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Buchi di tensione e provvedimenti per la loro limitazione; cenni alle normative

Durante ogni commutazione, due delle tre tensioni di fase sono cortocircuitate dai tiristori del convertitore

attraverso la di ciascuna fase, ne conseguono per questo profondi buchi.

Nota: esempio commutazione →

Durante la commutazione, come da circuito, si ha:

− − + − = 0 => = − −

dato che:

= = => =0

Perciò durante la conduzione:

= = => = 0 => = −

Mentre durante la commutazione: ∗

≠ ≠ => ≠ 0 => = =

Per individuare le informazioni relative al buco si può procedere nel modo seguente:

2

) )

cos( − cos( + = √2

Nota ) ) ) ) ) ) ) ) (1 )) ) )

cos( − cos( + = cos( − cos( cos( + sin( sin( = cos( − cos( + sin( sin(

Se si considera “piccolo” allora:

) ) )

cos( ≅ 1; sin( ≅ => sin(

Se si considera “piccolo” allora:

2 2

)

sin( = => = )

sin(

√2 √2

Area del buco

Ampiezza del buco = = ( )

Altezza del buco √

Se si considerano invece i buchi nella tensione concatenata (nel punto di collegamento dell’apparato),

questi hanno la stessa larghezza di quelli relativi alla tensione concatenata . Tuttavia le profondità, e quindi

le aree, dei buchi sono diminuite di un fattore:

= +

Per limitare i buchi di tensione conviene che il rapporto sia piccolo; non potendo, in generale, intervenire su

, conviene che sia sufficientemente grande. È questo il motivo per cui le norme tedesche VDE hanno

stabilito una caduta su pari al 5%,cioé:

≥ 0.05 √3

Rappresentazione di un convertitore a tiristori mediante schema a blocchi

Va bene per l’analisi di sistemi che

evolvono con costanti di tempo lunghe

rispetto al periodo di conduzione degli

switch e per cui non interessa lo studio dei

transitori elettrici associato alla

commutazione (ripple di corrente, ecc.).

CONVERTITORI DC-DC A COMMUTAZIONE

Generalità ed applicazioni

I convertitori DC-DC a commutazione sono molto usati negli alimentatori stabilizzati a corrente continua e negli

azionamenti per motori in corrente continua. Questi convertitori sono impiegati per trasformare la tensione

continua d’ingresso non regolata in una tensione continua d’uscita regolata a livello desiderato. Si nota inoltre che

negli alimentatori essi sono usati molto spesso in abbinamento con un trasformatore d’isolamento, mentre non lo

impiegano quasi mai negli azionamenti.

Si fa l’ipotesi che la sorgente della tensione continua d’ingresso abbia un impedenza interna nulla. Tale sorgente

può essere una batteria, anche se nella maggior parte dei casi l’ingresso è una tensione alternata raddrizzata da

diodi, con un condensatore di capacità elevata per fornire una bassa impedenza interna e una sorgente di

tensione continua con basso ripple.

Nello stadio d’uscita del convertitore, un piccolo filtro è trattato come parte integrante del convertitore DC-DC.

Si suppone che l’uscita alimenti un carico rappresentato comunemente da una resistenza, nel caso di un

alimentatore stabilizzato in corrente continua, oppure da una tensione continua in serie con resistenza e

induttanza dell’avvolgimento del motore, nel caso di motore a corrente continua.

Principio base di funzionamento per l'abbassamento di una tensione continua

In un convertitore DC-DC con una data tensione d’ingresso, la tensione media di uscita è controllata regolando i

tempi di chiusura e apertura ( e ) dell’interruttore. Si consideri ora il circuito di figura:

∙ +0∙ duty cycle

= = ∙ = ∙ 0 ≤ ≤ 1

Si avrà perciò una tensione media di uscita .

Tecnica della modulazione di ampiezza dell'impulso (PWM) nei convertitori DC/DC

Uno dei metodi per controllare la tensione di uscita impiega una frequenza di commutazione costante (ovvero

periodo di commutazione costante ) e modifica la durata della chiusura dell’interruttore. In

= +

questa tecnica, detta modulazione a larghezza d’impulso PWM, viene variato il duty cycle , definito come

rapporto tra il tempo di chiusura e il periodo di commutazione.

Il segnale di comando dell’interruttore, che regola il suo

stato (aperto o chiuso), viene generato confrontando una

tensione di controllo , a livello di segnale, con

un’onda ripetitiva. La frequenza dell’onda ripetitiva con

valore di picco costante, determina la frequenza di

commutazione. Quindi in funzione di e del valore

di picco della triangolare a dente di sega, il duty cycle

dell’interruttore può essere espresso come segue:

= =

Introduzione al convertitore DC-DC abbassatore e cenni al filtraggio della tensione di uscita

La tensione media di uscita in funzione del duty cycle vale:

1 1

( )

= = + 0 = ∙ = ∙

Nelle applicazioni reali bisogna tenere conto di due aspetti negativi:

(1) nella pratica il carico è induttivo o se è resistivo ha sempre una

componente induttiva associata: di conseguenza l’interruttore

deve assorbire, o dissipare, l’energia induttiva e potrebbe quindi

essere distrutto;

(2) la tensione di uscita oscilla tra zero e .

Questi aspetti sono risolti nel modo seguente:

(1) si aggiunge un diodo di ricircolo necessario per evitare

sovratensioni sullo switch all’apertura dovute a L;

(2) si aggiunge un filtro passa basso formato da un induttore e un

condensatore.

Durante l’intervallo di chiusura dell’interruttore, il diodo è

polarizzato inversamente e l’ingresso fornisce energia sia al carico,

sia all’induttore. Durante l’intervallo di apertura dell’interruttore, la

corrente dell’induttore circola nel diodo, trasferendo al carico

l’energia che l’induttore stesso ha immagazzinato.

La figura che rappresenta lo spettro di frequenza di mostra l’andamento della tensione all’ingresso del

filtro passa basso, la quale ha una componente continua , l’armonica alla frequenza di commutazione e i suoi

multipli. La figura sotto invece rappresenta la caratteristica del filtro passa basso con lo smorzamento introdotto

dal carico resistivo. La frequenza di taglio del filtro passa basso deve essere molto più bassa (dovrebbe essere

minore di due ordini di grandezza) della per eliminare dalla tensione di uscita il ripple a frequenza di

commutazione.

Nota: filtro passa basso LC

= 1 1

= ∙ = = = ≫

1− √

− 1−

1

= 1−

L’armonica della tensione a frequenza più bassa è quella che si presenta alla frequenza . Di conseguenza la

frequenza di taglio del filtro passa basso deve essere molto più bassa della per eliminare dalla tensione di

uscita il ripple a frequenza di commutazione.

Se ad esempio , ovvero se , allora riduco di volte il segnale .

= 10 = 10 100

Inoltre si ha: 1 100

= 10 => 2 = 10 ∙ => = 4

dove si nota che più bassa è la frequenza di commutazione e più difficile e costoso diventa filtrare ( è legato

al costo del filtro, mentre dipende dall’interruttore).

Convertitore DC-DC abbassatore: forme d'onda e relazioni nel funzionamento continuo

Poiché in regime permanente la forma d’onda si ripete

dopo ogni periodo, l’integrale della tensione dell’induttore

esteso al periodo deve essere uguale a zero:

= + = 0 =>

( ) (− )( )

− + − = 0 => = =

Trascurando le perdite associate a tutti gli elementi del

circuito, la potenza di ingresso è uguale a quella di uscita:

1

= => = => = =

Perciò nella modalità di funzionamento continua, il

convertitore abbassatore equivale ad un ipotetico

“trasformatore in continua”.

Analisi nel passaggio da funzionamento continuo a discontinuo: valore limite della corrente

Al confine tra il funzionamento continuo e discontinuo, indicato con il pedice B, la corrente dell’induttore si

annulla al termine di ogni periodo di apertura. Si ha perciò che la corrente media dell’induttore vale:

Ragionamento Aree: ∙ = ∙ 2

, ( )

1 −

,

dove = => = => =

,

, ( )= ( )=

= = − −

2 2 2

Modalità di conduzione discontinua con Vd=cost.: relazioni e andamenti di Vo/Vd in funzione di Io/ILBmax

parametrati in D

Si consideri la situazione limite di funzionamento continuo.

Poiché allora la corrente media nell’induttore al limite della conduzione continua vale:

= (1 )

= −

2

Sulla base di questa equazione si ricava allora il grafico di in funzione di , tenendo costanti e tutti gli altri

parametri. Da questo si vede come la è massima quando ovvero:

= 0.5

= =

, (1 )

8 4 −

Si consideri ora il funzionamento discontinuo. Si faccia l’ipotesi che all’inizio il convertitore stia funzionando al

limite della conduzione continua per determinati valori di e . Se questi parametri sono tenuti costanti e

, ,

la potenza di uscita diminuisce (cioè la resistenza di carico aumenta), la corrente media nell’induttore diminuisce.

Questo impone un valore di più elevato rispetto al caso limite di funzionamento continuo e di conseguenza si

ha una corrente discontinua ( Si ha così che durante l’intervallo , nel quale la

= = / = .). ∆

corrente dell’induttore è zero, la potenza sul carico resistivo è fornita soltanto dal filtro capacitivo.

Poiché l’integrale della tensione dell’induttore esteso al periodo deve essere uguale a zero si ha:

( ) (− )∆

− + = 0 => = +∆ <1

+∆

Ricavando la da sopra si ha allora:

( )

+∆ −

= => = =>

,

= ∆

, ( ) ⁄

Quindi (Ragionamento Aree: ):

∙ = ∙ + ∆ 2

,

+∆ ∆ ( )=

= = +∆ ∆ =4 ∆ => ∆ =

, ,

2 2 2 4 ,

Si ha infine:

= 1

+ 4 ,

Modalità di conduzione discontinua con Vo=cost.: relazioni e andamenti di D in funzione di Io/ILBmax parametrati

in Vd/Vo

Si consideri la situazione limite di funzionamento continuo. Poiché allora la corrente media

=

nell’induttore al limite della conduzione continua vale:

(1 )

= −

2

Da questo si vede come la è massima quando ovvero:

= 0

=

, 2

Perciò si ha: (1 )

= −

,

Si consideri ora il funzionamento discontinuo. Poiché l’integrale della tensione dell’induttore esteso al periodo

deve essere uguale a zero si ha: −

( ) (− )∆

− + = 0 => = => ∆ = +∆ <1

+∆

Ricavando la da sopra si ha allora:

= ∆

, ( ) ⁄

Quindi (Ragionamento Aree: ):

∙ = ∙ + ∆ 2

,

+∆ ( )= ( )

= = ∆ +∆ ∆ +∆

, ,

2 2

Si ha infine: − − / ,

( )=

= ∆ +∆ + => =

, , 1− /

Ripple di tensione e criteri di scelta del condensatore

Nell’ipotesi si può ritenere che la componente alternata

della corrente passi tutta per il condensatore; l’escursione di

tensione nel condensatore rispetto al valore medio perciò

corrisponde all’area (carica transitata attraverso L) moltiplicata

per . Quindi la tensione di ripple da picco a picco può essere

1/ ∆

calcolata come segue:

∆ 1 1 ∆

∆ = = 2 2 2

∆ / (1 )

= => ∆ = −

∆ / (1 )

ò ∆ = −

8

Quindi:

(1 )

∆ 1 − 1 1 4 1 ∆

( ) (1 )

= = ; = = ò = −

8 8 4 8 2 2

Si ha così che il ripple di tensione (nell’ipotesi di conduzione continua) non dipende dalla corrente (potenza)

assorbita dal carico.

Convertitore elevatore (boost): analisi nel funzionamento continuo

Durante l’intervallo di chiusura dell’interruttore, il diodo è

polarizzato inversamente, e la sezione di uscita è isolata

mentre l’ingresso fornisce energia all’induttore. Durante

l’intervallo di apertura dell’interruttore, la sezione di uscita

riceve energia sia dall’induttore, sia dall’ingresso.

Poiché l’integrale della tensione dell’induttore esteso al periodo deve essere uguale a zero si ha:

1

+( )

− = 0 => = = 1−

Trascurando le perdite associate a tutti gli elementi del circuito, la potenza di ingresso è uguale a quella di uscita:

= => = => =1−

Limiti tra conduzione continua e discontinua (Vo=cost.)

Al confine tra il funzionamento continuo e discontinuo, indicato con il pedice B, la corrente dell’induttore si

annulla al termine di ogni periodo di apertura. Si ha perciò che il la corrente media dell’induttore vale:

Ragionamento Aree: ∙ = ∙ 2

, 1

,

dove = => = => =

,

, (1 )

= = = − = ≠

2 2 2

(1 )

Sapendo che allora il valore medio della corrente d’uscita al confine della conduzione continua:

= −

(1 )

= −

2

Solitamente le applicazioni nelle quali è usato un convertitore elevatore richiedono che sia tenuta = .

