Appunti rielaborati di Meccanica Applicata (parte 1)

Meccanica Applicata

Cinematica del punto

Si consideri un sistema di riferimento sugli assi Y e X e si consideri la traiettoria T di un generico punto.

Arco di curva: ds = R dθ (in idealità)

Dobbiamo innanzitutto conoscere la legge del moto del punto, a tale proposito ricordiamo che (in un piano - spazio bidimensionale) sono necessari 2 parametri, per conoscere la posizione del punto.

Es: (_{p_H}-0) = x_pi + y_pj

• 2 parametri x_p e y_p
• Oppure τ e θ.
• n → distanza punto-origine
• α → angolo tra retta congiungente e semiasse positivo delle ascisse.

Se invece vogliamo determinare la velocità del punto allora:

V_p = d/dt(_{p_H}-0) = d/dt(x_pi + y_pj) = ṫ x_p - x_p dτ′/dt i + ṫ y_p - y_p dθ′/dt

Velocità vettoriale x (τ è costante) Velocità vettoriale y

Vettiamo ora l'intuizione del punto. Dato che ci troviamo in un tempo ristretto, il tratto è approssimabile ad un arco di una circonferenza di centro (di curvatura C) che cambia istante per istante (se consideriamo archi differenti).

d(P - 0) rappresenta l'incremento del vettore posizione, dato che

sto considerando porzioni molto piccole l'incremento ha stessa

direzione della velocità (direzione tangente alla traiettoria).

d(P - 0) = (Pi (t + dt) - 0) - (Pi(t) - 0)

Introduciamo ora il versore T_i, esso è il versore tangente, che

muovendosi ha derivata ≠ 0, quindi :

V_P = V_pT_i = ds/dt = Rd/dt = Rω

_{modulo velocità velocità angolare}

Possiamo così evolvere l'accelerazione:

a_P(T) = d(V_PT_i)/dt - (d(V_PT_i)/dt)

= (V_PT_i)° + V_PdT_i/dt

_{componente tangenziale}

L'accelerazione è quindi costituita da 2

componenti una prima, la componente

tangenziale, detta tale in quanto ha stessa

direzione di T_i, la seconda, invece, avendo

T'_i che varia dobbiamo determinarla.

• Seconda componente.

Vogliamo trovarne la direzione, consideriamo quindi:

T_i•T_i = Δ _{prodotto scalare}

(x•b = ab cosθ) _{prodotto completo}

d(T_i•T_i)/dt =

dT_i/dtT_i + T_idT_i/dt = 0

→ T_i⊥ dT_i/dt

due a due

_{LA SECONDA COMPONENTE È}

_{PERPENDICOLARE Ti}

_The

Teorema di Poisson per i versori

Considerato un versore e che forma un angolo δ con i

e = cosδ i + sinδ j

essendo δ costante

^d/_dt = cosδ ^di/_dt + senδ ^dj/_dt

de/_dt = ω ∧ (e x cosδ i + sinδ j)

quindi

^d_e/_dt = ω ∧ e

Esprime il teorema di Poisson

Equazione di Rivals

Possiamo scomporre l’equazione fondamentale della cinematica del corpo rigido in due equazioni scalari.

V_B - V_A = ω ∧ (B - A)

=> V_B = V_A + ω ∧ (B - A)

d’identica!

1. ^dV_B/_dt = a_A + ω ∧ (B - A) + ω ∧ ^d/_dt(B - A) + ω ∧ (ω ∧ (B - A))
2. dove ω_n(B - A) = 00ω -ω(Y_B - Y_A)0ω(X_B - X_A)
3. e dove ω_n(ω ∧ (B - A)) = - ω²(B - A)

In definitiva otteniamo applicando ² e ³ alla ¹:

a_B = a_A + ω ∧ (B - A) - ω²(B - A)

Equazione di Rivals per il corpo rigido

Si applicano queste equazioni di moto di un corpo che può essere visto come somma di 2 moti:

• Moto traslatorio
• Moto di rotazione

Gradi di libertà di un sistema

Un meccanismo è un sistema meccanico costituito da più corpi rigidi collegati tra loro mediante elementi di giunzione che possono consentire un parziale moto relativo tra le parti.

