Appunti schematici + Formulario di Statistica II

Statistica e stima

Statistica = funzione nota dei dati campionari

Stimatore = statistica utilizzata per stimare un determinato parametro, è una variabile casuale

Stima = è un possibile valore assunto dalla variabile casuale (stimatore)

Distribuzione della media campionaria

Valore atteso

Momenti campionari:

Correttezza e distorsione di uno stimatore

Correttezza di uno stimatore: E(T ) = θ

Distorsione di uno stimatore: Bias(T ) = E(T ) - θ ≠ 0

Non distorsione asintotica:

Distribuzione varianza campionaria

Distorta (non asintoticamente)

Distribuzione varianza campionaria corretta:

Relazione normale / chi-quadro

Disuguaglianza di Jensen

Sia g(x) una funzione convessa. Allora:

Es: E(x²) ≥ [E(x)]² Allora Var(x) = E(x²) - [E(x)]² ≥ 0

Efficienza di uno stimatore

MSE(T ) = Var(T ) + (Bias(T ))²

∀θ∈Θ, ∃θ∈Θ T è più efficiente di T se: MSE (T ) ≤ MSE (T ) o MSE (T ) < MSE (T )

Stimatori UMVUE

T* di θ è stimatore UMVUE se Var(T*) < Var(T) e E(T*)= θ dove T è uno stimatore non distorto di θ

Stima di massima verosimiglianza

Informazione attesa di Fisher

Disuguaglianza di Cramèr e Rao

Fornisce il valore minimo della varianza di uno stimatore non distorto permettendo quindi di identificare il valore più piccolo assumibile dal MSE: → Quando vale l’uguaglianza, T è uno stimatore UMVUE

Efficienza assoluta

Indice di efficienza assoluta dello stimatore: In generale non esiste uno stimatore che ha miglior MSE per ogni possibile valore di θ tra tutti i possibili stimatori di un parametro θ, ma lo posso ricercare tra gli stimatori non distorti: → se = 1 Stimatore UMVUE

Consistenza di uno stimatore

e S sono consistenti

Consistenza in media quadratica

(implica consistenza): →

Metodo dei momenti monoparametrico

µ(θ) = poi esplicito θ

Metodo dei momenti multiparametrico

Risolvo il sistema dei momenti:

Proprietà degli stimatori ML

1. Proprietà d’invarianza: Sia τ = τ(θ) una funzione biunivoca di θ e stimatore ML di θ, allora è stimatore ML di τ = τ(θ)
2. È consistente per θ, asintoticamente normale, corretto ed efficiente. Effetto di : se ↑ ↓ ampiezza ↓ Effetto di : se ↑ A ↓ Effetto di : se ↑ A ↑

IC per il valore atteso di una popolazione normale con varianza nota

→ IC per il