Appunti completi di advanced biomechanical modelling

Advanced biomechanical modelling

Capitolo 1.1 – Ripasso di fisica matematica

1.1.1 Vettori

Un tensore del primo ordine, noto anche come vettore, viene utilizzato per rappresentare una grandezza fisica la cui rappresentazione richiede sia la direzione che la grandezza.

Requisiti:

• Due vettori devono sommarsi secondo la regola del parallelogramma.
• Se un vettore è definito all'interno di un dato sistema di riferimento e viene definito un secondo sistema di riferimento ruotato, deve essere possibile esprimere le componenti di un vettore in un sistema di riferimento in termini di componenti all'interno di un altro sistema di riferimento.

Il significato fisico di un vettore, come la velocità di un'auto, è indipendente dal sistema di coordinate, le componenti di un vettore non lo sono. Se definiamo un insieme di vettori di base ortonormale, {e1, e2, e3}, allora possiamo esprimere un vettore come una combinazione lineare dei vettori di base dove sono scalari (Ampiezza) che rappresentano le componenti.

Definiamo la magnitudo di un vettore che specifica la sua dimensione. La direzione del vettore può essere rappresentata da un vettore unitario. Il modulo di ogni versore è uguale a uno. Se i vettori, a e b, sono paralleli, un vettore può essere scritto come uno scalare, α, per l'altro vettore cioè i due vettori sono proporzionali. Per superare le difficoltà nella manipolazione delle quantità di vettori e tensori introduciamo la notazione indice.

Un vettore a definito in base ortonormale può essere scritto introducendo un indice i compreso tra 1 e 3 in tal modo: la sommatoria da 1 a 3 su una ripetizione può essere rappresentata in una forma più compatta usando la convenzione di sommatoria abbreviata che è anche chiamata notazione di Einstein come:

La convenzione di sommatoria abbreviata è implicita se e solo se un indice compare esattamente due volte all'interno dello stesso termine di un'equazione.

La somma di due vettori, b e c, è uguale a un vettore tale che l'aggiunta di due vettori è comunicativa, b+c =c+b, e coerente con la regola del parallelogramma. È possibile effettuare delle operazioni fra vettori:

• Somma di due vettori: Si possono aggiungere componenti dei vettori b e c paralleli allo stesso vettore base. Questo dà tre equazioni separate per le componenti del vettore a. Nella notazione indiciale, questo insieme di tre equazioni è rappresentato come dove posso assumere un valore di 1, 2 o 3, N con N numero intero che determina il campo di variazione dell’indice. Il pedice i, chiamato indice libero, compare solo una volta in ciascuno dei termini dell'equazione. Al contrario, il pedice i, appare due volte nel termine giusto nell'equazione. In tale equazione, il pedice è chiamato indice fittizio che indica una somma da 1 a 3 sugli indici ripetuti.
• Prodotto scalare (dot product – prodotto interno): Il prodotto scalare di due vettori è uno scalare ed è definito come: dove è l’angolo compreso fra i due vettori. I vettori ortogonali danno zero come risultato del prodotto scalare, cioè quando l’angolo compreso è 90 °C. Il prodotto scalare di un vettore con se stesso dà la grandezza del vettore al quadrato. Il prodotto scalare di un vettore unitario con se stesso sarà quindi uguale a uno. Per un insieme di basi ortonormali ogni vettore di base è perpendicolare agli altri.
• Il prodotto scalare di ciascun vettore base con tutti gli altri vettori base è zero e il prodotto scalare di ciascun vettore base con se stesso è uguale a uno che dà: operatore con due indici simmetrici che prende il nome di Kronecker delta. Le componenti di un vettore a lungo la direzione di un vettore unitario e1, sono date da: con teta l'angolo tra il vettore a e il vettore base e1.
• Prodotto vettoriale (prodotto incrociato): Il prodotto vettoriale di due vettori a e b è definito come il vettore c che è perpendicolare a ciascuno dei vettori originali dato come: la magnitude è data da. Il prodotto vettoriale non è commutativo come quello scalare e il suo valore rappresenta la misura dell'area all'interno di un parallelogramma definito dai due vettori a e b. La normale n al piano, perpendicolare al parallelogramma, è definita dalla direzione del prodotto vettoriale: due vettori paralleli avranno un prodotto vettoriale uguale a zero. Usiamo un insieme di basi ortonormali destrorse, che ha la proprietà che ogni versore è perpendicolare agli altri due, la grandezza di ciascun versore è uguale a uno e i versori sono correlati secondo: se queste condizioni sono soddisfatte, il prodotto vettoriale tra due vettori unitari qualsiasi può essere scritto come: dove il simbolo può assumere i seguenti valori: un'identità comunemente usata relativa al simbolo di permutazione e al delta di Kronecker è:

