Appunti Scienza delle Costruzioni, parte1

Principio strutturale dell'arco parabolico

8 ottobre

Forza normali

Forza tangenziali

Momento flettente e trasverso

la composizione delle due forze è una forza parallela alle travi

^tgβ = ^pL/₂ ⋅ _pt/²tgα

→ α - β → R è diretta lungo l'asse della trave

N è R ed è costante, maniglie da x

_R = √(^pL/₂² + _pL/^{2tgα 2})

R = ^pL/_{2 sen α}

Questa struttura funziona bene solo se la sua parte è proprio al centro. Per il carico distribuito è tutto livellato

Calcoliamo le reazioni interne

La reazione al carico è nulla e deriva come l'esercizio

M = a_X e_x - ^a₂ = 0

> X_A = ^p_a/_{2 tg α}

osserviamo P_x vincolata con ^X/₂

M_t = ^{Px X2}/2 - p_a X t + ^{p_a x tg α} 2 tg α^dx + M(x)

• se X = 0 M è nulla (perchè di da unica)
• se X ≠ 0 M è nulla (perchè di l'una unica)

N(X) = - p_a cos α - P(a-x) sen α

T(x) = ^p_a/ tg α sen α + P(a-x) cos α ma una per ^{n_X transversalmente}

X(t₀) - ψ'(t₀)

CURVATURA

Si dice curva una retta

• RAGGIO di CURVATURA
• R(t₀) = 1/|χ'(t₀)| = ψ'(t₀)

si ha trave retta r = ∞

raggiungi dell centro osservatore tangente curva in t₀

κ"(t₀) = ψ'(t₀) cos ψ(t₀) ̂κ' - ψ'(t₀) per ρ(t₀) ŝ = z ψ'(t₀) t'(t₀)

g'(t₀) lim Δt -> 0 [(g(t₀+Δt)−g(t₀))/Δt] ⫠ t'(t₀)

per ẑ -> 0 abbiamo che il

vettore ruota fino a diventare parallelo

e = t'(t₀)

t'(t₀) = ġ'(t₀)/||g'(t₀)||

lo che g'(t₀) = ẏ'(t₀) + z₀ ̂κ'; la sostituisco

t'(t₀) = (g'(t₀))/(||g'(t₀)||) = ẏ"(t₀) + ̂κ'

i'(t₀) = (d/dt)t'(t) |_t=t0

i'(t₀) = (ẏ"(t₀))/(√(1+2μ"0κ'+μ"0μ"))

(t₁) =-1(t₁ =-u''(t₂)(t₂) = (√(1+4W(t₂))²+4(|u'(t₂)|²) ^1/2 - ε ∈ W^1,1

Casi di sollecitazione

T₁ = 0 → T₂ = cost → M₁ è lineareT₂ = 0 → T₁ = cost → M₂ è lineare

M₁'(z₁) = -κ₁V₁''(z₁)

Effettuato questo un problema isostatico, posso integrare le eq. del 2° ordine e non quelle del 4°.

• V₁''(z₁) = -F / 2κ₁Ω₂
• M₂'(z₁) = FL/4 - F/2 z₂

V₁'(z₂) = -1/κm (FL/4 - Fg₂/2)

Condizioni:

• V₁'(0) = 0
• V₁'(1/2) = V₂'(0)
• V₂'(L/2) = 0
• V₂(1/2) = V₂(0)

Non abbiamo però usato la simmetria della struttura

∫_XA^X_B ∂F/∂y g(x) dx

= ε∫_XA^X_B ∂F/dx ∂y/dt g(x) dx

L(y + δx) - L(y) + ε∫_XA^X_B [∂F/∂y - d/dx ∂F/dy_i] g(x) dx

lim ε → 0 L(y + δε) - L(y)/ε → generalizzazione della derivata direzionale di L

una direzione quella di g(x), che è ora una “funzione test”.

= ∫_XA^X_B [∂F/∂y - d/dx ∂F/dy_i] g(x) dx

= ∫_XA^X_B [δF/δy] g(x) dx

CONDIZIONE NECESSARIA di MINIMALITÁ di L : ∀g∈C₀^∞(X_A,X_B), g(X_A) = g(X_B) = 0, ∫_g/I0 = 0

la derivata del funzionale deve essere zero

→ ∫_g/I0 = ∫ ∫_XA^X_B [∂F/∂y - d/dx ∂F/dy_i] g(x) dx = 0

per essere zero il termine tra parentesi deve essere puntualmente zero

⇒ [∂F/∂y - d/dx ∂F/dy_i = 0]

( Questo è un'applicazione del LEMMA FONDAMENTALE del CALCOLO delle VARIAZIONI)

ed è l'EQUAZIONE di EULERO-LAGRANGE minimificante dell'integrale ins

supponiamo per assurdo che ∀g(x) sia nulla una de le f integranda non sia nulla

∂F/∂y - d/dx ∂F/dy_i = esiste da qualche parte una ziona positiva (int pricipal e → ⁰)

g(x) ≠ 0 su un qualsiasi intervallo!

quando integro sto moltiplicando due funz positive ∫^X_B f per fatto diverso

zero

T = 1/2 k_m(w'')² + 1/2 k_m(v'')² = φ'(Σw',v'')

k_B CINEM. INFIN.

1. A:

p/λ + k_w V''(z) =0

1. B:

q/λ = k_w w''(z)=0

pose prop. le

eq. della linea

elastica della

trave lineaq derivate

Con. Hamilton