Appunti (Schemi) di advanced biomechanical modelling

CAPITOLO 1

Geometria finita descritta da scalari, vettori, tensori.

Sistema di Riferimento (SR)

Si individua un SR costituito in generale da una base di vettori ortogonale {e₁, e₂, e₃} di moduli ciascuno l. Es. SR

Una grandezza espressa in funzione del sistema di riferimento, o meglio le sue coordinate espresse in funzione dei versori che individuano l'asse.

Vettori

Vettore è un tensore di ordine 1, definito da un'equazione e direzione.

• a → vettore a → in funzione coordinate SR →

a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃

⇒ aᵢ = i.e_i = a → Notazione di Einstein (indice dummy ripetuto)

Amplitudine ↔ |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Direzione vettore â = / versore direzione a

Prodotto scalare

Proiezione di un vettore sull'altro

a.b = |a||b|cosθ_a.b = a_ib_i

Amplitudine vettore → e' il prodotto scalare per sé stesso

a.a = |a||a|cos0 = lθ²

Basi Vettori → deve valere che e_i . e_i = l e che

e_i . e_j = 0 ⇒ Delta di Kronecker

δ_i,j = e_i . e_j = {0 ≠ j, 1 = j}

Prodotto vettoriale

dato un vettore ⊥ ai 2 vettori

a x b = c

Direzione

M = /

Prodotto Vettoriale

c = a × b = (a₂b₃ - a₃b₂)e₁ + (a₃b₁ - a₁b₃)e₂ + (a₁b₂ - a₂b₁)e₃

Base vettore

{e₁, e₂, e₃} ⟹ naturalmente ortogonale ⟹ prodotto vettoriale di un vettore ex per un altro dare il terzo vettore

e₁ × e₂ = e₃, etc. ⟹ e_i × e_j = e_ijk e_k

δ_ijk =

• 0 ⟹ {ijk} = {1,2,3 ; 2,3,1 ; 3,1,2}
• -1, {i,j,k} = {3,2,1},{1,3,2}...

Relazione tra E_ijk e ɛ_ijk

ɛ_ijk = δ_ip δ_jk - δ_jp δ_ik p

Prodotto vettoriale

c = a × b = e_i e_i × b_j e_j = a_i b_j ɛ_ijk e_k

Volume incluso in un mondo definito da 3 vettori

V = box abc

base = |a × b|altezza = c.n

n = (a × b) / |a × b| ⟹ V = (c.n)|a × b|

V = c.(a × b)

Tensore di secondo ordine

Tensore è un operatore obliquo che si aumenta e z direzioni, che trasforma un vettore in un altro vettore a = Δ·b A ⟶ T = N.S.

Prodotto diadico

A = (a⊗ b) = a_ib_j (e_i ⊗ e_j) = A_ij (e_i ⊗ e_j)

A =

• a₁₁ a₁₂ a₁₃
• a₂₁ a₂₂ a₂₃
• a₃₁ a₃₂ a₃₃

Tensore trasposto

A^T = A_ji (e_i ⊗ e_j)

FUNZIONI E CAMPI

Le grandezze fisiche vengono descritte da funzioni che possono essere di obbedianta natura: solo tensoria, solo scalare o solo vettoriale, o combinazione di (t, φ) → funzioni miste.

Se esaminiamo una funzione scalare che dipende dal tempo da un vettore, un tensore e un scalare, e vediamo derivare rispetto al tempo:

dA(t, φ(t), t) = (∂A/∂A)dt + ∂A/∂φ dt + ∂A/∂t dt

(qualcosa riferimento con accortezze per qualsiasi funzione o campo spaziali temporale...)

