Appunti scienza delle costruzioni

Analisi della Tensione

- CNES

Area dell'intorno di P

momento risultante rispetto a P

Ipotesi 1

lim (ΔF / ΔS)

lim (ΔM / ΔS)

le tensioni non sono misurabili, rappresentano un concetto indiretto ottenuto come un limite matematico di una certa q.ta statica

Ipotesi 2

Postulato di Cauchy

lim (ΔF / ΔS) esiste finito

lim (ΔM / ΔS) esiste finito = 0

Vettore sforzo agente in P sull'elemento di normale uscente (n)

Il vettore f_n si può proiettare secondo tre e si scompone due assi l,m giacenti nel piano che contiene ΔS, tra loro ortogonali

componenti meccanica f^t tensioni tangenziali (τ_n, τ_nm)

η tensione normale (σ_n)

Equazioni di Congruenza

Le componenti delle deformazioni sono e risultano legate dalle componenti dello spostamento: inoltre le componenti della deformazione non possono essere indipendenti in quanto sono legate da relazioni ottenibili per eliminazione di u, v, w...

• ^∂2u/_∂x∂y + ^∂2v/_∂x∂y
• ^∂2ε_x/_∂y²
• ^∂2ε_y/_∂x²

D) ^∂2φ_xy/_∂x∂y = ^∂2ε_x/_∂y² + ^∂2ε_y/_∂x²

Se procediamo in maniera diversa possiamo ottenere oltre che relazioni:

• ^∂ψ_v/_∂x = ∂u/_∂x∂z - ∂v/_∂x∂z
• - ∂ψ_z = - ∂v/_∂z - ∂w/_∂x∂y (sommando membro a membro*)
• - ∂ψ_x = ∂²w/_∂x∂y + ∂u/_∂x

* ^∂ψ_xx/_∂z - ∂ψ_xy/_∂x + ∂ψ_xz/_∂y = 2∂ψ_u/_∂y∂z

^∂2ε_x/_∂x∂z = ^∂3u/_∂x²∂z

Per contratti:

2) 2^∂2ε_x/_∂y∂z = - ∂(^∂ψ_x/_∂x - ∂ψ_y/_∂z + ∂ψ_x/_∂y)

2) e 3) costituiscono le condizioni necessarie per la congruenza

Programma Scienza delle Costruzioni

1. Analisi della Deformazione
2. Analisi della Tensione
3. Meccanica del continuo
4. Teoria dell'elasticità
5. Verifiche di resistenza

6. Solido di Saint-Venant

   • Ipotesi e sforzo normale
   • Flessione (29)
   • Sforzo normale eccentrico (30)
   • Torsione (32) (33)
   • Taglio retto/taglio deviato (34)
7. Travi rettilinee - Problema elastico lineare
8. Equazione della linea elastica
9. Calcolo degli spostamenti (37) (39)
10. Principio dei lavori virtuali (40) (44)
11. Il metodo delle forze (42) (43)
12. Sistemi vincolari e distorsioni termiche (da fare)
13. Telai a nodi fissi
14. Il metodo misto
15. Telai a nodi mobili
16. Il metodo degli spostamenti
17. Stabilità dell'equilibrio elastico

Le prime equazioni scalari della statica ci permette di ottenere:

• xx + ∂σxx∂x dxdydz + ∂σyx∂ydydz + ∂σzx∂z dzdx + (τyx - ∂(Tx∂x dy)) dxdz + fyx dx(dz + ∂(dzx∂z dz) dxdy - tzx dxdy - Xdxdydzz = 0

• ∂σxx∂x + ∂σyx∂y + ∂σzx∂z + X = 0
• ∂σxy∂x + ∂σyy∂y + ∂σzy∂z + Y = 0
• ∂σxz∂x + ∂σyz∂y + ∂σzz∂z + Z = 0

- L’equilibrio alla rotazione del parallelepipedo permette di dimostrare la simmetria del tensore T -

• τ_yx = τ_xy
• τ_yz = τ_zy
• τ_zx = τ_xz

- Il tensore degli sforzi è simmetrico -

Le equazioni di equilibrio indepinite ci permette:

1. Di ridurre a 6 incognite le tensioni
2. Di legare tra loro le 6 funzioni incognite con tre relazioni differenziali alle derivate parziali

Le sole condizioni della statica sono insufficienti alla determinazione delle tensioni

Sistema lineare

MATRICE COEFFICIENTI

[A]

- la soluzione banale (n_x=n_y=n_z=0) deve escludersi in quanto NON ha senso fisico (n_x²+n_y²+n_z²=1)

PER AVERE SOLUZIONI DIVERSE DALLA BANALE:

det [A] = det [] - [I] σ_n = 0

σ_n³ - I₁σ_n² - I₂σ_n - I₃ = 0

Eq. cubica

INVARIANTI DELLA TENSIONE

• (non dipendono dal sistema di rif.):
• T₁ (invariante lineare) = σ_x + σ_y + σ_z
• T₂ (inv. quadratico) = - |σ_x τ_xy| |τ_yx σ_y| - |σ_y τ_yz| |τ_zy σ_z| - |σ_x τ_xz| |τ_zx σ_z|
• T₃ (inv. cubico) = det [σ_p]

CERCHI DI MOHR

(tecnica grafica dei tensori del II ordine)

La teoria dei cerchi di Mohr descrive graficamente lo stato tensionale del punto P nel piano (σ, τ) detto "Piano delle tensioni".

Assegnato uno stato tensionale generico, tramite i cerchi di Mohr si possono calcolare le tensioni principali e le direzioni principali di un punto.

Sistema di rif. n₁, n₂, n₃:

{t_u}=[σ][n]=[σ₁ 0 0][0 σ₂ 0] [n₁][0 0 σ₃] [n₂][n₃]

σ_n=[n]ᵀ[σ][n]=[n₁ n₂ n₃][σ₁ 0 0][0 σ₂ 0][0 0 σ₃][n₁][n₂][n₃]

a) Il modulo al quadrato del vettore tensione = ||tn||² = σ_n²+τ²_n=σ²₁n²₁+σ²₂n²₂+σ²₃n²₃

b) La componente normale di tensioneσ_n=σ₁n²₁+σ₂n²₂+σ₃n²₃

c) n²₁+n²₂+n²₃=1

σ, θ, © -----> Sistema di 3 eq. lineari nelle inc. n², n², n³

STATO TENSIONALE PIANO

Lo stato tensionale in un punto P si definisce piano o biassiale quando il vettore tensione {tn} appartiene alla retta giacitura, indipendente, uscita dalla normale scelta.

CNES: per avere lo stato tensionale piano è che una delle 3 tensioni principali sia nulla.

Esempio: σ₁ ≠ 0, σ₂ ≠ 0, σ₃ = 0

Data relazione fondamentale, nel riferimento principale:

(σ₃ = 0)

Le due tensioni principali:

1. σ₁ = ^σ_x+σ_y/₂ + ¹/₂ √[(σ_x-σ_y)² + 4τ_xy²]
2. σ₂ = ^σ_x+σ_y/₂ - ¹/₂ √[(σ_x-σ_y)² + 4τ_xy²]

← Ascia del centro C

σ₀ = ¹/₂ arctan ^2τ_xy/_{σx - σy}

→ Angolo di cui deve ruotare il sistema di riferimento piano per avere le tensioni principali