Sulla base di questa equazione si ricava allora il grafico di in funzione di , tenendo costanti e tutti gli

,

altri parametri. Da questo si vede come la è massima quando ovvero:

= 0.5

=

, 8

Da questo si vede inoltre come la è massima quando ovvero:

= 1/3

2

=

, 27

Con riferimento ai valori massimi si può allora scrivere:

(1 )

= 4 − ,

27 (1 )

= − ,

4

Funzionamento con conduzione discontinua (Vo=cost.): analisi e grafico di D in funzione di Io/IoBmax

parametrato in Vd/Vo

Si consideri il funzionamento discontinuo. Poiché l’integrale della tensione dell’induttore esteso al periodo deve

essere uguale a zero si ha: ∆ +

( )∆

+ − = 0 => = => ∆ =

∆ / −1

Trascurando le perdite associate a tutti gli elementi del circuito, la potenza di ingresso è uguale a quella di uscita:

∆ ∆

= => = => = => =

∆ + ∆ +

Ricavando la si ha:

,

=

, ( ) ⁄

Quindi (Ragionamento Aree: ):

∙ = ∙ + ∆ 2

,

+∆ ( )

= = = +∆

, 2 2

Si ha allora che il valor medio della corrente d’uscita:

∆ 1 27 2 27

= = ∆ = = ,

∆ + 2 2 2 27 / −1 4 / −1

Si ha infine:

4

= −1

27 ,

Se il carico diventa molto basso, l’incremento di può causare la rottura del condensatore o generare una

pericolosa tensione elevata.

Effetto degli elementi parassiti In un convertitore elevatore gli elementi parassiti sono dovuti alle perdite

associate all’induttore, al condensatore, all’interruttore e al diodo.

Diversamente dalla caratteristica ideale, nella realtà, il decade

/

quando il duty cycle si avvicina all’unità. Generalmente non si opera con

valori di D prossimi all’unità (sovradimensionamento dello switch rispetto

alla potenza di uscita) per cui gli effetti degli elementi parassiti si possono

ritenere modesti.

Ripple della tensione di uscita

Nell’ipotesi si può ritenere che la componente alternata della corrente passi tutta per il condensatore;

l’escursione di tensione nel condensatore rispetto al valore medio perciò corrisponde all’area (carica

transitata attraverso L) moltiplicata per . Quindi la tensione di ripple da picco a picco (assumendo che la

1/ ∆

corrente di uscita rimanga costante) può essere calcolata come segue:

∆ = = =

Quindi:

∆ = =

Convertitore DC-DC buck-boost: analisi nel funzionamento continuo

Un convertitore buck-boost può essere ottenuto dalla

connessione in cascata dei due convertitori elementari,

abbassatore ed elevatore. In regime permanente, il

rapporto di conversione della tensione (tra uscita e

ingresso) è il prodotto dei rapporti di conversione dei

due convertitori in cascata:

1

= 1−

Quando l’interruttore è chiuso, l’ingresso fornisce energia all’induttore e il diodo è polarizzato inversamente.

Quando l’interruttore è aperto, l’energia immagazzinata nell’induttore è trasferita all’uscita: nessuna energia è

fornita dall’ingresso durante questo intervallo di tempo.

Poiché l’integrale della tensione dell’induttore esteso al periodo deve essere uguale a zero si ha:

(− )(1 )

+ − = 0 => = = 1−

Trascurando le perdite associate a tutti gli elementi del circuito, la potenza di ingresso è uguale a quella di uscita:

1−

= => = => =

Limiti tra conduzione continua e discontinua (Vo=cost.)

Al confine tra il funzionamento continuo e discontinuo, indicato con il pedice B, la corrente dell’induttore si

annulla al termine di ogni periodo di apertura. Si ha perciò che il la corrente media dell’induttore vale:

, (1 )

= = = − ≠ ≠

2 2 2

Sapendo che allora il valore medio della corrente d’uscita al confine della conduzione continua:

= −

= − => =

= (1 )

= −

2

Solitamente le applicazioni nelle quali è usato un convertitore elevatore richiedono che sia tenuta = .

Si nota che sia e sia raggiungono il loro massimo quando = 0:

=

, 2

=

, 2

Con riferimento ai valori massimi si può allora scrivere:

(1 )

= − ,

(1 )

= − ,

Sulla base di questa equazione si ricava allora il grafico di in funzione di , tenendo costanti e tutti gli

,

altri parametri.

Convertitore DC-DC buck-boost: funzionamento con conduzione discontinua (Vo=cost.) + Grafico D vs Io/IoBmax

con limiti tra conduzione continua e discontinua (Vo=cost.)

Si consideri il funzionamento discontinuo. Poiché l’integrale della tensione dell’induttore esteso al periodo deve

essere uguale a zero si ha:

(− )∆

+ = 0 => = => ∆ =

Trascurando le perdite associate a tutti gli elementi del circuito, la potenza di ingresso è uguale a quella di uscita:

= => = => =

= − ∆

∆ => =

= ∆ +

Ricavando la si ha:

,

=

, ( ) ⁄

Quindi (Ragionamento Aree: ):

∙ = ∙ + ∆ 2

,

+∆ ( )

= = = +∆

, 2 2

Si ha allora che il valor medio della corrente d’uscita:

= = ∆ = = ,

∆ + 2 2

Si ha infine:

= ,

Effetto degli elementi parassiti In un convertitore buck-boost gli elementi parassiti sono dovuti

alle perdite associate all’induttore, al condensatore,

all’interruttore e al diodo. Diversamente dalla caratteristica

ideale, nella realtà, il decade quando il duty cycle si avvicina

/

all’unità. Generalmente non si opera con valori di D prossimi

all’unità (sovradimensionamento dello switch rispetto alla

potenza di uscita) per cui gli effetti degli elementi parassiti si

possono ritenere modesti.

Ripple della tensione di uscita Nell’ipotesi si può ritenere che la componente alternata

della corrente passi tutta per il condensatore; l’escursione di

tensione nel condensatore rispetto al valore medio perciò

corrisponde all’area (carica transitata attraverso L) moltiplicata

per . Quindi la tensione di ripple da picco a picco

1/ ∆

(assumendo che la corrente di uscita rimanga costante) può

essere calcolata come segue:

∆ = = =

Quindi:

∆ = =

Convertitore DC-DC di tipo Cúk: analisi e forme d'onda nel funzionamento continuo

Il condensatore funziona come mezzo principale

per immagazzinare energia e trasferirla

dall’ingresso all’uscita.

Rispetto al buck-boost classico, ho meno ripple nelle

correnti di ingresso ed uscita rendendo minore la

necessità di filtri esterni, a prezzo di un maggior

numero di componenti (vedi confronto in figura).

In regime permanente i valori medi delle tensioni

sugli induttori e sono uguali a zero perciò:

= +

Quindi è più grande di e di .

Quando l’interruttore è aperto, le correnti e

degli induttori circolano nel diodo. Il condensatore

è caricato attraverso il diodo con l’energia

proveniente sia dall’ingresso, sia dall’induttore . La corrente diminuisce, poiché è più grande di .

L’energia immagazzinata in alimenta l’uscita. Quindi anche diminuisce.

Quando l’interruttore è chiuso, polarizza inversamente il diodo. Le correnti e degli induttori circolano

nell’interruttore . Poiché , si scarica attraverso l’interruttore, trasferendo energia sull’uscita e su .

>

Quindi aumenta. L’ingresso fornisce energia a facendo in modo che aumenti.

Si possono ottenere le espressioni della tensione e della corrente in regime permanente in due modi differenti.

(1) Poiché gli integrali delle tensioni degli induttori estesi al periodo devono essere uguali a zero si ha:

1

+( )(1 )

: − − = 0 => = 1−

1

( ) (− )(1 )

: − + − = 0 => =

Si ha allora che:

= 1−

Trascurando le perdite associate a tutti gli elementi del circuito, la potenza di ingresso è uguale a quella di uscita:

1−

= => = => =

dove e .

= =

(2) Si supponga che le correnti e degli induttori siano essenzialmente prove di ripple (cioè e

=

). Poiché lo scambio netto di carica associata a durante un periodo deve essere uguale a zero si ha:

=

in durante in durante ( caricato da in scaricato da in )

| | = | | =

1−

(1 )

− = => = =

Trascurando le perdite associate a tutti gli elementi del circuito, la potenza di ingresso è uguale a quella di uscita:

= => = => = 1−

Convertitore DC-DC a ponte: configurazione full-bridge e applicazioni nel funzionamento a 4 quadranti

Il convertitore a ponte si presta per tre differenti applicazioni:

 azionamenti per motori in corrente continua;

 conversione DC/AC (onda sinus.) per gruppi di continuità monofase;

 conversione DC/AC (alta freq.) per alimentatori a commutazione con trasformatore di isolamento.

L’uscita del convertitore è una tensione continua , della quale si possono controllare l’ampiezza e il segno. in

modo analogo, si possono controllare l’ampiezza e la direzione della corrente di uscita .

Il convertitore a ponte ha due rami (gambe), A e B. in ogni ramo i due interruttori sono comandati in modo tale

che quando uno di essi è aperto, l’altro è chiuso. Quindi i due interruttori non sono mai aperti nello stesso tempo.

In realtà, essi sono entrambi aperti per un breve intervallo di tempo, chiamato tempo morto, per evitare un

cortocircuito della tensione continua di ingresso.

Dal circuito di figura si ha che , così come , dipende solo dallo stato degli interruttori ed è indipendente

dalla direzione di . Si ha perciò:

∙ +0∙ (1 )

= = ∙ =; = ∙ = ∙ −

∙( )

= − = −

La polarità della tensione d’uscita del convertitore a ponte è reversibile e quindi per modulare la larghezza degli

impulsi PWM degli interruttori del convertitore viene usata un’onda triangolare simmetrica avente la frequenza di

commutazione. Sono possibili due strategie di commutazione PWM.

Analisi e forme d'onda con gestione della commutazione a PWM bipolare

( ) ( )

Gli interruttori e sono trattati

, ,

come due coppie di interruttori: gli interruttori di

ciascuna coppia vengono chiusi e aperti

contemporaneamente.

I segnali di commutazione sono generati confrontando

un onda triangolare alla frequenza di commutazione con

la tensione di controllo. Quando allora

>

( ) ( ).

sono chiusi, altrimenti sono chiusi

, ,

Scegliendo arbitrariamente si ha:

= 0 ∆

= 0< < = =

/4 4 ∆

Allora all’istante si ha quindi:

= =

= 4 ( )

E dato che di è pari a:

,

=2 + 2

Si possono ricavare i duty cycle:

1

= = 1+ ; =1−

2

Perciò: (2

= − = − = − 1)

= = = .

Come si vede dalla figura la forma d’onda della tensione di uscita commuta istantaneamente tra e .

− +

Questo è il motivo per cui questa strategia di commutazione è definita PWM con tensione bipolare.

Convertitore DC-DC a ponte: analisi e forme d'onda con gestione della commutazione a PWM unipolare

Gli interruttori in ogni ramo dell’inverter sono controllati in

modo indipendente da quelli dell’altro ramo.

Un’onda triangolare è confrontata con la tensione di

controllo e per determinare

rispettivamente i segnali di controllo dei rami A e B. Il

confronto di con comanda gli interruttori del

ramo A, mentre gli interruttori del ramo B sono comandati

confrontando con nel seguente modo:

se chiuso, altrimenti chiuso;

> :

se chiuso, altrimenti chiuso.

− > :

Dalla figura si nota che, indipendentemente dalla direzione

di , si ha se e oppure e sono

= 0

entrambi chiusi: questa proprietà può essere utilizzata per

migliorare la forma d’onda della tensione d’uscita.

Come prima si possono ricavare i duty cycle:

1

= = 1+ ; =1−

2

Perciò: (2

= − = − = − 1)

= = = .

Se le frequenze di commutazioni degli interruttori sono le stesse per i due metodi PWM, allora la commutazione

con tensione unipolare fornisce una migliore forma d’onda della tensione di uscita (non oscilla più tra e

− +

ma tra e ) e una migliore risposta in frequenza, poiché la frequenza “effettiva” di commutazione della forma

0 +

d’onda della tensione di uscita è doppia (si noti come va da a il doppio delle volte rispetto al PWM

0 +

bipolare) e il ripple è ridotto.

Confronte del ripple della tensione di uscita con gestione bipolare ed unipolare

Dall’analisi sottostante si ricava la figura di sinistra, la quale

mostra che con la stessa frequenza di commutazione, la

modulazione PWM con tensione unipolare genera nella

tensione d’uscita un ripple con valore efficace più basso.

(nel libro c’è scritto bipolare ed è sbagliato poiché nella

versione inglese del libro c’è scritto unipolare)

Usando PWM con tensione bipolare si ha:

1 1

= = =

, (2

= − = 1 − − 1) = 2 −

, ,

Usando PWM con tensione unipolare si ha:

1 1 4 (2

= = 4 = = = − 1)

, | |

|2 | |−

= − = − 1| − = = −

, , |2 |2

dato che .

= − 1| => − 1| = /

Si noti inoltre che: 1 (2

6 −4 −2 > = − 1)

2

| |−

= =

, 1 (1 )

6 −4 < = − 2

2

Utilizzazione degli switch nei convertitori DC-DC: grafici e relazioni che permettono di identificarli

Per valutare quanto sia utilizzato bene l’interruttore nei circuiti dei convertitori si fanno le seguenti ipotesi:

( )

1) , ripple di corrente negli induttori trascurabile quindi ;

= =

, ( )

2) , ripple in trascurabile quindi ;

= =

,

3) variabile quindi duty cycle controllato per mantenere = .

