Appunti completi di advanced biomechanical modelling

Trasformazione dei vettori e dei tensori

T∗ ∗v =Q·v or v=Q ·vtrasformano secondo le regole di trasformazione del vettore ( )diventano in talmodo: T T∗A =Q·A·Q or A=QLe componenti di una funzione tensoriale di obiezione, A, si trasformano (∗·A ·Q. ) in modo tale cheCerchiamo di determinare i vincoli imposti al nostro modello costitutivo dal principio di oggettività.Prima di esaminare i vincoli dovuti al principio dell'indifferenza del frame materiale, esaminiamol'oggettività di diversi tensori cinematici comuni. Supponiamo che l'osservatore A sia nel sistema dixriferimento non stellato dato da , e l'osservatore B sia nel sistema di riferimento stellato dato da∗x . I due sistemi di coordinate spaziali possono essere correlati tramite l'equazione(*)dove Q è la rotazione relativa e c è la traslazione relativa tra i due sistemi di riferimento. Supponiamoinoltre che al tempo t = 0, i due frame

coincidano in modo tale che i due osservatori condividano la stessa configurazione di riferimento materiale. L'osservatore B e l'osservatore A misurano rispettivamente la velocità di un punto materiale come:

(**)

La relazione tra v e v∗ può essere trovata sostituendo l'equazione (*) nell'equazione (**)

(***)∗v = Q · v

Per essere oggettiva, la velocità dovrebbe trasformarsi secondo la stessa relazione. Come si può vedere dall'equazione (***), ciò si verifica solo se i due sistemi di riferimento non ruotano o traslano l'uno rispetto all'altro nel tempo. Quando i due sistemi di riferimento si muovono l'uno rispetto all'altro, la velocità misurata è sostanzialmente diversa nei due sistemi di riferimento. Pertanto, concludiamo che il vettore velocità non è un vettore obiettivo a meno che la rotazione Q e la traslazione c siano costanti nel tempo.

Successivamente,

esaminiamo il gradiente di deformazione. I gradienti di deformazione misurati dall'osservatore A e dall'osservatore B all'interno dei due sistemi di riferimento sono dati da(°)Sostituiamo l'Equazione (*) nell'Equazione (°) e sfruttiamo il fatto che i due osservatori condividono la stessa configurazione di riferimento per ottenerePoiché il gradiente di deformazione è un tensore a due punti e non un vettore, non si trasforma secondo l'equazione . Invece, scriviamo il tensore come (#)La relazione tra i vettori di base nei due sistemi di riferimento dipende solo dalla rotazione e non è e = Q · edalla traslazione relativa dei due sistemi di riferimento. Quindi, possiamo sostituire eii*E = E nell'Equazione (#) per ottenerejjQuindi vedi che un tensore a due punti si trasformerà in modo simile a un vettore obiettivo.Pertanto, il gradiente di deformazione è un tensore oggettivo a due punti.Consideriamo ora i

tensori di deformazione. Il tensore di deformazione di Cauchy corretto misurato dall'osservatore B è dato da

Questo chiaramente non è un tensore oggettivo sotto la trasformazione spaziale. Tuttavia, il tensore di deformazione di Cauchy sinistro misurato dall'osservatore B è dato da

Il tensore di deformazione di Cauchy sinistro è oggettivo sotto trasformazione spaziale. Allo stesso modo, possiamo trovare le leggi di trasformazione per il tensore degli sforzi di Cauchy. Poiché sia il vettore di trazione che la normale alla superficie esterna sono oggettivi e ruotati

Da questa osservazione si deduce che il deformation gradient, benché sia un tensore particolare è possibile considerarlo oggettivo; i due tensori di deformazione Right e Left sono rispettivamente non oggettivo ed oggettivo come il tensore degli sforzi di Cauchy.

Possiamo anche considerare il secondo stress Piola-Kirchhoff che diventa:

In definitiva, ogni variabile deve

essere analizzata per la sua trasformazione in moto rigido. L'analisipresentata in questa sezione ha mostrato che la velocità del vettore e i tensori, C e S, non sono frame-indifferent, mentre i tensori, B e σ, sono frame-indifferent rispetto al moto rigido del sistema di riferimento spaziale. I vincoli derivanti dal principio di oggettività dipendono dalla particolare scelta di variabili indipendenti utilizzate per formulare il modello costitutivo. Ad esempio, se abbiamo un'equazione costitutiva per il tensore degli sforzi di Cauchy scritta in termini del tensore di deformazione di σ = σ(B), il principio di oggettività richiede: σ = σ(B) Abbiamo determinato il modo in cui B* si trasforma nell'equazione ($), dando il risultato: B* = QBQ^T Questo deve essere vero per ogni possibile rotazione Q. D'altra parte, una relazione costitutiva per il tensore degli sforzi di Cauchy come una funzione del tensore di σ = σ(C) tensore di Cauchy sinistro, il principio di oggettività richiede: σ = σ(C)

costitutivo sia riducibile ad una funzione del giusto2 **U = C C = C U = Utensore di stiramento. Si noti che poiché e poiché , abbiamo e qualsiasiθ f (U,θ)funzione di sole U, e , restituirà lo stesso valore indipendentemente dalla rotazione del sistema di coordinate.