1.1.2 Tensor del secondo ordine

Un tensore del secondo ordine viene utilizzato per rappresentare una grandezza fisica la cui rappresentazione richiede una grandezza e due direzioni. Ad esempio, ogni componente del tensore di sollecitazione è la risoluzione di un vettore di trazione su una superficie. È necessaria la grandezza del vettore di trazione, così come la direzione sia del vettore di trazione che della normale della superficie per definire ogni componente del tensore di sollecitazione. Una definizione più generale e matematicamente rigorosa sarebbe che un tensore, A, è un operatore lineare che trasforma un vettore, b, in un altro vettore, a. Utilizzeremo lettere maiuscole in grassetto per indicare i tensori mentre utilizzeremo lettere minuscole in grassetto per indicare i vettori. L'unica eccezione sarà X, che sarà riservata a un vettore.

Un tensore ha un'esistenza indipendente da qualsiasi sistema di coordinate. Esso può tuttavia essere indicato, in un particolare sistema di coordinate, da un dato insieme di quantità, dette componenti del tensore.

• Prodotto tensoriale: Il prodotto tensoriale o diadico di due vettori, a e b, operando su un qualsiasi vettore c, produce un vettore lungo la direzione di a tale che. Le componenti del prodotto diadico di due vettori sono date da. Qualsiasi tensore del secondo ordine può essere espresso come combinazione lineare del prodotto diadico dei vettori di base come. Questi componenti possono essere espressi come una matrice 3×3. Gli indici dei componenti A rappresentano la riga della matrice, i, e la colonna della matrice, j. Mentre abbiamo espresso le componenti di un tensore come matrice, non tutte le matrici 3×3 sono tensori.

La grandezza fisica, come la sollecitazione o la velocità, misurata da un vettore o da un tensore rimane invariante quando il sistema di coordinate viene modificato. Il vettore che rappresenta la velocità non cambia, cambiano solo le componenti espresse all'interno del sistema di coordinate. Lo stesso deve valere per qualsiasi tensore di ordine superiore. In effetti, la trasformazione relativa alle componenti di qualsiasi tensore all'interno di due sistemi di riferimento è abbastanza esatta e verrà esplorata più dettagliatamente in seguito.

Notazione tensoriale: La trasposta, , di un tensore, A, è indicata dall'apice T ed è definita nei termini delle componenti del tensore originale A da. Se un tensore è definito come un prodotto diadico di due vettori, A=a⊗b, allora la trasposta è data da A=b⊗a. In generale, un tensore non è uguale alla sua trasposta e il prodotto diadico non commuta. Un tensore simmetrico è un tensore uguale alla sua trasposta che dà A= . Un tensore antisimmetrico è un tensore uguale al negativo della sua trasposta A=−.

Notare che la condizione per un tensore antisimmetrico richiede che ogni termine diagonale del tensore sia uguale al suo negativo. Ciò richiede che ogni termine diagonale deve essere uguale a zero per il tensore antisimmetrico. Se consideriamo un tensore generale, B, che non ha proprietà di simmetria, si può dimostrare che è uguale alla somma di due tensori che sono rispettivamente un tensore simmetrico, Bs, e un tensore antisimmetrico, Ba. L'apice a sta per antisimmetrico. Questo può essere fatto attraverso una semplice scomposizione del tensore B.

• Il primo termine tra parentesi dà la parte simmetrica
• Il secondo termine tra parentesi dà la parte antisimmetrica

La traccia di un tensore è la somma delle componenti diagonali del tensore. Introduciamo anche un nuovo operatore : che rappresenta la contrazione di due tensori. La contrazione di due tensori dà uno scalare. La contrazione di qualsiasi tensore simmetrico con qualsiasi tensore antisimmetrico è sempre uguale a zero. Nel caso della decomposizione descritta in precedenza, abbiamo. Useremo l'operatore di contrazione per definire la norma tensoriale, ||A||, come. Questa norma ha la proprietà di essere uno scalare positivo e ha valore zero se e solo se ciascuna delle componenti del tensore A è zero.

