Appunti sintetici Scienza delle Costruzioni

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Author: Pierfra94

Revisionato il 24/06/2026

di Pierfra94

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Appunti sintetici di tutto il programma di scienza delle costruzioni basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Greco, dell’università degli Studi della …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Greco Fabrizio

Università Università della Calabria

A.A. 2018-2019

74 pagine

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1. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

ANALISI LOCALE DELLA DEFORMAZIONE

x_i' ≠ x_i(x_i+ dx)

x_i'(x + dx) = x_i(x) + (∂x_i'/∂x_j)|_x + O([dx]²)

x_i'(x + dx) ≅ X_i(x) + (∂x_i'/∂x_j) dx_j

dx_i' = ∇X dx

gradiente della trasformazione

dx_i' = x_i' - x_i = dx_i

Si pone ∇X = [ ... ]

NB: dx_i = 0 ⇔ dx₁ = dx₂ = dx₃ = 0

det(F) ≠ 0

Analogo in termini di spostamenti:

u_i(Xi + dx) - u_i(Xi) = ∇u ∙ dx

u_i = (∂u_i/∂x_j) dx_j + O([dx]²)

Relazione tra ∇X e ∇u: X_i = X_i + u_i

∇X = I + ∇u

MISURE GEOMETRICHE DELLA DEFORMAZIONE LOCALE

ds' = ‖dx'‖ = √(FdX ∙ FdX) = √(F^TF dx ∙ dx)

se ϵ_n > 0 → allungamento

se ϵ_n < 0 → accorciamento

ds = ‖F^TF n ∙ n‖ = ds'

ϵ_n = ds' - ds/ds = ds √F^TF n ∙ n - ds

ϵ_n = √F^TF n ∙ n - 1

1. ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

ANALISI LOCALE DELLA DEFORMAZIONE

xⁱ + dxⁱ = xⁱ(x_l + dx_l)

xⁱ(x_l + dx_l) - xⁱ(x_l) ≅ (∂xⁱ/∂x^j) dx^j + o((1 dx1)²)

xⁱ(x_l + dx_l) - xⁱ ≅ (∂xⁱ/∂x^j) dx^j

x'ⁱ - xⁱ ≅ dx'ⁱ

dx'ⁱ = ∇x dx^j

Si pone ∇x ≡
- [ dx₁/dx₁ dx₁/dx₂ dx₁/dx₃ ]
- [ dx₂/dx₁ dx₂/dx₂ dx₂/dx₃ ]
- [ dx₃/dx₁ dx₃/dx₂ dx₃/dx₃ ]

NB: dx’ = 0 ↔ dx = 0

det(F) ≠ 0

B, B^-1 = B^T → [E] = ε = 1 - E

→ det(E) = det(I) = 1

→ det(E) = det(∇x) = 0

→ u_i(x_l + dx_l) - u_i(x_l) = (∂u_i / ∂x^k) dx^k + o(( dx^l)²)

u_i(x_l + dx_l) - u_i(x_l) = ∇u· dx

v^k = I + ∇u

dx'ⁱ = F dx

MISURE GEOMETRICHE DELLA DEFORMAZIONE LOCALE

(deformazioni finite)

DILATAZIONE LINEARE

ε_n = (ds'² - ds) / ds

se ε_n > 0 → allungamento
se ε_n < 0 → accorciamento

ds' = |dx'| = √(dx': dx') = √(F dx: F dx) = √(F^TF (ds·n: ds·n)) = ds √(F^TF n·n = ds'

ε_n = (ds'² - ds)/(ds') = ds √(F^TF n·n = ds') / ds = ds / ds ( √(F^TF n·n − 1)

ε_n = √(F^TF n·n − 1)

- Scorrimento Angolare

Q_(n1,n2) = α - β

α = (n₁, n_1') = arccos (n₁, n_1')
β = (n_i, n_i')

con α = (n₁, n_1'), β = (n_i, n_i')

Q_(n1,n2) = α - β = arccos (n₁, n₂) - arccos

FT^En1n2[(1+t_En1)(1+t_En2)]

- Dilatazione Volumetrica

dx = ^dV'/_dV
dV = ds³

e = dV'^-dV/dV

e > 0 = dilatazione
e < 0 = compressione

e = ^Jds³ds³/_ds³ds³ (J-1) → e = J-1

TEORIA DELLE DEFORMAZIONI INFINITESIME

Dalla deformazione finita si definisce: E = ₁/₂ (F^TF - I)

TENSORE DI GREEN-LAGRANGE oTENSORE DELLA DEFORMAZIONE FINITA

Si dimostra che per deformazioni nulla risulta E = 0.Si valuta la differenza tra i quadrati delle lunghezze di un segmento prima e dopo la deformazione:

(ds')² - (ds)² = (F dx ⋅ F dx) - (dx ⋅ dx) = (F^TF dx ⋅ dx) - (dx ⋅ dx) =

= (dx ⋅ dx) (F^TF - I) NB. (ds')² - (ds)² = 0 (F^TF - I) = 0

Poiché dx ≠ 0 sempre, -> E = ₁/₂ (F^TF - I) = 0

Per l'ipotesi di piccoli spostamenti |∇U|

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