Appunti rielaborati per il corso di Fisica

Teoria Cinetica dei Gas

1. Pressione:

m v (149)x xP = =m 3L V

Questo caso rimane esemplificatorio, infatti la velocità media dipende da ben tre componenti: 12 2 2 2 2 2 2·v = v + v + v = 3v =⇒ v = vm x y z x x mm m m m m 3

Per cui, se eliminiamo questa approssimazione, la pressione media di molecole diventa: N 1 (150)2· · · ·P V = N m vm m3592.

Energia Cinetica e Temperatura: Ora, eguagliamo la legge dei gas perfetti a quella trovata precedentemente: 121 12· (151)2 2· · · · · · ·k T = m v ( m v )= k T=⇒m m3 3 2

In questo caso vediamo che il termine corrisponde alla velocità cinetica media delle particelle. Ma, sostituendo nella formula otteniamo che: 1 3 (152)2· · · ·K = m v = k Tm m2 2

Da questa formula vediamo che l'agitazione delle particelle e, di conseguenza, anche la velocità media di un gas sono direttamente proporzionali alla temperatura.

Proprio come descritto nella distribuzione di Maxwell-Boltzmann (figura 53).

A conferma di ciò possiamo anche ricavare la velocità quadratica media, che è definita come:

$r\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{3\; k\; Tp\}\; =\; \backslash frac\{v\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3\; k\; T\}\{m\}\}$

Energia Interna:

In un gas ideale, essendo gli urti tra le molecole perfettamente elastici, l'energia interna è data dalla somma dei contributi dell'energia cinetica delle singole particelle:

$U\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; m\; v\_i^2\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; N\; k\; T$

La legge di Dalton, o legge delle pressioni parziali, prefissa di spiegare la variazione della pressione quando vengono messi nello stesso contenitore due gas diversi ed è enunciata nel seguente modo:

"In un contenitore in cui siano presenti due gas perfetti che, non interagendo tra di loro, apportano un proprio contributo alla pressione totale, la pressione parziale che eserciterebbero se occupassero tutto il volume del contenitore è uguale alla pressione totale."

Il volume disponibile. "Per cui se consideriamo un contenitore di un certo volume e due gas diversi presenti in esso, possiamo dire che le pressioni dei due gas parzializzano:

• N k T
• N k T1 2
• P = P =1 2V V

Per cui la pressione totale nel contenitore sarà:

• (N + N ) k T1 2 (154)
• P = =⇒ P = P + Ptot tot 1 2V

8.3 Principi della Termodinamica

La cosiddetta si è sempre occupata dello studio di termodinamica classica oggetti macroscopici, ne consegue che si basi perlopiù su dei principi di base che sono validi ancora oggi a livello universale, seppur non si sperimentale occupino di spiegare i fenomeni microscopici di interazione tra la radiazione e la materia. In questa sezione analizzeremo i principi della termodinamica.

La prima legge della termodi-Primo Principio della Termodinamica namica afferma che:

"In una qualsiasi trasformazione la differenze dell’energia interna del sistema eguaglia la somma del calore"

"scambiato e del lavoro prodotto". (155)-∆U = U U = q + wf inale iniziale

Per quanto riguarda il segno dell'energia bisogna citare alcune convenzioni:

• Calore dal sistema Processo→ q < 0ceduto esotermico→
• Calore dal sistema Processo→ q > 0acquisito endotermico→
• Lavoro del sull'ambiente → w < 0sistema
• Lavoro dell' sul sistema → w > 0ambiente
• →Q = 0 ∆U = wAdiabatica→ 61

L'energia totale è strettamente legata al tipo di reazione che si compie, infatti in natura ne esistono essenzialmente di due tipi:

1. Irreversibili: Quando la trasformazione avviene in de-condizioni di non equilibrio, scrivendo cioè un grafico molto distante da quello ideale. In questo caso il lavoro è definito dall'area sottesa al grafico ed è: (156)-q -P ·w = = ∆V < wirr max
2. Reversibili: Quando la trasformazione avviene in condizioni prossime

La variazione è indipendente dal percorso svolto. Un esempio è la variazione di energia interna, mentre calore e lavoro non lo sono.

Il primo principio della termodinamica, però, si adatta bene alle reazioni isocore, ma non altrettanto a quelle isobare. Per cui è nata la necessità di introdurre una nuova grandezza fisica, indipendente dal lavoro, che rappresentasse l'energia di un sistema a pressione costante, l'entalpia. Quest'ultima è sia una grandezza sia una ed è definita come:

H = U + P V

Ma il fatto più interessante si ottiene quando ne analizziamo la differenza, infatti, sapendo il primo principio della termodinamica, otteniamo che:

∆H = ∆U + P ∆V = q P ∆V + P ∆V = q

Prima di analizzare il secondo principio della termodinamica, non si può non trattare della scienza che ne ha dato origine.

La termodinamica è una disciplina scientifica che si preoccupa di studiare le cosiddette macchine termiche, ovvero dei dispositivi che permettono di trasformare calore in lavoro e viceversa. L'ascesa di questa scienza fece nascere di conseguenza l'idea di poter creare una macchina termica che riuscisse a tramutare tutto il calore fornito in lavoro e che fosse in grado di immetterlo nel sistema per generare un moto perpetuo.

Sapendo che il rendimento di una macchina termica è definito come:

η = Lavoro prodotto w / Calore fornito q

Possiamo dedurre che la macchina termica precedente descritta, eguagliando il calore fornito e il lavoro prodotto, avrebbe il massimo rendimento possibile, ovvero η = 1, ideale.

Questa macchina, non violando il primo principio della termodinamica, sembrerebbe realizzabile, ma nelle "Considerazioni sulla forza motrice del fuoco" del 1824 Sadi Carnot confutò.

quest’ipotesi.fuoco"Il francese intuisce infatti che per generare del lavoro servisse un flusso dicalore da una sorgente calda verso una fredda, ottenendo la seguente formula:

T_QF - η = 1 - T_QC

Dove η e sono la temperatura e il calore della sorgente fredda eT Q TF F Ce sono la temperatura e il calore della sorgente calda.QC

Da questa formula possiamo trarre alcune osservazioni:

• η < 1: Una macchina termica reale avrà sempre TF (163)⇔ −η = 1 η = lim 1 T→+∞T CC63
• Quando la temperatura dell’universo sarà uniforme in ogni punto, as-sisteremo ad una morte termica: (164)T = T =⇒ η = 0C F

Questi presupposti furono il fondamento per la formulazione del secondoespresso dai tali enunciati:

• Enunciato di Kelvin: "É impossibile, in un percorso ciclico, prelevare