Appunti sintetici Scienza delle Costruzioni

1. Analisi della Deformazione

Analisi Locale della Deformazione

χ_i⁺dx_i = χ_i(x_i + dx_i) - χ_i(x_i) ≈ (∂χ_i / ∂x_j) dx_j + o(|dx|²)χ_i(x_i + dx_i) ≈ χ_i(x_i) + (∂χ_i / ∂x_j) dx_j

dx'_i = (∇χ)_ij dx_j

∇χ ≡ ⎡ dχ₁ dχ₁ dχ₁ ⎤ ⎢ dx₁ dx₂ dx₃ ⎥ ⎢ dχ₂ dχ₂ dχ₂ ⎥ ⎢ dx₁ dx₂ dx₃ ⎥ ⎣ dχ₃ dχ₃ dχ₃ ⎦ ⎣ dx₁ dx₂ dx₃ ⎦

NB: dx' = 0 ⇒ dx_j = 0.det(F) ≠ 0

det(I + E) = det(I + ∇u) = 1

χ(x + dx) = χ(x) + ∂u_i / ∂x_j + o(|dx|²)

u_i (x + dx) - u_i (x) ≈ (∇u dx)_i

χ = I + ∇u

Misure Geometriche della Deformazione Locale

&ε;_n = ds'² - ds² / ds

• se &ε;_n > 0 → allungamento
• se &ε;_n < 0 → accorciamento

ds' = ||dx'|| = √(dx' ⋅ dx') = √(F dx ⋅ F dx) = √F^TF dx ⋅ dx = = √F^TF (ds n ⋅ ds n) = ds √F^TF n ⋅ n = ds'

&ε;_n = ds'² - ds / ds = ds √F^TF n ⋅ n - ds / ds = ds / ds (√F^TF n ⋅ n - 1) = √F^TF n ⋅ n - 1

- SCORRIMENTO ANGOLARE

(n₁, n₂) = α - β

γ > 0 diminuisce angolo

γ < 0 aumenta angolo

n₁ ∙ n₂ = ||n₁|| ||n_{2 εn = εnn = βn => εn = β c(d).Per (n | n) = 1 => εn = β}

u'(a) = ε_n = εn_n = 0n (ε - ε_n I) = 0

Polinomio caratteristico: det (ε - ε I) = 0Δ(ε I) = 0

⇒ ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ - I_ε = I₁ + I₂ = I_ε - I₂ = I₃ = 0

Invarianti della Deformazione:

• I_ε = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ = tr(ε) invariante lineare
• I₂ = ε₁₁ ε₂₂ - ε₁₁ + (ε₁₁ ε₂₂ - ε₂₂) + (ε₂₂ ε₃₃ - ε₂₃) invariante quadratico
• I₃ = det(ε) invariante cubico

Teorema dell'algebra: se ε è un tensore simmetrico, esistono tre autovalori reali (non necessari distinti), cui sono associati tre autovettori mutuamente ortogonali.

Si suppone che gli autovalori siano: ε₃, ε₁, ε₂

Si ricavano (n₁, n₂, n₃) per ogni autovalore ε: ε - i I = 0

NB. Poiché si è imposto det ≠ 0, non si raggiungono 0 soluzioni

Sostituendo le autovalori si ricavanno tre autovettori:

• n₁ = (z₁, z₂, z₃) per ε₁
• M¹ (m₁ m₂ m₃) per E₁
• C₂ = (z₁ z₂ z₃) per ε₃

NB.Autovalore = direzione principale di deformazioneAutovalore = dilatazione lineare

NB. Per ε₃ = ε_n = ε_s deformazione uniforme lungo tutte le direzioni

ε è matrice diagonale, cioè si ha un TENSORE SFÈRICO:

• ε = ε₁ ε = { ε 0 0 0 0 M₁ 0 0 ε_s }

Gli invarianti saranno:

• I_ε = tr(ε) = ε + ε_n + ε_s
• I_ε = E_n+ ε_s ε_s + ε_s ε_n + ε_s ε_n
• I_sétex

Componenti cartesiane e speciali del vettore tensione

t_n(x) = tn e₁ + t_n e₂ + t_n e₃     (t_n proiettato lungo una terna cartesiana)

• t_n = t_nn = t_n     Componente normale
• t_t = t_a = t_nb = T_a     Componente tangenziale
• t_t = t_b = t_nc = T_b     Componente tangenziale

Tensione tangenziale totale: T_a = √(T_a² + T_b²)

Vettore tensione agente su giaciture parallele ai piani coordinati

Considerato un parallelepipedo di lati dx₁, dx₂, dx₃, con facce parallele ai piani coordinati e descritte dai versori e₁, e₂, e₃, la tensione agente su ogni faccia di normale positiva è:

t₁ = t₁₁ e₁ + t₁₂ e₂ + t₁₃ e₃

t₂ = t₂₁ e₁ + t₂₂ e₂ + t₂₃ e₃

t₃ = t₃₁ e₁ + t₃₂ e₂ + t₃₃ e₃

NB. Le tensioni sulla faccia di normale negativa si ottengono cambiando il segno ai vettori tensore e ai versori.

Matrice delle componenti t_ij del vettore tensione su ogni faccia i,j ∈ (1,2,3), con i indice normale faccia, j indice direzione normale

Teorema di Cauchy-Poisson

Condizione necessaria e sufficiente per la validità degli assiomi di Eulero:

• Assunti validi sui assiomi di Eulero:
• I) esiste il tensore delle tensioni t_ij tale che t_n = t_i(x) e_i;
• II) sono valide le equazioni indefinite di equilibrio alla traslazione;
• III) sono valide le equazioni indefinite di equilibrio alla rotazione.

Ipotesi per la dimostrazione:

• f(x) (funzione di densità della forza di volume) è continua. f(x) ∈ C₁(B)
• t_n(x) è continua fino alla sua derivata prima: t_n(x) ∈ C₁(B) (vettore tensione agente)

NB. Tensione tangenziale massima

T_max = 1/2 max { |σ₁−σ₂|, |σ₁−σ₃|, |σ₂−σ₃| }

NB. I cerchi principali di Mohr sono il luogo dei punti (σ_n, τ_n) relativi alle giaciture che formano un fascio di piani aventi per sostegno la direzione x_i per n_i = 0 (con i = 1, 2, 3).

Stato di tensione sui piani di un fascio

Si considera fascio di piani sostenuti da x₃

n = [ cosφ senφ 0 ]

m = [ senφ −cosφ 0 ]

[ σ₁₁ 0 0 ] [ σ₁ cosφ 0 σ₁ senφ ] [ 0 σ₂₂ 0 ] [ 0 σ₂−σ₃ 0 ] [ 0 0 σ₃₃ ] [ σ₂ cosφ 0 σ₂ senφ ]

τ_n = τ₃m₃ = [ σ₁ cosφ 0 0 0 σ₂ cosφ 0 0 0 σ₃ ]

[ cosφ −σ₃+σ₂ senφ(n) ]

φ = cos^(1(L+2φ)) senφ = cos(φ) = cos(L+2P) / 2

[ σ₃−σ₂

[ [ cos(φ) senφ(n^(*) ] [ 1 −cos 2φ

σ₁cos φορές πληρωτές (cosφ )

τ_nm = τ_≤00(σ_j^{−typenφn p}

σ₃-σ₂senφ cosφ σ_σ_

=0θε

[ uφτ phi = τ_n.