Appunti scritti a mano di Analisi A

Def. Successione

Se n ∈ ℕ è un numero reale si definisce successione (a_n)_{n ∈ ℕ} oppure f: ℕ → ℝ

Def. Limite di Successione

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} successione reale, ℓ ∈ ℝ, si dice che ∃ m ∈ ℕ, ∀ m, m ϵ si ha |a_n - ℓ| < ϵ

Teorema di Unicità del Limite

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} successione reale, ℓ, M ∈ ℝ

∃ m, n ∈ ℕ ancora: ℓ = m

Def. Successione Infinitesima

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} una successione reale e infinitesima (tende a 0 per n -> +∞)

quanto |a_n| < ¹⁄_10⁶ ∀ ∃ n, ∃ m ∈ ℕ∀ n ∈ ℕ ∇ > M

Def. Successione Limitata

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} successione reale, si dice limitata se ∃ M > 0 |a_n| ≤ M ∀ n ∈ ℕ|(-1)ⁿ| è limitata M=1

• 1= M dispari = 1
• 1= M pari

* -M < a_n ≥ M - (-1)ⁿ è limitata, ma non nel limite

Teorema

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} successione reale se ha limite reale, allora è limitata

Def. Successione Convergente

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} succ. reale, se ∃ lim n−>+∞ allora la successione si dice convergente con ∃ ℓ ∈ ℝ

Def. Limite +∞

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} successione reale, ∃ lim n−>+∞ a_n = +∞

∀ n ∈ ℕ, ∀ M > 0, M ∈ ∃ lim, lim ∈ ℕ → n,m,m... a_n > M

Questa successione si definisce divergente positivamente ed è:

• inferiormente illimitata
• superiormente limitata non vale il contrario!!

Def. Limite -∞

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} successione reale, ∃ lim n−>+∞ a_n = -∞

∀ n ∈ ℕ, ∀ M > 0, M ∈ ∃ lim, lim ∈ ℕ → n,m,m... a_n ≤ -M

Questa successione si definisce divergente negativamente ed è:

• superiormente illimitata
• inferiormente limitata non vale il contrario!!(-1)ⁿ ex.

Def. Successione Divergente

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} succ. reale, si definisce divergentese a_n → +∞ o a_n → -∞

Teorema del Confronto

Siano (a_n)_{n ∈ ℕ} e (b_n)_{n ∈ ℕ} succ. reali, siano l,m ∈ ℝ

• a_n ≥ e b_n e ∀n ∈ ℕ a_n ≥ b_n ⇒ l ≥ m
• se _n→+∞ lim a_n = +∞e _n→+∞ lim b_n = -∞

Teorema

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} succ. reale, siano l,m ∈ ℝ a_n → l. Se a_n ≥ m

Teorema della Permanenza del Segno

Sia (a_n)_{n ∈ ℕ} successione reale, sia l ∈ ℝ a_n → l. Se:

• -l < 0 ⇒ a_n > 0 ∃n ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ ∀m ≥ n
• -l > 0 ⇒ a_n < 0 ∃n ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ ∀m ≥ n
• -a_n ≥ 0 ∀n ∈ ℕ ed _n→+∞ lim a_n = l ⇒ l ≥ 0

Teorema dei 2 Carabinieri

Siano (a_n)_{n ∈ ℕ}, (b_n)_{n ∈ ℕ}, (c_n)_{n ∈ ℕ} succ. realiSe ∀n ∈ ℕ a_n ≤ b_n ≤ c_n e se

• _n→+∞ lim a_n = l ∈ ℝ_n→+∞ lim c_n = l ∈ ℝ ⇒ _n→+∞ lim b_n = l ∈ ℝ

Teorema Limiti & Operazioni di Successioni

Siano (a_n)_{n ∈ ℕ}, (b_n)_{n ∈ ℕ} successioni reali. Se _n→+∞ lim a_n = l e l

• _m→+∞ lim b_n = m Allora;
• -_n→+∞ lim (a_n + b_n) = l + m
• -_n→+∞ lim (a_nb_n) = lm
• -_n→+∞ lim (_{an/bn = l/m con m≠0}

Def. o Piccolo

Siano (a_n)_{n ∈ ℕ}, (b_n)_{n ∈ ℕ} due successioni reali, b_n ≠ 0 thm.a_n si dice o-piccolo di b_n e si scrive a_n = o(b_n) se per n→+∞

• _n→+∞ lim _{an/bn = 0}
• o(a_n) + o(a_n) = o(a_n)

FUNZIONI CONTINUE

DEF. FUNZIONE CONTINUA

Sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, f : A → ℝ, xo ∞ A, si dice che f è continua in xo se

∀ successione (xn)n ⊂ A con xn → xo si ha: f(xn) → f(xo).