GRADIENTE

È la velocità di cambiamento di una funzione lungo le coordinate cartesiane:

Operazione DELTA → ∇ = ei∂/∂xi (per esempio operatore ∇x)

GRADIENTE CAMPO SCALARE

grad(φ) = ei(∂φ/∂xi) • φ = ∇φ = ∂φ/∂xi • ei

da SCALARE → si pensa a un VETTORE AUMENTO DELL'ORDINE

GRADIENTE CAMPO VETTORIALE

grad(A) = ∇ ⊗ ∇ = ei∇j ⊗ ej(φ)

grad(A) = ∂ai/∂xj · ei ⊗ ej

grad(A) = ∂ei/∂xj(ei ej...ek) per j = k

grad(A) = dei/∂xk · ei

GRADIENTE DI UN VETTORE

Derivata Materiale

D(x,t)

D(Φ(x,t))

De

D(Φ(x,t))_x

Dt

+ Φ(x,t)

dΦ(x(ξ,t))

dx

Dt

→ Per descrizione spaziale

di Φ(x,t)

Decomposizione F

F = RU = VR

F = RU = VR

dx = F dX = RU dX

con

dx = F dX = VΩ dX

dX = F dx

Capitolo 3

ci poniamo nell’analisi dinamica dei corpi.

un corpo è soggetto a diverse forze: forze di volume, ole superficie, gravitazionali, inerziali. Corpo è costituito da elementi,

partimento la massa deve

distribuire in maniera continua su tutto il corpo.

definizione. campo di massa (x,t) m_χ = ∫_Ω (x,t) dV_χ

per s → 0 trova la densità locale.

(x,t) = lim _{s→0 Δ} V_χ(x,t)

dF_γ → forza su superficie

b → forza su volume

forze sui corpi continui

Vettore sforzo di matrice

Vettore traizione è la tensione.

È dunque una misura dello stress interno

di trasmissione nei punti materiali tra loro.

lim

ΔF_χ ΔA_χ

→ definire promozionale

per comprendere il vettore sforzo è centrica di

ragione il corpo con un piano di `normale ad esterno`

prima i piani erano tutti insieme, p poi

b è uno stato tensione interna che li tenore.

considerando in una

infinitesima tenuta di equilibrio.

nei quali è posto

CAPITOLO 1

Per utilizzare un modello continuo è necessario modellizzare il fenomeno → in 5 step:

1. Schematizzazione fisica compl. di input, equilibrio/eqilibrio
2. Parametrize the model
3. Implement the model costitutivo
4. Dep. informazioni

Leggi di bilancio

Sono le leggi che devono essere rispettate:

1. Conservazione massa
2. Equilibrio Translazionale
3. Equilibrio Rotazionale
4. Conservazione Energia
5. 2° legge della Termodinamica

Conservazione della massa

Metodo si usa molte istruzioni, nel testo di trucioli.

L'equazione accia nuova deve essere simbolo alla velocità di celebrità delta nuova totale delle righe

DE dV

→ Term.e o.Cr.

Reynolds

→ Per ACN → FORM. ISOCE →

dC/dt + div.(por)t

Conservazione massa - secondo descritto come SPAZ. ALE

Se avessimo un campo applicato →

Dr Df → Ox(i, phi, del Vx

= [d Op

DE at DF → D dV

Div(P_iP_i) = ∂_xmu P_skv_k + ηc δP_sk/∂x_mu + P_ik ∂v_k/∂x_mu = v DivP_i + P_i : Ḟ

∫_Ω [(∂o* + (∂o v_x DivP - (∂b_x)v - P: Ḟ = Divf_e - (∂o v_x)] dU_x

⇒ ∫_Ω ∂o/∂e_x P: Ḟ - Div qo - ∂o ∂c o | dV_x

∂o ∂o o/∂e_x / r - Div qo - ∂o ∂c o = 0

FORMA MATERIALE

SECON ~DO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Variazione di entrop ~e interna, mentre con ~la variazione di entrop ~e del sistema meno quella esterna ~ sono zufme in quella 2 7 equal < 0:

∫_Ω(t) ∂o m Vx + ∫_Ωe(t) (r_xxmx)/Θ dx_x - ∫_Ω(t) p_xxg dv_x ≥ 0

∫_Ω(t) ∂o i dvx + (∫_Ω(t) (∂t/qx) - ∂o ex/Θ) dVx ≥ 0

∂/∂x_i (q_x/Θ) + ∳(qx : gco/Θ)

∂o* - 1/Θ q_x grad(Θ) + div q_x - p_xx ≥ 0

∂o*: o e aiumento dell’energia

⇒ div p_{x x} = Θ: o

S_i definisce D: Θ:D: + ∂o Θ - p_e → Relativo alla DISSIPAZIONE

D: = 0 REVERSIBILE

D: - l/Θ q_x grad(Θ)* > 0