CAPITOLO 4.6 – SIMMETRIA MATERIALE

Molti materiali mostrano un comportamento simile in più direzioni. Ad esempio, le proprietà del materiale di un solido isotropo non variano direzionalmente. La risposta sforzo-deformazione dell'elemento materiale lungo un asse è identica alla risposta sforzo-deformazione lungo qualsiasi altro asse. Se si inizia con una sfera unitaria di materiale, si comprime il materiale, quindi si ruota la sfera e si comprime di nuovo, la risposta determinata sperimentalmente è identica. Quello che stai facendo, infatti, è ruotare la configurazione di riferimento del materiale e sottoporlo a una deformazione identica.

Un materiale isotropo deve avere la stessa risposta per tutte le possibili rotazioni della configurazione di riferimento. Molti fluidi mostrano un comportamento isotropo. Altri materiali mostrano una minore simmetria. Un composito laminato multistrato (come il compensato) potrebbe presentare isotropia trasversale. Le proprietà del materiale all'interno del piano sono invarianti, ma sono distinte dalle proprietà perpendicolari allo strato.

Se il materiale possiede simmetria, esiste un insieme di rotazioni del corpo rigido, {Q}, della configurazione di riferimento che non modificano la risposta del materiale. Per il materiale isotropo, l'insieme delle rotazioni include tutte le rotazioni possibili. Per il materiale trasversalmente isotropo, l'insieme delle rotazioni comprende tutte le rotazioni attorno all'asse perpendicolare allo strato.

Esaminiamo i vincoli sulla forma delle equazioni costitutive, che sorgono a causa della simmetria materiale. Confronteremo due configurazioni.

Innanzitutto, deformiamo il corpo secondo lex = x (X, t).equazioni del moto

Quindi immaginiamo di ruotare la configurazione di riferimentodell'oggetto. Poiché la configurazione di riferimento è ruotata e traslata rispetto alla configurazionedi riferimento originale, possiamo scrivere la nuova configurazione di riferimento, X', in terminidella configurazione di riferimento originale, X, e la rotazione relativa ai due, Q, come

X' = Q * X + c or X = Q X + c .

x = x(X', t).

Infine, applichiamo le stesse equazioni del moto alla configurazione ruotata tale che

Se assumiamo per semplicità che sia la deformazione che il materiale siano omogenei, possiamoscrivere il gradiente di deformazione come T'

F' = F * Q and F = F * Q .

La risposta costitutiva deve essere la stessa per tutte le rotazioni della configurazione di riferimentoconformi alla simmetria del materiale. Per il caso isotropo

abbiamoper tutte le rotazioni possibili. Allo stesso modo, otteniamo una regola di trasformazione per il Tensore di deformazione destro di Cauchy dato da Pertanto, un modello costitutivo proposto nei termini del giusto tensore di deformazione di Cauchy deve obbedire alla relazione CAPITOLO 4.6.1 – SCALARE ISOTROPICO Una funzione tensoriale a valori scalari, α(A), è detta funzione isotropica a valori scalari se per ogni possibile rotazione, Q. Chiaramente, queste funzioni sono comuni nello sviluppo di modelli costitutivi per materiali isotropi. Mostreremo in questa sezione che qualsiasi funzione isotropica a valori scalari può essere scritta in funzione degli autovalori del parametro tensoriale, A, in modo tale che α(A)=α(λ ,λ ,λ 3) (*)1 2 La dimostrazione è piuttosto semplice. Iniziamo notando che, poiché l'equazione (*) deve valere per tutti i possibili valori di Q, possiamo riscriverla per qualsiasi valore specificodi . Selezioniamo il tensore di rotazione, R, che ruota A nelle sue direzioni principali. Q è data da Q = RAR^T, dove R sono gli autovettori normalizzati di A. Per questa selezione del tensore di rotazione, noi abbiamo Q = diag(λ1, λ2, λ3), dove λ1, λ2 e λ3 sono gli autovalori del tensore A. Pertanto, qualsiasi funzione scalare per un materiale isotropo deve essere conforme a λ1, λ2 e λ3. Poiché le tre componenti indipendenti del tensore A sono gli autovalori del tensore A, possiamo scrivere α(A) = α(λ1, λ2, λ3). Pertanto, qualsiasi funzione scalare per un materiale isotropo può essere scritta in termini degli autovalori del parametro tensoriale. CAPITOLO 4.6.2 - TENSORE ISOTROPICO Una funzione tensoriale simmetrica, σ, con un parametro tensoriale simmetrico, A, è detta funzione tensoriale isotropa.