni sottoposte a urto siano 64, n = 64. Determinare

la probabilità che il numero totale di bicchieri rotti sia maggiore di 65.

Soluzione · · ·

Si tratta di una applicazione del TLC per la somma: S = X + + X . Sia

n 1 64

X la VC dell’i-esima confezione. Se deve calcolare, quindi, P (S > 65). Dato

i n

∼

che X Bin(3; 0, 4), per il TLC si ha

i ×

E(X ) = n π = 3 0, 4 = 1, 2

i Bin

√ −

σ(X ) = n π (1 π) = 0, 8485

i Bin

( ) ( )

∼ × ×

2 2

S N n µ, n σ = N 64 1, 2; 64 (0, 8485)

n = N (76, 8; 46, 08) )

( − −

S E(S ) 65 76, 8

√

n n >

P (S > 65) = P

n SE(S ) 46, 08

n

−1, − −

= P (Z > 74) = 1 Φ(−1, 74) = 1 1 + Φ(1, 74)

= 0, 9591 .

Si noti che SE(

X̄) = σ(

X̄) è sempre l’errore standard della media.

RIEPILOGO

Dall’inglese SE = Standard Error o errore standard, si ha:

SE(•) = σ(•) è l’errore standard dell’argomento.

σ è un altro modo di indicare l’errore standard. Allora

•

SE(S ) = σ(S ) o σ è l’errore standard della somma.

n n S

n

SE( X̄) = σ(

X̄) o σ è l’errore standard della media.

X̄

b b

SE( π ) = σ(

π ) o σ è l’errore standard della proporzione.

b

π

1.5. Esempi di alcune domande di teoria 67

1.5 Esempi di alcune domande di teoria

OBIETTIVI

Gli obiettivi delle domande di teoria riguardano le verifiche delle seguenti capacità:

(a) riportare le proprietà della media e deviazione standard;

(b) esporre il teorema del limite centrale (TLC) per la somma, la media, e la

proporzione (domanda immancabi