Il determinante di un tensore è dato da: il determinante di un tensore è uguale al determinante della sua trasposta. Un tensore è singolare se e solo se il determinante di quel tensore è zero. Ogni tensore non singolare possiede un unico tensore inverso, A−1, che soddisfa. Un tensore è un operatore lineare che fornisce un vettore quando agisce su un vettore. Supponendo di avere un tensore non singolare, trasforma in modo univoco i vettori da uno spazio vettoriale a un altro spazio vettoriale. I tensori ortogonali Q hanno la caratteristica che quando sono applicati ad un vettore, questo cambia direzione ma non cambia ampiezza, cioè sta ruotando. Dal punto di vista analitico lo scriviamo: cioè il tensore estrae dalla deformazione una parte che è la rotazione. Se vale questa espressione allora il tensore è ortogonale. Questo ci consente di dire che i tensori ortogonali quando moltiplicati per il tensore trasposto fornisce I. TQ Q= I. Sapendo che possiamo affermare le seguenti uguaglianze:

Un tensore ortogonale proprio conserva la destrezza (mancina) di un sistema di coordinate. Un tensore ortogonale improprio che agisce su un sistema invertirà la relazione spaziale tra i vettori.

1.1.3 Autovalori e autovettori

In fisica e ingegneria, incontriamo comunemente equazioni che hanno la forma dove A è un tensore, n è un vettore e λ è uno scalare. Ricordando che un tensore è un operatore lineare che trasforma un vettore in un altro vettore, l'equazione di sopra implica che l'operatore tensoriale A non ha alterato la direzione del vettore n poiché A·n è parallelo al vettore risultante n. Questa equazione sarà soddisfatta solo per particolari autocoppie, che sono le combinazioni di: λ, autovalori, ed n, autovettori.

L’equazione scritta sopra fornisce: ammette sempre una soluzione, cioè n=0 ma non ha significato fisico dato che n rappresenta la direzione. Rango della matrice dei coefficienti non deve essere pieno, quindi lo imponiamo <3, quindi che (A−λ I) sia singolare. Poiché le componenti tensoriali di A sono note, l'equazione diventa una singola equazione cubica in termini di autovalori incogniti λ. Questa equazione è chiamata equazione caratteristica con le tre radici λ1, λ2 e λ3 note come autovalori o valori principali. Per ciascuno di questi autovalori, λi, si trova il corrispondente autovettore, n(i). Ciò si ottiene sostituendo gli autovalori nell'equazione per dare un set di equazioni: che scritto in forma mariciale diventa: si ottengono 3 equazioni in 3 incognite e per avere una soluzione univoca si introduce una quarta equazione di normalizzazione, per trovare la direzione, cioè basta imporre che ñ · ñ =1. Quindi l'autovettore normalizzato ñ(i), può essere calcolato dividendo l'autovalore per il suo modulo tale che. Oltre all'equazione aggiungiamo con m è l'autovettore sinistro e n è l'autovettore destro. Gli autovalori, λ, corrispondenti alle equazioni rosso e verde sono gli stessi, gli autovettori sinistro e destro non sono generalmente uguali. Per il caso di un tensore simmetrico, gli autovettori destro e sinistro sono uguali poiché prendendo la trasposta di entrambi i membri dell'equazione verde dà ATm = λ m, e per un tensore simmetrico A=AT. Quando sinistro o destro non sono specificati, il termine autovettore viene utilizzato per riferirsi all'autovettore destro.

