Appunti scritti a mano di Analisi A

SUCCESSIONI

Se (a_n) ∈ ℕ ∃ un numero reale si definisce successione A ∈ ℕ oppure f: ℕ → ℝ

DEF. LIMITE DI SUCCESSIONE

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} successione reale, l ∈ ℝ si dice che ∃lim_n→∞ a_n = l∀ ε > 0, ∃ M ∈ ℕ : m > M, ∃ si ha |a_n - l| < ε

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} successione reale, l, m ∈ ℝse ∃ an = l allora l = m e anche a_n → m allora l = m.

DEF. SUCCESSIONE INFINITESIMA

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} una successione reale e infinitesima(tende a 0 per n → ∞)quando |a_n| ≤ 1/10⁶ ∀ k ∈ ℕ, ∃ m_k ∈ ℕ : ∀ n ∈ ℕ m > M_k

DEF. SUCCESSIONE LIMITATA

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} successione reale, si dice limitata se∃ M ∈ ℝ |a_n| ≤ M ∀ n ∈ ℕ|1 - 1ⁿ| è limitata M = 1 -1, m disparo=1 -1, m pari

* -M < a_n < M → (-1)^m è limitata; ma non ha limite.

TEOREMA

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} successione reale se ha limite reale, allora è limitata

DEF. SUCCESSIONE CONVERGENTE

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} succ. reale, se ∃ lim_n→∞ a_n=a allora se successione sidice CONVERGENTE

DEF. LIMITE +∞

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} successione reale, {lim_n→∞ a_n = +∞} se;

∀ n ∈ ℕ, ∀ M ∈ ℝ, ∃ n₀ ∈ ℕ : a_n > MQuesta successione si definisce DIVERGENTE POSITIVAMENTE ed è INFERIORMENTE ILLIMITATA SUPERIORMENTE ILLIMITATA non vale il contrario!!

DEF. LIMITE -∞

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} successione reale, {lim_n→∞ a_n = -∞ } se;∀ n ∈ ℕ, ∀ M ∈ ℝ, ∃ n₀ ∈ ℕ : a_n ≤ MQuesta successione si definisce DIVERGENTE NEGATIVAMENTE ed è: SUPERIORMENTE ILLIMITATA ≤INFERIORMENTE ILLIMITATA non vale il contrario!! (-1)ⁿ ex.

DEF. SUCCESSIONE DIVERGENTE

Sia {a_n}_{n ∈ ℕ} succ. reale, si definisce DIVERGENTE se a_n → +∞ o a_n → -∞

Successioni

Def. Successione

Se ∀n ∈ ℕ ∃an un numero reale si definisce successione (an)n ∈ ℕ oppure ƒ: ℕ →

Def. Limite di successione

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, l ∈ ℝ. Si dice che lim an = l se ∀ε>0 ∃m ∈ ℕ : m>m_ε e si ha |an - l| < ε

Teorema di Unicità del Limite

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, l,l₁ ∈ ℝ

se an → l = l₁, ancóra l = m₁

Def. Successione Infinitesima

Sia (an)n ∈ ℕ una successione reale ∈ infinitesima (tendente a 0 per m → +∞) quanto |an| < 1 / 10^m ∀ε ∈ ℕ, ∃m_ε ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ m > m_ε

Def. Successione Limitata

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, si dice limitata se ∃m>0 ∀an≤M ∀n ∈ ℕ

|1-1ⁿ| è limitata M=1 → {1-1 m dispari = 1, 1 m pari}

* -M < an < M → 1-1ⁿ è limitata, ma non ha limite

Teorema

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, se ha limite reale, allora è limitata

Def. Successione Convergente

Sia (an)n ∈ ℕ succ. reale, se ∃lim an=alcova se successione si dice convergente

Def Limite +∞

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, ∃lim an = +∞ se:

∀n ∈ ℕ, ∀m>0, M ∈ ℝ, ∀m≥m: an > M

Questa successione si definisce divergente positivamente ed è:

• inferiormente illimitata
• superiormente illimitata, non vale il contrario!!

Def. Limite -∞

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, ∃lim an = -∞ se:

∀n ∈ ℕ, ∀M, ε < 0, ∀m ≤ M

Questa successione si definisce divergente negativamente ed è:

• superiormente illimitata
• inferiormente illimitata, non vale il contrario!! (-1)ⁿ es.

Def. Successione Divergente

Sia (an)n ∈ ℕ succ. reale, si definisce divergente se an → +∞ o an → -∞

Teorema del confronto