Il valore nominale della potenza dell’interruttore è calcolato come:

potenza nominale dello switch tensione massima corrente massima

= ∙

Il fattore di sfruttamento dell’interruttore sarà quindi:

= Dal grafico si vede come è preferibile usare il convertitore elevatore o

quello abbassatore. Si può infatti osservare che i convertitori buck-

boost e Cúk hanno un fattore di sfruttamento massimo di 0.25:

conviene perciò usarli solo se effettivamente serve avere tensioni sia

più alte che più basse. Analogo discorso vale per i convertitori a ponte:

conviene usarli solo se serve effettivamente un funzionamento a 4

quadranti.

Circuiti equivalenti semplificati dei convertitori DC-DC (induttanze come generatori di corrente)

I circuiti equivalenti dei convertitori DC-DC si ottengono rappresentando

induttori e condensatori come generatori rispettivamente di corrente e

tensione.

Configurazione che consente l'inversione del flusso di potenza in un convertitore DC-DC

Se si considerano si ricade nel convertitore buck

,

con flusso di potenza da sinistra verso destra. Viceversa, se

il segno di si inverte, considerando si ottiene un

,

convertitore boost con flusso di potenza da destra verso

sinistra.

INVERTER DC-AC A COMMUTAZIONE: DC ↔ AC SINUSOIDALE

Definizione di inverter a tensione e a corrente impressa

Una classificazione degli inverter può avvenire in base al tipo

di accumulo esistente nel lato continua. Sono denominati

inverter a tensione impressa o VSI (Voltage Source Inverter),

quando in ingresso (DC) vi è una sorgente di tensione

continua, normalmente realizzata con un condensatore di

elevata capacità. Sono invece denominati inverter a corrente

impressa o CSI (Current Source Inverter), quando in ingresso

(DC) vi è una sorgente di corrente continua, normalmente

realizzata con un sistema di accumulo induttivo.

Si considereranno solo i VSI, dato che i CSI trovano applicazione in particolare per azionamenti di motori AC di

elevata potenza. Per quanto riguarda i VSI, tali inverter possono essere suddivisi in tre classi:

1) Inverter con modulazione a larghezza d’impulso. In tal caso l’inverter deve controllare l’ampiezza e la

frequenza della tensione di uscita, grazie alla tecnica Pulse Width Modulation (PWM) fatta da interruttori

controllati. Questa tecnica consente inoltre lo spostamento di armoniche più significative di tensione

verso valori di frequenza più elevati.

2) Inverter ad onda quadra. In questi inverter si controlla la tensione continua d’ingresso per controllare

l’ampiezza di quella alternata di uscita, e quindi l’inverter deve controllare solo la frequenza della

tensione d’uscita. Quest’ultima è alternata e ha una forma d’onda simile a quella quadra, da qui il nome.

3) Inverter monofase con cancellazione di tensione. Nel caso di inverter con tensione di uscita monofase, è

possibile controllare l’ampiezza e la frequenza della sua tensione d’uscita, anche se quella di ingresso è

una tensione continua costante e gli interruttori dell’inverter non sono comandati con impulsi modulati.

Inverter a commutazione in un azionamento per motore AC senza e con frenatura rigenerativa

Per rallentare il motore in AC, durante la frenatura, l’energia cinetica associata alla sua inerzia e al suo carico

viene recuperata e il motore funziona come generatore, con potenza che fluisce dal lato AC al lato DC.

L’energia recuperata durante la frenatura può essere dissipata su un resistore, che può essere inserito in parallelo

al condensatore. Tuttavia, quando le fasi di frenatura sono frequenti e l’energia recuperata può essere

consistente, un’alternativa migliore consiste in una frenata a recupero nella quale l’energia recuperata dall’inerzia

del carico del motore è restituita alla linea di alimentazione: ciò richiede che il convertitore, che collega

l’azionamento alla linea, sia a due quadranti con una corrente reversibile lato continua, che funzioni da

raddrizzatore durante il funzionamento da motore e come inverter durante la frenatura del motore.

Necessità del funzionamento su quattro quadranti

Si consideri un inverter monofase nel quale per semplicità la tensione di uscita è filtrata al punto che si può

ritenere sinusoidale. Inoltre poiché l’inverter alimenta un carico induttivo, come un motore AC, è sfasata in

ritardo rispetto a .

Dalle forme d’onda della tensione e della corrente si nota come varia la polarità di e : come conseguenza di

questa variabilità, il flusso di potenza si inverte ad ogni intervallo evidenziato. Quindi l’inverter, durante ogni

periodo della tensione alternata di uscita, deve funzionare in tutti i quattro quadranti del piano - : in un

convertitore a ponte è reversibile e può avere qualsiasi segno indipendentemente dalla direzione di .

Singolo ramo di inverter a commutazione (mezzo ponte) + Sintesi di una forma d'onda sinusoidale mediante PWM

Si consideri un ramo di un convertitore a ponte. Si desidera che l’uscita dell’inverter sia sinusoidale con ampiezza

e frequenza controllabili.

Per ottenere una forma d’onda sinusoidale con una frequenza desiderata, un segnale di controllo sinusoidale con

è confrontato con un’onda triangolare:

 la frequenza dell’onda triangolare stabilisce la frequenza di commutazione degli interruttori

(frequenza portante) ed è di solito tenuta costante.

 la frequenza dell’onda del segnale di controllo è la frequenza desiderata per la prima armonica

della tensione d’uscita dell’inverter (frequenza modulante).

Il rapporto di modulazione di frequenza è definito come:

=

Per ottenere una forma d’onda sinusoidale con un’ampiezza desiderata, un segnale di controllo sinusoidale

è usato per modulare il duty cycle dell’interruttore, mentre l’ampiezza dell’onda triangolare è

mantenuta costante. Il rapporto di modulazione d’ampiezza è definito come:

=

Gli interruttori sono comandati in base al confronto tra e :

Poiché i due interruttori non sono mai aperti

+ >

2 ⁄

contemporaneamente, la varia tra e

+ 2

= ⁄ .

− 2

− <

2 Si consideri dapprima una costante. Dalla

discussione del capitolo precedente relativa al

pilotaggio del convertitore DC-DC a ponte mediante

PWM bipolare si ricava che la tensione media d’uscita

su un vale:

= ≤

2

Si supponga ora che vari molto poco durante

un periodo di commutazione , cioè che ≫1

(ovvero che sia grande quindi sia piccola).

Si può allora assumere che sia costante durante , dove in questo caso l’equazione precedente mostra

come il valore medio istantaneo di ( ) varia da un periodo di commutazione all’altro. Questa media

istantanea coincide con quella della prima armonica di .

Perciò se varia in modo sinusoidale:

)

= sin( ≤

Allora dalle considerazioni precedenti si ha:

( ) )= )

= sin( sin( ≤1

2 2

= ≤1

2

Si vede quindi che l’ampiezza della prima armonica della tensione di uscita varia linearmente con .

Armoniche nella tensione di uscita Analizzando ora lo spettro armonico della tensione in uscita dal ponte,

le armoniche compaiono come barre verticali centrate attorno alla

frequenza di commutazione e ai suoi multipli, cioè attorno alle

frequenze , , e così via. Questa configurazione spettrale

2 3

resta valida per tutta la zona di modulazione lineare ≤ 1.

Se il rapporto di modulazione in frequenza è sufficientemente elevato

le ampiezze delle armoniche sono quasi indipendenti da ,

≥ 9,

sebbene definisca le frequenze alle quali esse si manifestano.

(Valutando la tensione modulata con si ha che il contributo

≥ 9

delle subarmoniche e della componente continua è inferiore all’1%

della componente fondamentale. In ogni caso le subarmoniche sono assenti nel caso di intero dispari oppure

di intero pari.)

Le frequenza alle quali si hanno le armoniche di tensione possono essere determinate con la seguente

espressione ( definisce le frequenze alle quali le armoniche si manifestano):

= ±

L’armonica di ordine è definita come (da grafico, ad esempio l’armonica a destra di è pari a

ℎ + 2):

ℎ= ±

Per valori dispari di j, le armoniche esistono solo per valori pari di k; per valori pari di j, le armoniche esistono solo

⁄ )

per valori dispari di k. Nella tabella sono tabulate le armoniche normalizzate in funzione del

/( 2

rapporto di modulazione d’ampiezza assumendo ≥ 9.

Si noti inoltre che è preferibile scegliere dispari, infatti in tale caso si ha simmetria dispari della forma d'onda

di uscita su mezzo periodo e quindi si avranno solo armoniche dispari.

Gestione della PWM

Per valori di relativamente bassi ≤

Si adotta la PWM sincrona, ovvero si fa in modo che sia intero, ovvero che il periodo della portante sia

contenuto esattamente un numero intero di volte in quella della modulante. È indispensabile per evitare di avere

subarmoniche (presenti quando non è intero).

Per valori di grandi >

Le ampiezze delle subarmoniche dovute ad una modulazione PWM asincrona sono piccole per valori elevati di

. Quindi, con un valore elevato di , la modulazione PWM asincrona si può utilizzare mantenendo costante

al variare di . Ciò fa sì che in genere non sia intero. Quindi sono presenti subarmoniche di ampiezza piccola

fintanto che è grande. Tuttavia, in certe condizioni possono comparire subarmoniche a bassa frequenza che,

anche se piccole, possono far circolare correnti consistenti che possono creare problemi a motori in AC.

PWM con sovramodulazione

L’ampiezza della prima armonica della tensione di uscita varia linearmente con , finchè questo è ≤ 1:

= ≤1

2

Per aumentare ulteriormente l’ampiezza della prima armonica della tensione di uscita, viene aumentato oltre

ottenendo così la sovramodulazione: questa genera una tensione di uscita che contiene molte più

= 1,

armoniche in confronto a quelle che si hanno in zona lineare. Nella zona di sovramodulazione, anche con un

valore di elevato, l’ampiezza delle armoniche dipende da , al contrario di quanto avviene nella zona lineare

dove l’ampiezza delle armoniche varia linearmente con , quasi indipendentemente da (purché ≥ 9).

Indipendentemente dal valore di , conviene usare un la modulazione PWM sincrona (poiché se si utilizzasse la PWM

asincrona con è relativamente basso le subarmoniche avrebbero ampiezza elevata, mentre se se è elevato sono elevate le ampiezze armoniche).

Con la sovramodulazione, indipendentemente dal valore di , conviene usare un la modulazione PWM sincrona.

Si può concludere che nella zona di sovramodulazione con si ha:

> 1

4

< < >1

2 2

Funzionamento in onda quadra Si noti che la commutazione ad onda

quadra è un caso particolare della

commutazione PWM sinusoidale

nella quale diventa grande al

punto che la forma d’onda della

tensione di controllo interseca la

triangolare solo in corrispondenza

dell’attraversamento dello zero da parte di . Perciò, nella zona ad onda quadra (come detto per la

sovramodulazione), la tensione d’uscita è indipendente da . Perciò nella commutazione ad onda quadra si ha:

4

= = 1.273 ; =

2 2 ℎ

I vantaggi del funzionamento ad onda quadra sono i seguenti:

 minimo numero di commutazioni, poiché ogni interruttore cambia stato solo due volte in un periodo;

 massima ampiezza della fondamentale.

Gli svantaggi del funzionamento ad onda quadra sono i seguenti:

 ampiezza della fondamentale non regolabile (il duty cycle è fisso a 0.5);

 elevato contenuto armonico a frequenze basse.

Inverter monofase a mezzo ponte

Scegliendo una commutazione PWM, si trova che la forma d’onda della tensione d’uscita è esattamente quella

discussa in precedenza ( ≤ 1).

Indipendentemente dagli stati degli interruttori, si nota che la corrente si divide in modo uguale tra i due

condensatori. I due condensatori sono effettivamente connessi in parallelo rispetto al percorso della corrente.

Perciò è come se ci fosse un condensatore di capacità doppia ( ) in serie alla corrente . Di

// = 2

conseguenza questi condensatori bloccano la

componente continua della corrente , lasciando passare

solo la componente alternata.

Il carico sarà quindi aumentato di un condensatore di

capacità , che comporterà una caduta di tensione:

2

questo causa una fluttuazione sinusoidale della tensione

d’uscita pari a quella della sinusoide da formare. La

corrente è in anticipo rispetto alla tensione, e risente

anch’essa della presenza del condensatore, aumentando

con e diminuendo con , quindi variando con la

+ −

stessa frequenza della tensione.

Si può inoltre analizzare la corrente sul lato DC:

quest’ultima contiene una componente continua

responsabile del trasferimento di potenza attiva dal lato DC al lato AC, e una componente sinusoidale con

frequenza doppia di quella fondamentale ( ), ma troppo bassa per essere filtrata dai condensatori ( ).

Inverter monofase a ponte completo + Gestione bipolare ed unipolare

La struttura è quella del convertitore a ponte. Invece di avere una costante, ora si opera con una

sinusoidale. Si può variare sia l’ampiezza (tra ) che la frequenza della tensione d’uscita. Come nel

±

convertitore DC/DC, la strategia di commutazione può essere bipolare od unipolare.