1.1.4 Decomposizione spettrale di un tensore simmetrico

Molte misure comuni di sollecitazione e deformazione possono essere espresse come tensori simmetrici reali. Gli autovalori dei tensori reali simmetrici sono numeri reali e si possono sempre trovare tre autovettori linearmente indipendenti, ortogonali. Pertanto, gli autovettori normalizzati formano una base. Pertanto, la somma dei prodotti tensoriali degli autovettori dà la matrice identità: qualsiasi tensore simmetrico reale, A, può essere rappresentato in funzione dei suoi autovalori, λi, e dei corrispondenti autovettori normalizzati. Questo è noto come decomposizione spettrale o come rappresentazione spettrale di un tensore. La rappresentazione spettrale del tensore, A, può essere trovata facendo uso dell'equazione della matrice identità: per determinare il quadrato di un tensore simmetrico è possibile scrivere. Rappresentazione spettrale significa che A posso scriverlo attraverso una sommatoria. Abbiamo dimostrato che e quindi possiamo scrivere i al posto di j e ottenere il prodotto come:

Possiamo generalizzare questo concetto con A elevato ad un n qualsiasi intero: se n=1/2 significa fare la radice quadrata di A: analogo discorso vale quando n=-1, cioè quando determiniamo l’inverso: i tensori reali simmetrici hanno tre autovalori e possono includere autovalori ripetuti. Se esiste un singolo autovalore ripetuto, λ1 = λ2, allora il tensore identità può essere scritto come: così quando facciamo la rappresentazione spettrale del tensore A si ottiene:

Quando tutti e 3 gli autovalori coincidono, la rappresentazione spettrale diventa semplicemente:

1.1.5 Trasformazioni di coordinate

I vettori e i tensori usati per descrivere le quantità fisiche possono essere espressi come un vettore colonna o una matrice che rappresenta i componenti del tensore all'interno di un sistema di coordinate specificato. Mentre la quantità fisica non dipende dal sistema di coordinate, le componenti della rappresentazione matriciale sì. Mostreremo che le componenti della rappresentazione matriciale all'interno di diversi sistemi di coordinate sono correlati tramite il tensore di rotazione che mette in relazione i due sistemi di coordinate. Immagina un razzo che viaggia con un vettore di velocità, v. Selezioniamo un sistema di coordinate con vettori di base {e1, e2, e3}. Il vettore velocità può essere espresso come una combinazione lineare di questi vettori base tale che. Utilizzando una terna diversa ruotata rispetto a quella di partenza, anche la sua rappresentazione sarà ruotata. Il vettore velocità stesso non è cambiato, sono cambiati solo le componenti. L'interpretazione fisica del vettore velocità, v, non può cambiare poiché il razzo viaggia alla stessa velocità, indipendentemente dal sistema di coordinate selezionato. Dunque se e devono essere uguali allora ne deriva che. Se moltiplichiamo entrambi i membri di questa equazione con il vettore base, ej, otteniamo un'equazione che mette in relazione le componenti del vettore nel * sistema di riferimento con quelli nel sistema di riferimento originale :

Le componenti sono correlate tra loro tramite la matrice di trasformazione definita da: poiché la grandezza dei vettori unitari è uguale a uno, la matrice di trasformazione può essere scritta in termini di angoli tra i vettori di base come: dove è l’angolo compreso fra e. La trasformazione delle coordinate può essere scritta come: in notazione tensoriale le regole di trasformazione del vettore diventano: questa regola se soddisfatta ci garantisce l’oggettività indipendente dal sistema di riferimento e dall’osservatore. Nel grafico vediamo che rappresenta la rotazione. Le componenti di un tensore, A, si trasformano in modo simile. Anche in questo caso, la grandezza fisica rappresentata dal tensore non cambia. Cambiano solo le componenti del tensore espresse all'interno di un dato sistema di riferimento. Utilizzando i risultati dell'Esempio 1.10, possiamo esprimere le componenti di un tensore nel sistema di riferimentostellato come. I vettori di base nel sistema di coordinate non stellati possono essere espressi come una combinazione lineare dei vettori di base stellati come, vediamo come si relazionano alle componenti e normali: la proiezione di e1* lungo ei dunque faccio il prodotto scalare fra questi due e moltiplico per e1*; stessa cosa per le altre componenti. Il coefficiente prima di ciascuno dei vettori di base stellati è semplicemente la proiezione del vettore di base non stellato sul vettore di base stellato.

I vettori di base nel sistema di coordinate stellate possono anche essere espressi come una combinazione lineare dei vettori di base non stellati come: sostituendo in alla seguente equazione si ottiene: nella notazione tensoriale, la regola di trasformazione tensoriale può essere scritta come. Il tensore A* dipende due volte dal tensore di rotazione. Mentre tutti i tensori devono obbedire alla regola di trasformazione.