Questi elementi di giunzione possono essere considerati vincoli. Il numero di gradi di libertà di un sistema è il numero minimo di parametri indipendenti che permette di identificare la configurazione di un sistema.

Casio semplice.

(grafico)

• P_x(t)
• P_y(t)
• Ṗ_x(t)
• Ṗ_y(t)
• P̈_x(t)
• P̈_y(t)

Gradi di libertà di un corpo rigido

AB corpo rigido

(grafico)

X_A(t), Y_A(t) e θ(t) mi possono dare informazioni sul corpo AB istante per istante. AB ha quindi 3 gradi di libertà (come ogni corpo rigido).

Possiamo ottenere velocità e accelerazioni se derivo.

• Ẋ_A(t) = V_Ax
• Ẏ_A(t) = V_Ay
• θ̇(t) = ω
• Ẍ_A(t) = a_Ax
• Ÿ_A(t) = a_Ay
• θ̈(t) = α

Note le velocità di un punto posso conoscere tutte le altre

2° modo

Determinando il centro di istantanea rotazione possiamo determinare _ω2 e _VB.

_{VA = ω2 ΔK}

_{ω2 = VA/AV = VA/AB senα}

_VB = _{BK2 ω2} = _AB cosα _ω2 = _AB cosα _VA/_AB senα =

La cinematica non dipende dalla geometria del corpo ma dalla posizione dei vincoli.

Accelerazione

_aA = 0 | _aB = ?

Sviluppo l'eq. di RIVALS tra punti A e B.

_aB = _aA + _ω2² ∧ (B-A) - _{ω2² (B-A)}

direzione normale e poi progetto

Traccio il modulo anche per il polo di risolvente. Se _ω2 uscente non mi ritrova con la direzione (B-A) quindi _ω2 è entrante.

Il modulo di _{ω2 ∧ (B-A)} è dato da:

_{|ω2| = |(ω2 ∧ (B-A))|/AB}

Si parte dal vettore noto, si traccia, poi la direzione del vettore normale al vettore distanza tra A e B. Dato che i vettori si devono sommare fine fino le punta del primo punto alla parte destra per costruire, punta alla parte del secondo. Il modulo di _aB si trova con protesi.

Ragionamento analogo posso fare per G.

_aG = _aA + _ω2² ∧ (G A) - _{ω2² (G A)}

Esempio: quadrilatero articolato

Il quadrilatero articolato permette di trasformare un moto rotatorio continuo in uno rotatorio alternativo.

Il sistema è composto da 3 corpi rigidi:

• Manovella
• Biella
• Bilanciere

Di questo sistema conosco la posizione di A e D e le lunghezze di ciascun corpo.

Supponiamo di porre un motore su A e che questo faccia ruotare B da velocità ω₁ costante.

Quanti gradi di libertà ha il sistema?

Gradi del sistema vincolato: 3*3=9

Gradi —> 4 . 2 = 8 gradi delle coppie rotazionali.

GDL = 9 - 8 = 1

Velocità

Come ruota B?

V_B = V_A + ω₁ ^ n (B-A)

⇒ |V_B| = (ω₁ AB) / (ω₂ Bk₂)

V_c posso esprimere in due modi:

1. Rispetto a BC e ω₂;
2. Rispetto CD e ω₃.

Necessaria per risolvere l'equazione fondamentale tra C e B.

Scelgo il primo metodo.

1. V_c = V_B + ω₂ ^ n (C-B)

Direzione nota di V_C = V_B + ω₃ ^ n (C-O)

ω₃ = (V_C / CD) ⇒ ω₂ = ω₃ CB / CD

⇒ ω₂ = (ω₂ AB) / (Bk₂)

V_C = ω₃ ^ OC = ω₂ ^ k₂ C