PWM con tensione bipolare

( ) ( )

Gli interruttori e sono trattati come due coppie di interruttori: gli interruttori di ciascuna

, ,

coppia vengono chiusi e aperti contemporaneamente. Si ha che:

Si ha inoltre che l’ampiezza della prima armonica della tensione di uscita vale:

= ≤1

4

< < >1

Si può inoltre analizzare la corrente sul lato DC. Si ipotizza la presenza di filtri tali da eliminare le componenti

armoniche attorno a e di frequenza superiore, ma non le armoniche vicine alla frequenza .

Si consideri di porre un filtro fittizio L-C sia sul lato DC che su quello AC, e si assuma una molto alta tendente ad

infinito. Perciò L e C possono avere un valore molto piccolo per eliminare da e le componenti armoniche

dovute all’elevata frequenza . Si considera allora che non ci siano elementi che immagazzinano energia e la

potenza istantanea in ingresso sia uguale a quella d’uscita. Sul lato DC il filtro L-C elimina dalla corrente le

componenti con elevata frequenza : pertanto contiene solo le componenti a bassa frequenza e la

componente continua. L’angolo è l’angolo di ritardo con il quale segue .

Nota

La semplificazione della prima equazione è ottenuta dalla formula di Werner:

1 ) )

sin ∙ sin = cos( − − cos( +

2 ∗

L’equazione mostra che contiene una componente continua responsabile del trasferimento di potenza attiva

dal lato DC al lato AC, e una componente sinusoidale con frequenza doppia di quella fondamentale.

PWM con tensione unipolare Gli interruttori in ogni ramo dell’inverter sono

controllati in modo indipendente da quelli dell’altro

ramo.

Se le frequenze di commutazioni degli interruttori

sono le stesse per i due metodi PWM, allora la

commutazione con tensione unipolare fornisce una

migliore forma d’onda della tensione di uscita (non

oscilla più tra e ma tra e , e e

− + 0 + 0

) e una migliore risposta in frequenza, poiché la

frequenza “effettiva” di commutazione della forma

d’onda della tensione di uscita è doppia (si noti

come va da e , e e il doppio delle volte

0 + 0 −

rispetto al PWM bipolare) e il ripple è ridotto.

Il vantaggio di raddoppiare la è evidente nello spettro delle armoniche della tensione di uscita, nel quale le

armoniche più basse sono presenti in bande intorno alla frequenza doppia di quella di commutazione (più distanti

dalla prima armonica e semplici da filtrare). Infatti lo sfasamento tra l’armonica di e quella di è

uguale a gradi, e questo sfasamento è equivalente a zero (un multiplo di se è pari: come

180 ∙ 360°)

conseguenza sono nulle le armoniche ai multipli pari di . Inoltre le armoniche intorno alla frequenza di

commutazione scompaiono.

Si ha inoltre che:

= ≤1

4

< < >1

Tecnica della cancellazione della tensione

Si basa sulla combinazione di una commutazione a onda quadra e una con PWM a tensione unipolare.

Gli interruttori dei due rami sono comandati separatamente, ma tutti gli interruttori hanno un duty cycle di 0.5.

Questo permette di ottenere le forme d’onda e nelle quali può essere controllato l’angolo di

sovrapposizione , durante il quale la tensione d’uscita è uguale a zero dato che entrambi gli interruttori superiori

o inferiori sono chiusi. Con la forma d’onda della tensione di uscita è pari ad un onda quadra con la

= 0

massima ampiezza possibile della prima armonica dell’uscita. (1/2)

La fondamentale e le armoniche della tensione di uscita in funzione di valgono (disegno):

= 90° −

4 4 4 4

) )

= cos(ℎ = sin ℎ − = sin(ℎ = cos ℎ

ℎ 2 2 ℎ ℎ 2

dove è un numero intero dispari.

La figura in basso a sinistra mostra

le variazione nella componente a

frequenza fondamentale, oltre alle

altre tensioni armoniche in funzione

di . In funzione di quest’ultimo è

rappresentata anche la distorsione

armonica totale THD. Si noti che a

causa della distorsione elevata, le

curve sono disegnate con tratteggio

per valori elevati di . Inoltre esiste

un valore per cui la THD è minima,

ma l’ampiezza della fondamentale è

ridotta.

Ripple della tensione di uscita di un inverter monofase

Il ripple in una forma d’onda periodica si riferisce alla differenza tra il valore istantaneo della forma d’onda e

( )

quello della sua componente alla frequenza fondamentale. Inoltre poiché è sinusoidale, solo le componenti

sinusoidali (frequenza fondamentale) sono responsabili del trasferimento di potenza attiva al carico.

Si considerino separatamente la prima armonica dalle componenti di ripple di e , applicando il principio di

sovrapposizione delle cause e degli effetti. si avrà così che ai capi di compare tutto il ripple:

1 1

( )= (0) ( )− ( ) (0)

= => + = +

( )

Sapendo che ha valor medio nullo:

1 1 1

⟨ ⟩= ( ) ( )− ( ) (0)

= + = 0 =>

1

(0) ( )− ( )

= −

Con l’inverter PWM si ottiene un ripple di corrente con un valore massimo sostanzialmente più piccolo in

confronto a quello di un inverter a onda quadra.

Inverter push-pull

Il vantaggio principale di un circuito push-pull è che in ogni istante conduce solo uno degli interruttori. È

necessario però disporre di un trasformatore con doppio numero di spire al primario, con conseguente

dimensionamento oneroso. ⁄

Quando è chiuso, indipendentemente dalla direzione di si ha che , dove il rapporto tra le spire

=

di metà primario e quelle del secondario del trasformatore. Analogamente quando è chiuso,

indipendentemente dalla direzione di si ha che .

= −

(Perciò le forme d’onda della tensione d’uscita con modulazione PWM sono identiche a quelle precedenti solo la

tensione d’uscita ha ampiezza anziché .)

= ± = ±

Si ha inoltre che: 4

= ≤ 1; < < >1

In una commutazione, la corrente è forzata a zero e passa da una metà all’altra dell’avvolgimento primario del

trasformatore: i due primari devono essere quindi bene accoppiati, poiché l’energia magnetica si deve trasferire

tutta da un primario all’altro riducendo più possibile quella associata alla loro induttanza di dispersione. Questa

energia verrà dissipata negli interruttori o nei loro circuiti di protezione (snubber: vedi convertitori rirosnanti).

In convertitore che opera con PWM sinusoidale il trasformatore deve essere dimensionato per la frequenza .

Questa condizione comporta un maggior numero di spire con una conseguente elevata induttanza di dispersione,

e limita l’utilizzo di questo inverter a frequenze non superiori a .

1

Inverter trifase 1

Configurazione Il circuito più frequentemente usato per un inverter

trifase è costituito da tre rami (o gambe), uno per ogni

fase. L’uscita di ciascun ramo dipende solo da e dallo

stato dell’interruttore.

La tensione di uscita non dipende dalla corrente del

carico poiché non esiste istante in cui tutti gli

interruttori sono aperti, nell’ipotesi di tempo morto

nullo per gli interruttori.

Forme d'onda con PWM trifase, Armoniche della tensione di uscita

Per avere tensioni d’uscita trifase equilibrate in un inverter

PWM trifase, la stessa tensione con la forma d’onda triangolare

è confrontata con tre tensioni sinusoidali di controllo che sono

tra di loro sfasate di 120°.

Le armoniche delle tensioni di ciascuno dei rami, per esempio

, sono identiche a quelle di dell’inverter monofase

PWM, dove esistono solo le armoniche dispari, disposte in

bande centrate attorno a e ai suoi multipli, purché sia

dispari.

Per quanto riguarda le armoniche nelle tensioni concatenate, si

nota che lo sfasamento tra l’armonica di e quella di

è uguale a gradi, e questo sfasamento è equivalente a

120 ∙

zero (un multiplo di se è dispari e multiplo di tre:

360°)

come conseguenza sono nulle le armoniche

a e ai suoi multipli dispari di .

Considerazioni relative alla modulazione PWM sono riassunte qui di seguito:

1) Con bassi valori di per eliminare le armoniche pari si usa un PWM sincrono e deve essere un

numero intero dispari. Inoltre, deve essere un multiplo di tre per eliminare la maggior parte delle

armoniche dominanti dalla tensione concatenata.

2) Con elevati valori di sono validi i commenti fatti per un inverter PWM monofase (PWM asincrono).

3) Durante la sovramodulazione ( indipendentemente dai valori di si osservano le indicazioni

> 1),

valide per piccoli valori di .

Tensione di uscita nelle varie modalità

Modulazione in zona lineare ( < 1)

Nella zona lineare la prima armonica della tensione d’uscita varia in modo lineare con il rapporto di

modulazione d’ampiezza. Il valore massimo della prima armonica in uno dei rami dell’inverter è:

Quindi, il valore efficace (√2) della tensione concatenata (√3) alla frequenza fondamentale, dovuto a uno

sfasamento di tra le tensioni di fase, può essere scritto come:

120°

Sovramodulazione ( > 1)

Diversamente dalla zona lineare, in questa modalità di funzionamento l’ampiezza della prima armonica della

tensione non aumenta in proporzione a . Analogamente a un PWM monofase, per un valore abbastanza

elevato di il PWM trifase degenera nelle forme d’onda di un inverter ad onda quadra.

Il valore massimo della prima armonica in uno dei rami dell’inverter è:

Quindi, il valore efficace (√2) della tensione concatenata (√3) alla frequenza fondamentale, dovuto a uno

sfasamento di tra le tensioni di fase, può essere scritto come:

120°

Nella zona di sovramodulazione, rispetto alla zona lineare, compaiono più armoniche nelle bande centrate

attorno alle frequenze delle armoniche dei suoi multipli. Tuttavia, le armoniche dominanti non hanno una

ampiezza così elevata come quelle delle zona lineare, quindi le perdite nel carico dovute alle armoniche non sono

così elevate.

Funzionamento in onda quadra Se la tensione continua d’ingresso è

controllabile, l’inverter trifase può funzionare in

modalità onda quadra (poiché si ricordi che nel

funzionamento in onda quadra non è possibile

regolare l’ampiezza della tensione d’uscita).

Inoltre, per un valore di abbastanza elevato,

il PWM degenera nella modalità di

funzionamento a onda quadra. In questo caso

ogni interruttore è chiuso per (cioè, il suo

180°

duty cycle è del 50%), quindi in ogni momento

sono chiusi tre interruttori. Nel funzionamento in

onda quadra, l’inverter stesso non può

controllare l’ampiezza della tensione d’uscita.

Il valore efficace della prima armonica della tensione concatenata d’uscita vale:

4

√3 √6

= = ≅ 0.78

2

( ) √2

Il valore efficace della armonica della tensione concatenata d’uscita vale:

ℎ-esima

√6

= ≅ 0.78

( )

Si noti che non è possibile controllare l’ampiezza dell’uscita in un inverter trifase a onda quadra mediante la cancellazione della tensione.

Sfruttamento degli switch negli inverter

Nella modalità PWM, l’ingresso rimane costante a . In modalità onda quadra, si fa scendere la tensione

,

d’ingresso sotto per diminuire quella d’uscita rispetto al suo valore massimo (ovvero per mantenere la

,

stessa ampiezza della prima armonica di tensione, il funzionamento ad onda quadra richiede un valore minore di

dato che è maggiore nel funzionamento in onda quadra).

=

,

Indipendentemente dalla modalità di funzionamento (PWM o onda quadra), si suppone che il carico d’uscita

abbia una induttanza talmente elevata da ottenere una corrente perfettamente sinusoidale (una condizione

ideale non richiesta per un’uscita a onda quadra) con un valore efficace di corrente corrispondente al

,

carico massimo.

Supponendo che la corrente di uscita sia perfettamente sinusoidale, la potenza apparente relativa alla prima

armonica nel lato di uscita dell’inverter ha un valore pari a nelle condizioni di carico massimo, dove il

∙ ,

pedice indica la componente fondamentale.

1

Chiamando e i valori massimi della tensione e della corrente della valvola, lo sfruttamento medio di tutti gli

interruttori di un inverter può essere definito nel modo seguente:

dove q è il numero degli interruttori dell’inverter.

Si osserva allora che il massimo indice di sfruttamento della valvola di un inverter trifase con tre gambe è lo stesso

di un inverter monofase. (In altre parole, usando valvole con prestazioni uguali, un inverter trifase, nel quale il

numero degli interruttori sia aumentato del 50%, permette di ottenere un incremento del 50% della potenza di

uscita, rispetto a un inverter monofase.)

Grandezze di uscita con inverter trifase

Ripple della tensione di uscita: Analisi alla frequenza fondamentale

Si suppone che l’inverter trifase alimenti un carico costituito da un motore trifase. Ogni fase del carico è

rappresentata dal suo circuito equivalente semplificato riferito al neutro (centro stella del carico). Si suppone

( ), ( ), ( )

che le forze elettromotrici indotte e siano sinusoidali.

In condizioni di funzionamento equilibrate si ha:

≜ −

≜ −

≜ −

e le tre forze elettromotrici indotte costituiscono una terna trifase simmetrica di tensioni: + + = 0

Considerando il carico collegato a stella e le impedenze delle tre fasi uguali, allora la somma delle correnti

entranti nel carico è zero: + + = 0.