OSSERVAZIONE

Sia A ⊂ ℝ, f continua in A → f è continua in xo, ∀xo ∈ A', A ⊆ D(f).

Le funzioni seno e coseno sono continue.

- sin²(x) + cos²(x) = 1

- cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

- cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

- sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

DEF. PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, xo∞ ℝ si dice punto di accumulazione per A

se ∃ (xn) successione in A : (xn) → xo

I punti di accumulazione possono essere raggiunti con una

successione in A.

Se un punto non è di accumulazione si dice isolato.

DEF. LIMITE DI FUNZIONE

A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, xo ∈ ℝ punto di accumulazione per A, f : A → ℝ, se

∀ successione (xm) in A {xo} xm → xo si ha f(xm) → e allora:

_limx→xo f(x) = e

TEOREMA PROPRIETÀ ALGEBRICHE FUNZIONI CONTINUE

Siano f, g continue in xo, f,g : A → ℝ, com xo ∈ A, A ≠ ∅, allora:

- f+g è continua in xo

- f•g è continua in xo

- ^f/_g è continua in xo, con g≠0

DEFINIZIONI LIMITE

- A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, f : A → ℝ, xo punto di accumulazione, ε ∈ ℝ

_limx→xo f(x) = ±∞ ⇒

∀ε >0 ∃ δ>0 : |x-xo| < δ ∀ x ∈ A {xo} ∃ |f(x)- E|< ε

- _limx→xo f(x) = +∞

∀M>0, ∃ Sδ>0 : |x-xo| ≤ Sδ ∀ x ∈ A {xo} e si ha f(x)>M

- _limx→xo f(x) = −∞

∀M<0, ∃ Sδ>0 : |x-xo| ≤ Sδ ∀ x∈A {xo} e si ha f(x)<M

Derivate

• Rapporto incrementale Siano I intervallo di ℝ, f: I→ℝ, c,d ∈ I, c≠d definiamo rapporto incrementale il numero reale

Rf(c,d) = (f(c) - f(d)) / (c - d)

Definizione funzione derivabile

Se sia I⊆ℝ, f: I→ℝ, x_o ∈I punto di acc., f è differenziabile se

lim_x→xo (f(x) - f(x_o)) / (x - x_o)

f è derivabile quando è derivabile in ogni punto del suo dominio

• f(x) = f(x_o) + l(x-x_o) + o(x-x_o) x→x_o, l ∈ ℝ
• chiamiamo g(x) = f(x) + l(x-x_o) retta tangente a f in x_o

Teorema (continuità delle funzioni derivabili)

• Sia I⊆ℝ, f: I→ℝ, x_o ∈ I
• Se f è derivabile in c, allora è continua in c
• Non vale il contrario! (valore assoluto)

Teorema (algebra delle derivate)

Siano f,g: I→ℝ, x_o ∈ I punto di acc.

Se f e g sono derivabili in x_o:

1. (f+g)'(x_o) = f'(x_o) + g'(x_o)
2. k ∈ ℝ, (kf)'(x_o) = kf'(x_o)
3. (f . g)'(x_o) = f'(x_o)g(x_o) + f(x_o)g'(x_o)
4. Se g(x)≠0 (f/g)'(x_o) = (f'(x_o)g(x_o) - f(x_o)g'(x_o)) / g²(x_o)
5. g(x)≠0 (1/g)'(x_o) = -g'(x_o) / g²(x_o)

Teorema (derivata della composizione)

siano I,J intervalli di ℝ, f: I→ℝ, g: J→ℝ, g(J)⊆I x_o punto di acc. per I, g(x_o) punto di accumulazione di J

se f' (g(x_o)), g'(x_o)

(f o g)'(x_o) = f'(g(x_o))g'(x_o)

Teorema (funzione inversa)

• siano I⊆ℝ, f: I→ℝ, c ∈ I, f(c)≠0
• f^-1'(f(c)) = 1 / f'(c)