Si ha così che: + + = 0.

Dallo schema si nota che:

= + + +

= + => =− 3

= +

Si ha così che:

2 +

= −

3 3

2 +

= −

3 3

2 +

= −

3 3

Solo le prime armoniche della tensione di fase e la corrente d’uscita sono responsabili del trasferimento

( )

della potenza attiva, poiché si è supposta sinusoidale la forza elettromotrice e la resistenza del carico è

trascurabile. Quindi si ha:

= +

Confronto ripple di tensione tra onda quadra e PWM

Usando il principio di sovrapposizione delle cause e degli effetti, ai capi dell’induttanza del carico è presente

tutto il ripple di . Sapendo che:

2 +

= −

3 3

In figura sono rappresentate le forme d’onda per un inverter ad onda quadra e a PWM. Entrambi gli inverter

hanno la stessa ampiezza della prima armonica di tensione , la quale però richiede un valore più alto di nel

funzionamento PWM. =( )

La tensione è il ripple nella tensione tra fase e neutro. (Assumendo uguali i carichi in

,

questi due casi, il ripple della corrente d’uscita è ottenuto mediante il processo descritto in “Ripple della tensione

di uscita di un inverter monofase”). Il ripple di corrente non dipende dalla potenza trasferita, cioè, per una data

induttanza del carico , il ripple della corrente è lo stesso fino a che rimangono costanti ampiezza e frequenza del

ripple nella tensione d’uscita dell’inverter.

Questo confronto indica che per grandi valori di il ripple della corrente nell’inverter PWM è notevolmente più

basso di quello di un inverter a onda quadra (ed è a frequenza più elevata).

Corrente assorbita lato DC

Si suppone che la tensione d’ingresso sia costante e senza ripple. Si ipotizza la presenza di filtri tali da eliminare

le componenti armoniche attorno a e di frequenza superiore, ma non le armoniche vicine alla frequenza .

Si consideri di porre un filtro fittizio L-C sia sul lato DC che su quello AC, e si assuma una molto alta tendente ad

infinito. Perciò L e C possono avere un valore molto piccolo per eliminare da e le componenti armoniche

dovute all’elevata frequenza . Si considera allora che non ci siano elementi che immagazzinano energia e la

potenza istantanea in ingresso sia uguale a quella d’uscita. Sul lato DC il filtro L-C elimina dalla corrente le

componenti con elevata frequenza : pertanto contiene solo le componenti a bassa frequenza e la

componente continua.

In un funzionamento equilibrato a regime, le grandezze delle tre fasi sono sfasate di una rispetto all’altra.

120°

Indicando con l’angolo con il quale la corrente di fase è in ritardo rispetto alla tensione di fase dell’inverter e,

rispettivamente, con e con Ia le ampiezze delle tensioni e delle correnti di fase, si ha

√2 √2

∗ ∗

Quindi è una grandezza continua, a differenza di dell’inverter monofase che conteneva una componente con

una frequenza doppia di quella dell’uscita. Tuttavia, oltre a , la corrente contiene armoniche legate alla alta

frequenza di commutazione (figura), le quali però hanno un effetto trascurabile sulla tensione del condensatore

proprio a causa della loro frequenza elevata.

Inverter trifase 2

Conduzione degli switch: onda quadra

La zona di conduzione dei diodi (bande gialle) si amplia al

diminuire del fattore di potenza (ovvero all’aumentare di e

quindi dell’angolo con il quale la corrente di fase è in ritardo

rispetto alla tensione di fase dell’inverter). L’inverter non può

controllare l’ampiezza della fondamentale (onda quadra).

(Figura con esempio di di ritardo).

= 30°

Conduzione degli switch e stati di corto circuito con PWM

Esistono degli intervalli di tempo in cui A, B e C sono allo

stesso potenziale (l’uscita è in corto circuito). La loro ampiezza

determina l’ampiezza della fondamentale.

(Figura con esempio di di ritardo).

= 30° Gli intervalli di tempo evidenziati nella figura

precedente corrispondono alle situazioni

descritte dalle figure a sinistra (tutti i terminali

a o a

+ 0)

Effetto del tempo morto

Si faccia riferimento al ramo di un inverter a ponte

monofase o trifase. Con riferimento ad un periodo di

commutazione, è una tensione continua

costante e il suo confronto con l’onda triangolare

determina gli istanti di commutazione e i segnali di

comando degli interruttori , considerando

ideali gli interruttori. In realtà, in conseguenza dei

tempi non nulli di apertura e di chiusura propri di ogni

tipo di valvola è necessario attendere un tempo ,

detto tempo morto, prima di accendere uno switch per

garantire lo spegnimento dell’altro.

Poiché durante il tempo morto entrambi gli interruttori

sono aperti, in questo intervallo dipende dal segno

della corrente di :

 Se spegnendo si ha che comunque

> 0,

entra in conduzione come nel caso ideale;

invece, allo spegnimento di , durante la

tensione resta a anziché portarsi a e

0

quindi si ha una diminuzione del valore medio

della tensione di uscita

 Se spegnendo durante continua

< 0, ∆

comunque a condurre e quindi la tensione

rimane a anziché portarsi a e quindi si ha

0

un aumento del valore medio della tensione di

uscita; spegnendo entra invece in

conduzione e quindi il ritardo di

accensione di non influisce sulla tensione.

La differenza (definita come una diminuzione se positiva) nella tensione d’uscita dovuta a vale, considerando

anche che e :

= − = − ; =−

Di seguito viene riportata nel dettaglio la commutazione per una migliore comprensione.

In figura si può vedere come

quando la corrente cambia segno

c’è un “salto” di tensione pari a

.

2

Si consideri la forma d’onda di

( ) per per una

sinusoidale in un inverter PWM

monofase a ponte, dove la

corrente di carico è supposta

sinusoidale e sfasata in ritardo

( ).

rispetto a

Si ha una variazione del valore

efficace, dipendente da , e una

distorsione sulla tensione di

uscita, che al passaggio della

corrente per lo zero dà luogo ad armoniche di ordine basso come la terza, quinta, settima e così via, della

frequenza fondamentale nell’uscita dell’inverter.

Eliminazione programmata delle armoniche

Si consideri come esempio la tensione di un ramo dell’inverter,

normalizzata rispetto a , rappresentata nel grafico in cui sei buchi

(1/2)

sono stati introdotti in un’onda quadra d’uscita, per controllare l’ampiezza

della fondamentale e per eliminare la quinta e la settima armonica.

Con riferimento a un semiperiodo, ogni buco fornisce un grado di libertà, cioè, tre buchi per ogni semiperiodo

permettono di controllare la fondamentale ed eliminare due armoniche, in questo caso la quinta e la settima.

La forma d’onda d’uscita ha una simmetria dispari, quindi sono presenti solo le armoniche dispari (coefficienti

della serie seno).

Poiché in un inverter trifase (formato da tre rami) la terza armonica e i suoi multipli non sono presenti in uscita (tensione concatenata), non

è necessario eliminarli dall’uscita di ciascun ramo dell’inverter utilizzando un buco nella forma d’onda.

La frequenza di commutazione dell’interruttore della figura è sette volte quella di commutazione associata al

funzionamento a onda quadra. Con il funzionamento a onda quadra, la prima armonica della tensione è:

A causa dei buchi, si riduce l’ampiezza massima disponibile della fondamentale, e si ha:

Gli angoli vengono ricavati in base al valore richiesto della fondamentale e per eliminare la quinta e la

, ,

settima armonica.

Per permettere il controllo della prima armonica e per eliminare le armoniche di ordine 5°, 7°, 11° e 13° sono richiesti cinque buchi per

semiperiodo. In questo caso, la frequenza di commutazione è 11 volte quella di commutazione associata al funzionamento a onda quadra

CONVERTITORI RISONANTI

Introduzione

In tutte le topologie di convertitori dc-dc e dc-ac con modulazione a larghezza di impulso discussi in precedenza,

le valvole erano fatte funzionare come interruttori, per cui dovevano interrompere o far circolare la corrente

durante ogni commutazione. In questa modalità di funzionamento gli interruttori sono sottoposti a sollecitazioni

elevate e danno luogo a notevoli perdite di commutazione, che crescono linearmente con la frequenza di

commutazione del PWM. Uno altro svantaggio significativo del funzionamento delle valvole come interruttori è la

produzione di interferenze elettromagnetiche EMI (Electro Magnetic Interference) dovuta agli elevati valori /

e conseguenti al funzionamento in tale modalità. Questi inconvenienti dei convertitori a commutazione

/

vengono accentuati quando si aumenta la frequenza per ridurre la dimensione e il peso del convertitore,

aumentando in tal modo la densità di potenza.

Pertanto, quando si vuole realizzare convertitori che funzionano con elevate frequenze di commutazione, i

suddetti inconvenienti vengono ridotti se ogni interruttore dell’inverter cambia il suo stato (da chiuso ad aperto e

viceversa) nell’istante in cui la tensione ai suoi capi e/o la corrente che lo attraversa sono uguali a zero al

momento della commutazione. La maggior parte di questi convertitori richiede l’impiego di circuiti LC risonanti.

Commutazione di una corrente induttiva

Si consideri uno dei rami di un convertitore a ponte. Si può ritenere che, durante l'intervallo di commutazione,

assai breve, la corrente d’uscita possa circolare in entrambe le direzioni e abbia una ampiezza costante , grazie

alla presenza del carico induttivo.

Inizialmente si fa l’ipotesi che circoli attraverso :

 se viene applicato un segnale di controllo per aprire , la tensione dell’interruttore sale a più un

picco di sovratensione dovuto alle induttanze parassite in serie, mentre la corrente dell'interruttore

scende a zero;

 una volta che è aperto la corrente circola in ;

 se viene applicato un segnale di controllo per chiudere , la corrente dell'interruttore aumenta fino

a più un picco di sovracorrente dovuto alla corrente di ripristino del diodo , mentre la tensione

dell’interruttore scende a zero.

Le traiettorie devono restare all’interno della zona di operazione sicura (SOA), definita dai limiti di corrente e

– tensione, affinché l’interruttore riesca a sopportare le elevate

sollecitazioni di commutazione dovute ad una elevata tensione e

una elevata corrente presenti nello stesso istante.

Nel caso di corrente negativa si fa lo stesso ragionamento con .

Il valore medio delle perdite di commutazione , essendo

proporzionale alla frequenza di commutazione, pone un limite

all’aumento della frequenza di commutazione stessa (attuale sembra essere di circa 500 kHz con rendimenti

energetici ragionevoli), se non si vuole ridurre in modo significativo il rendimento del sistema.

Un altro significativo svantaggio nel funzionamento delle valvole come interruttori è che si hanno valori elevati di

e , necessari per avere una notevole velocità di cambiamento dello stato dell’interruttore, tale da

/ /

contenere le perdite di commutazione nell’interruttore stesso. L’impiego di diodi con modeste caratteristiche di

ripristino esalta questo fenomeno, che produce interferenza elettromagnetica (EMI).

Commutazione a tensione zero e corrente zero

Le sollecitazioni degli interruttori possono essere ridotte inserendo semplici circuiti dissipativi di protezione

(snubber costituiti da diodi e da elementi passivi, posti in serie e in parallelo con gli interruttori dei convertitori)

Inizialmente si fa l’ipotesi che circoli attraverso :

 se viene applicato un segnale di controllo per aprire , la tensione dell’interruttore sale a più un

picco di sovratensione dovuto alle induttanze parassite in serie, mentre la corrente dell'interruttore

scende a zero: si pone un condensatore in parallelo a per limitare la all’apertura con in serie

/

una resistenza e un diodo in parallelo, il quale conduce quando è aperto, mentre è interdetto quando

è chiuso per permettere al condensatore di scaricarsi. Si noti che la resistenza non può essere troppo

elevata, con conseguente grande, come non può essere troppo piccola, con conseguente corrente

=

di scarica grande.

 una volta che è aperto la corrente circola in ;

 se viene applicato un segnale di controllo per chiudere , la corrente dell'interruttore aumenta fino

a più un picco di sovracorrente dovuto alla corrente di ripristino del diodo , mentre la tensione

dell’interruttore scende a zero: si pone un induttore in serie a per limitare la alla chiusura

/

con in parallelo una serie di una resistenza e un diodo, il quale è interdetto quando è chiuso, mentre è

conduce quando è aperto per permettere all’induttore di scaricarsi. Si noti che la resistenza non può

essere troppo elevata, con conseguente tensione di scarica elevata, come non può essere troppo piccola,

con conseguente grande.

= / Tuttavia, questi

circuiti dissipativi spostano le perdite, dovute alle

commutazioni, dall’interruttore al circuito e quindi

non ottengono una riduzione globale delle perdite

stesse. Si ha la presenza di un numero maggiore di

componenti, con costi elevati e maggiori possibilità

di guasto. È presente anche un certo ritardo nella

commutazione (circa in modo che i transitori si

3/4

esauriscano il più possibile).

Traiettorie di commutazione

In alternativa ai circuiti dissipativi, nei convertitori statici la combinazione di appropriate topologie e di strategie

di commutazione permette di superare il problema delle sollecitazioni degli interruttori, delle perdite di

commutazione e delle EMI, aprendo e chiudendo gli interruttori del convertitore quando la tensione e/o la

corrente dell’interruttore sono a zero.

Classificazioni dei convertitori risonanti

Un modo per classificare questi convertitori è il seguente:

Convertitori con risonanza lato carico:

a) Questi convertitori comprendono un circuito LC risonante. La tensione e la

corrente oscillanti, dovute al circuito LC risonante, sono applicate al carico e gli interruttori dell’inverter possono essere

comandati con tensione e/o corrente nulla.

 convertitori a tensione impressa con risonanza in serie:

convertitori con carico serie (SLR: series ...)

 convertitori con carico parallelo (PLR: parallel...)

 convertitori ibridi

 convertitori a corrente impressa con risonanza in parallelo

 convertitori in classe E e sottoclasse E

b) Convertitori quasi risonanti o con risonanza sullo switch (switch resonant): In certi tipi di convertitori, un circuito

risonante LC può essere utilizzato per dare forma alla tensione e alla corrente sull’interruttore in modo da ottenere una

commutazione con tensione e/o corrente zero. In questi convertitori, in un periodo della frequenza di com¬mutazione vi sono

intervalli di funzionamento risonante e non risonante. Quindi, nella letteratura questi convertitori sono stati definiti convertitori

quasi risonanti.

 convertitori DC/DC con risonanza sullo switch

convertitori con commutazione a corrente zero (ZCS)

 convertitori con commutazione a tensione zero (ZVS)

 convertitori pseudo risonanti - risonanti in transizione - commutanti a tensione zero e con tensione

limitata (ZVS-CV - Clamped Voltage)

Convertitori con collegamento in alta frequenza a semiperiodi:

c) Se l’ingresso di un inverter monofase o trifase è

sinusoidale ac ad alta frequenza, usando interruttori bidirezionali è possibile sintetizzare una tensione alternata a una bassa

frequenza con ampiezza e frequenza regolabile, oppure una tensione continua con ampiezza regolabile, se gli interruttori sono

chiusi e aperti al passaggio dallo zero della tensione d’ingresso.

Circuiti con risonanza di tipo serie

Circuito risonante serie non smorzato 1 1

= ; = = = = ; = = = =

√ √ √

Eq. circuito

+ = ; = => + = (0) = , (0) =

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ) )

+ cos( + sin(

( )= )+ )

=− sin( cos(

Condizioni iniziali

(0) = = + => = −

(0) = = => = =

Eq. tensione e corrente

( )= −( ) ( )+ ( )

− cos − sin −

( )

( )= ( )+ ( )

cos − sin −

Eq. tensione e corrente in per unità (p.u.) rispetto a dei valori base

Caso:

= 0.5; V = 0.75

=

= ( )

( )= (1 ) ( )+ ( )

= 1 − − cos − ̃ sin −

( )

( )= ( ) (1 ) ( )

̃ = ̃ cos − + − sin −

Circuito risonante serie con condensatore in parallelo al carico

Caso particolare Caso:

= 0.5; V =0

Risposta in frequenza di un circuito risonante serie

In presenza di una resistenza di carico , un’altra grandezza chiamata fattore di qualità è definita come:

1

= = =

La seconda fig. mostra il modulo dell’impedenza del circuito in funzione della pulsazione, dove è assunto

parametro e è costante. Si osserva che è una resistenza pura uguale a R per e che per elevati valori

=

di è molto sensibile alla variazione di pulsazione rispetto a . La terza fig. mostra l’angolo di fase della

corrente in funzione della pulsazione. Per pulsazioni inferiori a ( ) la corrente è in anticipo

= − <

rispetto alla tensione, perché l’impedenza del condensatore predomina su quella dell’induttore, mentre per

pulsazioni superiori a ( ) la corrente è in ritardo rispetto alla tensione, perché l’impedenza

>

dell’induttore predomina su quella del condensatore.

Se ci si sposta dalla condizione di risonanza si ha:

1 1 1 1 1

= + + = 1+ + = 1+ + =

1 1 −1 1

+ = = ∙ ∙ −1 = −

= 1+ −

1

arg = + / = arctan −

Circuiti con risonanza di tipo parallelo

Circuito risonante parallelo non smorzato

Risposta in frequenza di un circuito risonante parallelo

In presenza di una resistenza di carico , un’altra grandezza chiamata fattore di qualità è definita come:

= = =

La seconda fig. mostra il modulo dell’impedenza del circuito in funzione della pulsazione, dove è assunto

parametro e è costante. Si osserva che è una resistenza pura uguale a R per . La terza fig. mostra

=

l’angolo di fase della tensione in funzione della pulsazione. Per pulsazioni inferiori a ( ) la

= − <

tensione è in anticipo rispetto alla corrente, perché l’impedenza dell’induttore è inferiore a quella del

condensatore e quindi predomina la corrente dell’induttore, mentre per pulsazioni superiori a ( ) la

>

tensione è in ritardo rispetto alla corrente, perché l’impedenza del condensatore è inferiore a quella

dell’induttore.

Se ci si sposta dalla condizione di risonanza si ha:

1 1

= 1+ − ; =

arg = arctan − ; arg = − arg = arctan −

Convertitori dc-dc risonanti con carico in serie (SLR)

Si può inserire un trasformatore per ottenere l’ampiezza desiderata della tensione d’uscita e per isolare

galvanicamente l’uscita dall’ingresso. Il circuito risonante serie è costituito da e e la corrente che in esso

| |

circola viene poi raddrizzata. alimenta lo stadio d’uscita. Si ha così che il carico si presenta in serie con il

circuito risonante. Il condensatore di filtro posto sull’uscita è normalmente di capacità molto grande e quindi la

tensione su di esso può essere ritenuta continua e priva di ogni ripple. In base al verso della corrente si ha:

La tabella precedente mostra che la tensione applicata ai capi del circuito risonante dipende dal dispositivo

che è in conduzione e dal segno di .

Nel funzionamento simmetrico in regime permanente, entrambi gli interruttori funzionano in modo identico, così

come i due diodi. Quindi è sufficiente analizzare solo un semiperiodo di funzionamento, poiché l’altro è

simmetrico. Si può dimostrare inoltre che nel convertitore SLR la tensione d’uscita non può superare la

tensione d’ingresso , cioè .

1/2 ≤ 1/2

La frequenza di commutazione con la quale si ripetono le forme d’onda del circuito, può essere controllata in

modo tale da essere inferiore o superiore alla frequenza di risonanza se il convertitore è costituito da

interruttori autocontrollati.

Modalità di conduzione discontinua con <( / )

A causa dell’intervallo di discontinuità nella, un semiperiodo della frequenza di funzionamento supera i della

360°

frequenza di risonanza , e quindi in questa modalità di funzionamento si ha ( ovvero

< (1/2) /2 > 360°

il semiperiodo è maggiore del periodo relativo alla completa oscillazione delle forme d’onda). Il

/2 = 360°

| |

valore medio della corrente raddrizzata dell’induttore è uguale a quello della corrente continua d’uscita che

alimenta il carico alla tensione .

( )

− Prima di il condensatore è carico alla tensione ,

−2

mentre l’induttore è scarico: si ha la chiusura di a corrente

nulla, ma non a tensione nulla. Dopo il condensatore si

scarica, mentre l’induttore si carica raggiungendo il massimo di

quando , ovvero la tensione sull’induttore è

= 2 −

nulla. In seguito il condensatore comincia a caricarsi e

l’induttore a scaricarsi fino a quando il condensatore è carico

alla tensione , mentre l’induttore è scarico.

Eq. circuito

+ = − ; = => + = − ( )= , ( )=

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

− + cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

=− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = − + => = − +

2 2

( )= = => = =

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+ ( )

− − − − cos − sin −

2 2 − −

2

( )= ( )+ ( )

cos − sin −

( ) ( )

Condizioni iniziali = 0, = −2

( )= ( )

− − + cos −

2 2

+

2

( )= ( )

sin − ∗ ∗

( ) ( ) ⁄

Si noti che si ha il massimo della corrente nel momento in cui dato che

= 2 − ≥ 0 ≤

.

1/2

Conduce fino a quando la corrente non si annulla: soft switching. Perciò:

= = +

( ) ( )

= 0; =

Si può così ricavare in funzione di :

( )= ( )

=> = − − + cos −

2 2

+

2

( ) ( )

= 0 => 0 = sin −

A la corrente nell’induttore si inverte e ora deve passare in poiché non è ancora chiuso.

( )

− Quando la corrente dell’induttore cambia verso, non essendosi

chiuso ancora si ha la conduzione di . Quindi si apre con

corrente nulla e tensione nulla, dato che in parallelo conduce .

Eq. circuito ( )= ( )=

+ = + ; = => + = + ;

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

+ + cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

=− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = + + => = − −

2 2

( )= = => = =

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+ ( )

+ − + − cos − sin −

2 2 + −

2

( )= ( )+ ( )

cos − sin −

( ) ( )=

Condizioni iniziali = 0;

( )= ( )

+ + − cos −

2 2

2

( )=− ( )

sin −

Conduce fino a quando la corrente non si annulla: soft switching. Perciò:

= = +

( ) ( )=2 ( )

= 0; => =

( )

Durante questo intervallo non si ha conduzione. Un funzionamento simmetrico richiede che durante

( )

l’intervallo di discontinuità abbia il valore opposto rispetto a , ovvero , così come la è pari a

− 2

zero nuovamente. La tensione di uscita è regolata controllando proprio questo intervallo di discontinuità in cui

entrambi gli interruttori risultano spenti.

Nota

Gli interruttori si aprono in modo naturale con corrente e tensione nulle, poiché la corrente nell’induttore passa

attraverso lo zero e la tensione è nulla dato che entra subito in conduzione il diodo in parallelo, mentre si

chiudono a corrente nulla, ma non a tensione nulla.

I diodi si aprono in modo naturale con corrente nulla, ma non a tensione nulla, di conseguenza non servono diodi

con rapido ripristino inverso, mentre si chiudono a corrente e tensione nulle.

Poiché in questa modalità di funzionamento gli interruttori si aprono in modo naturale, è possibile usare dei

tiristori nelle applicazioni che hanno un bassa frequenza di commutazione.

Lo svantaggio di questa modalità è il picco di corrente abbastanza elevato nel circuito, per cui si hanno perdite di

conduzione più elevate rispetto a quelle della modalità di conduzione continua.

Modalità di conduzione continua con ( / ) < < | |

(180° Il valore medio della corrente raddrizzata dell’induttore è uguale a quello della

< /2 < 360°).

corrente continua d’uscita che alimenta il carico alla tensione . Si noti come in questo

caso, rispetto alla

conduzione continua,

e non conducono più

per e sono chiusi in

180°

anticipo (prima si

aspettava che e

conducessero fino

all’azzeramento della

corrente).

( )

Eq. circuito

+ = − ; = => + = − ( )= , ( )=

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

− + cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

=− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = − + => = − +

2 2

( )= = => = =

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+ ( )

− − − − cos − sin −

2 2 − −

2

( )= ( )+ ( )

cos − sin −

Conduce fino a quando la corrente non si annulla: soft switching. Perciò:

( ) ( ) ( )

= 0; = => , = , ,

A la corrente nell’induttore si inverte e ora deve passare in poiché non è ancora chiuso.

( )

Eq. circuito ( )= ( )=

+ = + ; = => + = + ;

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

+ + cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

=− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = + + => = − −

2 2

( )= = => = =

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+ ( )

+ − + − cos − sin −

2 2 + −

2

( )= ( )+ ( )

cos − sin −

( ) ( )=

Condizioni iniziali = 0;

( )= ( )

+ − + − cos −

2 2

+ −

2

( )= ( )

sin −

Si anticipa la chiusura di con corrente non nulla: hard switching. Perciò:

− = 2

( )=− ( )=− ( )

; => , = ,

Nota

Gli interruttori si aprono in modo naturale con corrente e tensione nulle, poiché la corrente nell’induttore passa

attraverso lo zero e la tensione è nulla dato che entra subito in conduzione il diodo in parallelo, mentre si

chiudono con corrente e tensione non nulle.

I diodi si aprono con corrente e tensione non nulle, di conseguenza si hanno

problemi di recovery dei diodi ovvero si necessita di diodi con buone

caratteristiche di ripristino per evitare elevati spike di corrente, mentre si

chiudono a corrente e tensione nulle.

Poiché in questa modalità di funzionamento gli interruttori si aprono in modo naturale, è possibile usare dei

tiristori nelle applicazioni che hanno un bassa frequenza di commutazione.

Modalità di conduzione continua con > | |

( Il valore medio della corrente raddrizzata dell’induttore è uguale a quello della corrente

/2 < 180°).

continua d’uscita che alimenta il carico alla tensione .

Rispetto alla precedente modalità di conduzione continua, nella quale gli interruttori si aprono in modo naturale

ma si chiudono con un valore non nullo di corrente, in questa modalità con gli interruttori sono forzati

>

ad aprirsi con un valore non nullo di corrente, ma sono chiusi con corrente e tensione nulla.

(Per una chiusura degli

interruttori con tensione

nulla, precedentemente

a questi dovranno

condurre i rispettivi diodi

in parallelo, di modo che

l’interruttore si chiuda

quando il diodo si apre).

( )

Eq. circuito

+ = − ; = => + = − ( )= , ( )=

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

− + cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

=− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = − + => = − +

2 2

( )= = => = =

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+ ( )

− − − − cos − sin −

2 2 − −

2

( )= ( )+ ( )

cos − sin −

( ) ( )=

Condizioni iniziali = 0, − −

2

( )= ( ); ( )= ( )

− − − − cos − sin −

2 2

Si anticipa l’apertura di con corrente e tensione non nulle, in modo da far condure prima della conduzione

di , ottenendo una chiusura di quest’ultimo a tensione nulla. Perciò:

( )= ( )= ( )

; => , = ,

( )

Eq. circuito ( )= ( )=

+ =− − ; = => + =− − ;

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )=− ( )+ ( )

− + cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

=− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= =− − + => = + +

2 2

( )= = => = =

Eq. tensione e corrente

( )=− ( )+ ( )

− − − − − cos − sin −

2 2 − − −

2

( )= ( )+ ( )

cos − sin −

Conduce fino a quando la corrente non si annulla. Perciò:

− = 2

( ) ( )=− ( )

= 0; => = ,

Nota

Gli interruttori si aprono con corrente e tensione non nulle, mentre si chiudono con corrente e tensione nulle,

poiché la corrente nell’induttore passa attraverso lo zero e la tensione è nulla dato che entra subito in conduzione

il diodo in parallelo.

I diodi si aprono in modo naturale con corrente e tensione nulle, di conseguenza non servono diodi con rapido

ripristino inverso, mentre si chiudono a corrente e tensione non nulle.

Un evidente svantaggio sembrerebbe legato al fatto che gli interruttori devono essere

forzati all’apertura in prossimità del picco di , così da causare un elevata perdita di

commutazione in apertura. Ma, poiché gli interruttori si chiudono non solo a corrente

zero ma anche a tensione zero, è possibile usare snubber costituiti da condensatori

senza perdite in parallelo agli interruttori: tali condensatori agiscono come circuiti di

protezione senza perdite all’apertura degli interruttori.

(L’apertura dell’interruttore si ha in prossimità del picco di , di conseguenza a causa

delle induttanze parassite, una variazione così ampia di corrente mi provocherebbe

dei picchi di tensione. Di conseguenza metto il condensatore, il quale però una volta

chiuso l’interruttore si scarica e dovrei mettere di conseguenza una resistenza, con

delle relative perdite. Ma dato che l’interruttore si chiude a tensione nulla non ne ho bisogno e non ho perdite.)

Caratteristiche di funzionamento in regime permanente Le tensioni, le correnti e la pulsazione di

commutazione, sono normalizzate

rispetto ai seguenti valori di base:

= 2

2

=

=

La figura riporta il valore normalizzato in funzione di per due valori di . Si può vedere che un convertitore

dc-dc SLR nella modalità di conduzione discontinua funziona come un generatore di corrente, cioè Ia corrente

rimane costante anche se la resistenza di carico, e quindi , cambia. A causa di tale proprietà, questo

convertitore mostra una intrinseca capacità di protezione rispetto al sovraccarico nella modalità di conduzione

discontinua.

In questo convertitore, il valore massimo della corrente nell’induttore (che è anche il valore massimo della

corrente attraverso gli interruttori) e il valore massimo della tensione sul condensatore possono essere parecchie

volte più alte di e rispettivamente. Si deve considerare tale aspetto nel dimensionamento degli switch.

Controllo dei convertitori dc-dc SLR

Dato che l’impedenza del circuito risonante dipende dalla frequenza di funzionamento (guarda la trattazione della

risposta in frequenza dei circuiti risonanti serie), per una data tensione d’ingresso e una determinata

resistenza di carico, può essere regolata controllando la frequenza di commutazione . Questo è

rappresentato nello schema a blocchi, dove l’errore tra la tensione d’uscita misurata e quella di riferimento

determina la frequenza d’uscita dell’oscillatore controllato in tensione, che a sua volta controlla i due

interruttori.

Si noti che il convertitore SLR può essere usato nei casi in cui l’uscita non è una corrente continua raddrizzata, per

esempio, gli inverter SLR sono usati in applicazioni come il riscaldamento a induzione, nel quale il carico equivale a

una resistenza piuttosto che a una tensione continua .

Riepilogo

Funzionamento Apertura Chiusura

< (1/2) , =0 =0

(1/2) < < , =0

> , =0

Convertitori dc-dc risonanti con carico in parallelo

Si può inserire un trasformatore per ottenere l’ampiezza desiderata della corrente d’uscita e per isolare

galvanicamente l’uscita dall’ingresso.

I convertitori PLR (Parallel-Loaded Resonant) differiscono dagli SLR in alcuni aspetti importanti, quali ad esempio:

(1) i convertitori PLR si presentano come generatori di tensione e quindi si adattano meglio a molteplici

applicazioni;

(2) i convertitori PLR, a differenza degli SLR, non possiedono capacità di protezione contro il corto circuito,

caratteristica che è ovviamente negativa;

(3) i convertitori PLR possono alzare o abbassare la tensione, a differenza dei convertitori SLR, che possono

solo abbassarla (senza considerare il rapporto di spire del trasformatore).

Per ricavare un circuito equivalente, si può supporre che la corrente nell’induttanza del filtro induttivo d’uscita,

durante ogni periodo della frequenza di commutazione, sia una corrente continua priva di ripple. Questa è una

ipotesi ragionevole se basata su una elevata frequenza di commutazione e un valore abbastanza elevato

dell’induttanza.

La corrente ha ampiezza uguale a , mentre la sua direzione dipende dal segno della tensione sul

condensatore posto all’ingresso del ponte raddrizzatore.

Nel funzionamento simmetrico in regime permanente, entrambi gli interruttori funzionano in modo identico, così

come i due diodi. Quindi è sufficiente analizzare solo un semiperiodo di funzionamento, poiché l’altro è

simmetrico.

La frequenza di commutazione con la quale si ripetono le forme d’onda del circuito, può essere controllata in

modo tale da essere inferiore o superiore alla frequenza di risonanza se il convertitore è costituito da

interruttori autocontrollati.

Modalità di conduzione discontinua con <( / )

A causa dell’intervallo di discontinuità nella, un semiperiodo della frequenza di funzionamento supera i della

360°

frequenza di risonanza , e quindi in questa modalità di funzionamento si ha ( ovvero

< (1/2) /2 > 360°

il semiperiodo è maggiore del periodo relativo alla completa oscillazione delle forme d’onda).

/2 = 360°

( )

Eq. circuito

= ( ) = 0, ( ) = 0

2

Eq. differenziale di primo grado della corrente (si fa l’integrale tra e )

1

( )= ( )

= −

2 2 | |

Il raddrizzatore si comporta come un corto circuito finché <

( )= ( )=0

;

Si può così ricavare in funzione di : 2

( )= ( ) ( )

= − => − = => =

2

| |

A si ha perciò il raddrizzatore non è più un cortocircuito e il condensatore comincia a caricarsi.

=

( )

Eq. circuito ( )= ( )=V

+ = ; = + => + = ;

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

+ cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

+ = − sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = + => = −

2 2

( )

( )= =( )

= + => = −

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+( ) ( )

− − cos − − sin −

2 2 ( ⁄ )

2 −

( )= +( ) ( )+ ( )

− cos − sin −

( )= ( )=0

Condizioni iniziali ; ⁄ 2

( )= (1 ( )); ( )= ( )

− cos − + sin −

2

Conduce fino a quando la corrente non si annulla: soft switching. Dopo la corrente cambia verso e dato che

deve ancora accendersi, conduce .

( )

Eq. circuito

=− (0) = 0, (0) =

Eq. differenziale di primo grado della tensione (si fa l’integrale tra e )

1

( )=− ( )

=− −

Quando la tensione del condensatore si azzera si ha un intervallo di discontinuità:

( ) ( )

= 0; = 0

Si può così ricavare in funzione di : 2

( ) ( ) ( )

= 0 = − − => − = => =

( )

Durante questo intervallo non si ha conduzione. Un funzionamento simmetrico richiede che e durante

( )

l’intervallo di discontinuità siano nuovamente a zero. La tensione di uscita è regolata controllando

proprio questo intervallo di discontinuità in cui entrambi gli interruttori risultano spenti.

Nota

Gli interruttori si aprono in modo naturale con corrente e tensione nulle, poiché la corrente nell’induttore passa

attraverso lo zero e la tensione è nulla dato che entra subito in conduzione il diodo in parallelo, mentre si

chiudono a corrente nulla, ma non a tensione nulla.

I diodi si aprono in modo naturale con corrente nulla, ma non a tensione nulla, di conseguenza non servono diodi

con rapido ripristino inverso, mentre si chiudono a corrente e tensione nulle.

Poiché in questa modalità di funzionamento gli interruttori si aprono in modo naturale, è possibile usare dei

tiristori nelle applicazioni che hanno un bassa frequenza di commutazione.

Modalità di conduzione continua con ( / ) < <

Si noti come in questo caso, rispetto alla conduzione continua, e sono chiusi in anticipo (prima si aspettava

che e conducessero fino all’azzeramento della corrente).

( )

− La tensione sul condensatore è negativa, e dato che da questa dipende la direzione di , anche

quest’ultima ha direzione opposta rispetto ai casi precedenti: il condensatore è caricato sia da

destra che da sinistra.

Eq. circuito

+ = ; = − => + = ( )= , ( )=

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

+ cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )−

− =− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = + => = −

2 2

( )

+

( )= =( )

= − => = +

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+( ) ( )

− − cos − + sin −

2 2 −

2

( )=( ) ( )+ ( )−

+ cos − sin −

Questo processo continua fino a quando la tensione del condensatore passa per lo zero e cambia di segno. Perciò:

( ) ( ) ( )

= ; = 0 => , = , ,

( )

Eq. circuito ( )= ( )=

+ = ; = + => + = ;

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

+ cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

+ = − sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = + => = −

2 2

( )

( )= =( )

= + => = −

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+( ) ( )

− − cos − − sin −

2 2 ( ⁄ )

2 −

( )= +( ) ( )+ ( )

− cos − sin −

( )= ( )=0

Condizioni iniziali ;

( )= (1 ( )) ( ) ( )

− cos − + − sin −

2 ⁄ 2

( )= +( ) ( )+ ( )

− cos − sin −

Conduce fino a quando la corrente non si annulla: soft switching. Dopo la corrente cambia verso e dato che

deve ancora accendersi, conduce . Dopo non si aspetta che la dell’induttore si azzeri nuovamente e si forza

l’accensione in anticipo di : hard switching. Perciò:

− = 2

( )=− ( )=− ( )

; => , = ,

Nota

Gli interruttori si aprono in modo naturale con corrente e tensione nulle, poiché la corrente nell’induttore passa

attraverso lo zero e la tensione è nulla dato che entra subito in conduzione il diodo in parallelo, mentre si

chiudono con corrente e tensione non nulle.

I diodi si aprono con corrente e tensione non nulle, di conseguenza si

hanno problemi di recovery dei diodi ovvero si necessita di diodi con

buone caratteristiche di ripristino per evitare elevati spike di corrente,

mentre si chiudono a corrente e tensione nulle.

Poiché in questa modalità di funzionamento gli interruttori si aprono in modo naturale, è possibile usare dei

tiristori nelle applicazioni che hanno un bassa frequenza di commutazione.

Modalità di conduzione continua con > Rispetto alla precedente

modalità di conduzione

continua, nella quale gli

interruttori si aprono in

modo naturale ma si

chiudono con un valore non

nullo di corrente, in questa

modalità con gli

>

interruttori sono forzati ad

aprirsi con un valore non

nullo di corrente, ma sono

chiusi con corrente e

tensione nulla.

( )

Eq. circuito

+ = ; = − => + = ( )= , ( )=

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

+ cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )−

− =− sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = + => = −

2 2

( )

+

( )= =( )

= − => = +

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+( ) ( )

− − cos − + sin −

2 2 −

2

( )=( ) ( )+ ( )−

+ cos − sin −

Quando la corrente si annulla entra in conduzione : soft switching. Finchè la tensione del condensatore è

negativa, questo viene ricaricato sia da destra che da sinistra. Quando la tensione del condensatore passa

attraverso lo zero si inverte la direzione della corrente . Perciò:

( ) ( ) ( )

= ; = 0 => , = , ,

( )

Eq. circuito ( )= ( )=

+ = ; = + => + = ;

2 2

Eq. differenziale di secondo grado

( )= ( )+ ( )

+ cos − sin −

2

( )= ( )+ ( )

+ = − sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = + => = −

2 2

( )

( )= =( )

= + => = −

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+( ) ( )

− − cos − − sin −

2 2 ( ⁄ )

2 −

( )= +( ) ( )+ ( )

− cos − sin −

( )= ( )=0

Condizioni iniziali ;

( )= (1 ( )) ( ) ( )

− cos − + − sin −

2 ⁄ 2

( )= +( ) ( )+ ( )

− cos − sin −

Ad un certo punto l’interruttore viene aperto con tensione e corrente non nulle: hard switching. Perciò:

− = 2

( )=− ( )=− ( )

; => , = ,

Nota

Gli interruttori si aprono con corrente e tensione non nulle, mentre si chiudono con corrente e tensione nulle,

poiché la corrente nell’induttore passa attraverso lo zero e la tensione è nulla dato che entra subito in conduzione

il diodo in parallelo.

I diodi si aprono in modo naturale con corrente e tensione nulle, di conseguenza non servono diodi con rapido

ripristino inverso, mentre si chiudono a corrente e tensione non nulle.

Un evidente svantaggio sembrerebbe legato al fatto che gli interruttori devono essere

forzati all’apertura in prossimità del picco di , così da causare un elevata perdita di

commutazione in apertura. Ma, poiché gli interruttori si chiudono non solo a corrente

zero ma anche a tensione zero, è possibile usare snubber costituiti da condensatori

senza perdite in parallelo agli interruttori: tali condensatori agiscono come circuiti di

protezione senza perdite all’apertura degli interruttori.

(L’apertura dell’interruttore si ha in prossimità del picco di , di conseguenza a causa

delle induttanze parassite, una variazione così ampia di corrente mi provocherebbe

dei picchi di tensione. Di conseguenza metto il condensatore, il quale però una volta

chiuso l’interruttore si scarica e dovrei mettere di conseguenza una resistenza, con delle relative perdite. Ma dato

che l’interruttore si chiude a tensione nulla non ne ho bisogno e non ho perdite.)

Caratteristiche in regime permanente Le tensioni, le correnti e la pulsazione di

commutazione, sono normalizzate rispetto

ai seguenti valori di base:

= 2

2

=

=

La figura riporta il valore normalizzato in funzione di per due valori di . Si può vedere che un convertitore

dc-dc PLR nella modalità di conduzione discontinua funziona come un generatore di tensione.

In questo convertitore, il valore massimo della corrente nell’induttore (che è anche il valore massimo della

corrente attraverso gli interruttori) e il valore massimo della tensione sul condensatore possono essere parecchie

volte più alte di e rispettivamente. Si deve considerare tale aspetto nel dimensionamento degli switch.

Riepilogo

Funzionamento Apertura Chiusura

< (1/2) , =0 =0

(1/2) < < , =0

> , =0

Convertitori dc-dc risonanti ibridi

Questo convertitore combina un circuito risonante serie ( in serie con // ), con un circuito risonante

parallelo del carico ( in serie con in parallelo con un generatore di corrente, nell’ipotesi di abbastanza

grande). Lo scopo di questa topologia è quello di beneficiare delle proprietà vantaggiose sia dei convertitori SLR,

ovvero protezione contro i sovraccarichi dato che questi limitano la corrente di corto, sia dei PLR, ovvero il

funzionamento a tensione costante.

Sono inoltre riportate simulazioni PSPICE del circuito con diversi valori di .

Inverter a corrente impressa con risonanza di tipo parallelo, per riscaldamento a induzione

Una sorgente di corrente a onda quadra è applicata al carico risonante di tipo parallelo. La bobina di induzione e il

carico (combinazione ) sono rappresentati con il parallelo di e equivalenti, piuttosto che in serie. Il

condensatore è aggiunto in parallelo per entrare in risonanza di tipo parallelo con . Il generatore di corrente

si realizza mettendo in serie ad un raddrizzatore trifase controllato una abbastanza grande.

Se il fattore di merito è abbastanza grande, allora l’impedenza equivalente ( ) alle armoniche superiori è

piccola e quindi la tensione sul carico è praticamente sinusoidale.

Il convertitore a tiristori lavora come inverter per un angolo con una conseguente componente fondamentale della corrente di

> 90°,

uscita sfasata in ritardo di un angolo rispetto alla tensione: di conseguenza si ha un trasferimento di potenza dal lato

= + /2

continua (ipotetico generatore di corrente) al lato alternata (carico), ma si ha anche un assorbimento lato AC (uscita) di una potenza

reattiva (=comportamento da induttore) e di conseguenza ho bisogno di qualcuno che la fornisca (=condensatore).

Poiché la corrente d’ingresso a onda quadra è realizzata da un inverter a tiristori, il carico risonante deve fornire la

potenza reattiva di tipo capacitivo all’inverter. Questo comporta che la tensione del carico deve essere sfasata

in ritardo rispetto alla corrente di ingresso , cosa che è possibile solo a una frequenza (quindi

>

l’impedenza è capacitiva).

Per evitare un elevato (durante la commutazione della corrente) sui tiristori dell’inverter, si mette di

/

proposito in serie al carico risonante una piccola induttanza . La corrente d’uscita dell’inverter, quindi, si

allontana dalla sua forma ideale di onda quadra e diventa trapezoidale.

Dopo che il tiristore ha smesso di condurre, una tensione inversa deve comparire su di esso per un intervallo di

tempo maggiore o uguale al tempo di spegnimento tipico del tiristore usato (in modo che il tiristore sia spento

e in grado di bloccare la tensione di polarizzazione diretta, dato che è acceso con un angolo di ritardo). Definito

come l’angolo di estinzione o spegnimento, si ha che deve essere: .

> =

Una delle tecniche per controllare la potenza d’uscita di questo inverter prevede di controllare la sua frequenza di

commutazione: aumentando la frequenza di commutazione al di sopra di quella naturale di risonanza (

diminuisce e quindi si riduce ), la potenza d’uscita diminuisce se è mantenuta costante mediante una

alimentazione controllata. Un’altra tecnica per controllare la potenza d’uscita prevede di controllare tenendo

costante la frequenza di commutazione dell’inverter.

Per garantire le commutazioni dei tiristori dell’inverter monofase, deve sussistere una alternata. È perciò

necessario all’avviamento preinnescare le oscillazioni mediante la scarica di un condensatore ausiliario

precaricato.

Convertitori in classe E

Modalità ottima =

Se il fattore di merito è abbastanza grande, allora l’impedenza equivalente ( ) alle armoniche superiori è

grande e quindi la corrente ( ) sul carico è praticamente sinusoidale.

= /

L’ingresso al convertitore è costituito da un induttore con induttanza abbastanza grande, che permette di fare

l’ipotesi che in regime permanente l’ingresso del convertitore sia un generatore ideale di corrente continua .

Quando l’interruttore è chiuso, in esso circola la corrente (poiché l’interruttore viene chiuso quando il

+

condensatore è scarico). Quando l’interruttore viene aperto, a causa del condensatore , la tensione su di esso

sale lentamente, permettendo l’apertura dell’interruttore stesso a tensione zero. Con l’interruttore aperto la

tensione sul condensatore sale, raggiunge il suo massimo ed infine torna a zero, istante in cui l’interruttore

viene di nuovo chiuso.

Un convertitore in classe E funziona a una frequenza di commutazione che è leggermente più alta di quella di

risonanza .

= 1/2

Con un fattore di qualità del circuito serie ( che permette di ottenere una corrente di carico

≥ 7),

praticamente sinusoidale, per variare la tensione d’uscita è necessaria solo una lieve variazione della frequenza

: se aumenta ( )(di conseguenza aumenta ), , e quindi , diminuisce.

>

Si noti inoltre che il valore medio di è uguale a , considerando che a regime la tensione media su è uguale

a zero. Con una puramente sinusoidale si ha che la tensione media sulla resistenza di carico è uguale a zero.

Quindi, blocca la tensione continua oltre a realizzare il circuito risonante.

Per operare nella modalità di funzionamento ottima, con e all’accensione di , è necessario la

=0 = 0

resistenza di carico sia uguale a un valore ottimo . Inoltre il massimo fattore di sfruttamento di si ha con

in tali condizioni il valore di picco della corrente è di circa e quello della tensione .

= 0.5: 3 ≈ 3.5

Modalità non ottima <

In questo caso, la tensione sull’interruttore raggiunge lo zero con una pendenza negativa dalla quale

/ < 0

( )

consegue una corrente Un diodo viene collegato in antiparallelo all’interruttore per

= / < 0.

permettere a questa corrente di circolare mentre si tiene a zero la tensione dell’interruttore. L’interruttore è

chiuso appena il diodo inizia a condurre. In un circuito con una tensione d’ingresso elevata, è importante ridurre

la tensione di picco . Si può dimostrare che si riduce il duty cycle dell’interruttore, diminuisce ma il valore

massimo della corrente dell’interruttore aumenta.

Considerazioni

Il vantaggio di un convertitore in classe E è l’eliminazione delle perdite di commutazione e la riduzione delle

interferenze elettromagnetiche (EMI). Tale convertitore ha inoltre una topologia a interruttore singolo e produce

una corrente di uscita sinusoidale.

Svantaggi significativi sono i valori elevati dei picchi di tensione e di corrente associati all’interruttore e le elevate

tensioni e correnti negli elementi risonanti LC. Convertitori in classe E sono stati presi in considerazione come

regolatori elettronici di lampade elettroniche ad alta frequenza (ballast).

Convertitori con risonanza relativa all’interruttore (resonant-switch )

La maggior parte dei convertitori di questo tipo può essere classificata in tre categorie in base alla commutazione:

1. Topologia con commutazione a corrente zero ZCS (Zero-Current-Switching), nella quale l’interruttore si

chiude e si apre con corrente nulla. La corrente risonante di picco circola nell’interruttore, ma la tensione

massima dell’interruttore rimane uguale a quella del suo analogo convertitore a commutazione.

2. Topologia con commutazione a tensione zero ZVS (Zero-Voltage-Switching), nella quale l’interruttore si

chiude e si apre con tensione nulla. La tensione risonante di picco si presenta sull’interruttore, ma la

corrente massima nell’interruttore rimane uguale a quella del suo analogo convertitore a commutazione.

3. Topologia con commutazione a tensione zero e tensione limitata ZVS-CV (Zero- Voltage-Switching,

Clamped- Voltage), nella quale l’interruttore si chiude e si apre con tensione nulla come nella precedente

seconda categoria. Tuttavia un convertitore con questa topologia è formato da almeno un ramo

composto da due interruttori. La tensione massima dell'interruttore rimane la stessa di quella del suo

analogo convertitore a commutazione.

Convertitori risonanti ZCS

Nei convertitori di questo tipo, la corrente prodotta dal circuito risonante circola nell’interruttore e ne provoca

la chiusura e l’apertura con corrente nulla. L’induttanza dell’induttore di filtro è abbastanza grande, così che la

corrente può essere ritenuta di ampiezza costante .

( )

− Si ha chiusura dell’interruttore a corrente nulla (ZCS). Il condensatore è carico a

, quindi è un circuito aperto, di conseguenza nel diodo circola la corrente −

Finché si ha che il diodo conduce con una corrente positiva e la

> 0. ≤

tensione sul condensatore si mantiene costante a .

Eq. circuito

= (0) = 0, (0) =

Eq. differenziale di primo grado della corrente (si fa l’integrale tra e )

1

( )= ( )

= −

Quando il diodo è interdetto e si ha la comparsa di una corrente sul condensatore. Perciò:

>

( )= ( )=

;

Si può così ricavare in funzione di :

( )= ( ) ( )

= − => − = => =

( )

− : Sul condensatore si ha la comparsa di una corrente

− = −

dato che : il condensatore è convenzionato da

> 0 >

generatore e si sta scaricando.

: Il condensatore si è scaricato completamente, di

conseguenza è massima la corrente . A questo punto il condensatore

comincia nuovamente a caricarsi con tensione opposta rispetto alla

precedente e la corrente diminuisce, fino a quado nuovamente il

condensatore è completamente carico e .

=

: A questo punto il condensatore si scarica e finché la tensione di esso rimane inferiore a non si ha una

tensione di polarizzazione inversa sul diodo e questo resta interdetto. Una volta che la corrente si azzera si ha

l’apertura dell’interruttore (ZCS).

Eq. circuito ( )= ( )=

= ; = + => − =0 ;

Eq. differenziale di secondo grado

( ) ( ) ( )

= cos − + sin −

( )= ( )+ ( )

+ = − sin − cos −

Condizioni iniziali

( )= = => = ( )

( )= =( )

= + => = −

Eq. tensione e corrente

( )= ( )+( ) ( )

cos − − sin −

( )= +( ) ( )+ ( )

− cos − sin −

( ) ( )=

Condizioni iniziali = ;

( ) ( )

= cos −

( )= ( )

+ sin −

Si ha l’apertura dell’interruttore a corrente nulla (ZCS). Perciò:

( ) ( ) ( )

= 0; = => , = 1

( ) ( )

= 0 = + sin − => = + + sin

( )

Eq. circuito ( ) ( )=

= = 0;

Eq. differenziale di primo grado della tensione (si fa l’integrale tra e )

1

( )= ( )

+ = + −

L’interruttore continua a rimanere aperto, la corrente a zero e il condensatore a caricarsi fino a .

( ) ( )

= 0; =

Si può così ricavare in funzione di : ( − )

( )= ( ) ( )

= + − => − = => = ,

( )

− Durante questo intervallo non si ha conduzione, ovvero

l’interruttore rimane aperto, quindi la corrente a zero, e il

condensatore rimane carico alla tensione .


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Albevic

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria elettrica
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Albevic di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Conversione statica dell'energia elettrica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Andriollo Mauro.

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