Appunti rielaborati di Meccanica Applicata (parte 1)

Meccanica applicata

Cinematica del punto

Si considera un sistema di riferimento sugli assi x y e si considera la traiettoria Γ di un generico punto. Arco di circonferenza: ds = Rdθ in radianti. Dobbiamo innanzitutto conoscere la legge del moto del punto. A tale proposito ricordiamo che (in un piano - spazio bidimensionale) sono necessari 2 parametri per conoscere la posizione del punto. Es: (P_H - 0) = x_Pi + y_Pj → 2 parametri x_P e y_P o alternativamente r e θ.

• n = distanza punto-origine
• θ = angolo che retta congiungente e semiasse positivo delle ascisse

Se invece vogliamo determinare la velocità del punto allora: v_P = d(P_H - 0) /dt = d (x_Pi + y_Pj) /dt = ẋpi + ẏ_Pj. Velocità del punto: x componente velocità x, y componente velocità y.

Vetiunamo ora l’intuito del punto. Dato che δ&σ trova in un tempo: nistretto &σ& traetto è approssimabile ad un arco di circonferenza di centro (di curvatura C) che cambia istante per istante (se consideriamo archi differenti).

Cinematica del punto (ripetizione)

Si considera un sistema di riferimento sugli assi X Y e si consideri la traiettoria Γ data un generico punto. Arco di circonferenza: ds = Rdθ (in radianti). Dobbiamo innanzitutto conoscere la posizione del punto, a tale proposito ricordiamo che (in un piano spazio bidimensionale) sono necessari 2 parametri per conoscere la posizione del punto. Es: (P(t) - O) = x_pî + y_pĵ 2 parametri x_p e y_p o alternativamente r e θ:

• r = distanza punto-origine
• θ = angolo che retta congiungente e semiasse positivo delle ascisse

Se invece vogliamo determinare la velocità del punto otteniamo: v_p = (d/dt)_{(P(t) - O)} = (d/dt)(x_pî + y_pĵ) = ẋ_pî + ẏ_pĵ. Valutiamo ora l'intorno del punto. Dato che ci troviamo in un tempo ristretto, il tratto è approssimabile ad un arco di circonferenza di centro (di curvatura C) che cambia istante per istante (se consideriamo archi differenti). d(P-0) rappresenta l'incremento del vettore posizione, dato che stiamo considerando percorsi molto piccoli l'incremento ha stessa direzione della velocità (direzione -> tangente alla traiettoria). d(P-0) = [(P(t+dt) - 0) - (P(t) = 0)].

Introduciamo ora il versore T, esso è l'unico tangente, che muovendo ha derivata ≠0, quindi: Vp = Vp T = ds/dt = Rdθ/dt + Rω; modulo velocità velocità angolare.

Possiamo valutare l'accelerazione: aP = dVp(t)/dt -> d(Vp T)/dt = (Vp) ˢ/ T + Vp dt componente tangenziale. L'accelerazione è quindi costituito da 2 componenti: una prima, la componente tangenziale, detta tale in quanto ha stessa direzione di Vp; la seconda, invece, avendo T che varia dobbiamo determinarla.

Seconda componente

Vogliamo trovare la direzione consideriamo quindi: PRODOTTO SCALARE x.b = a.b.cos(ϑ) 2T dt = 0 0 0 piccole onde T. PRODOTTO SCALARE NULLO QUANDO COS = 0 cioè quando T - π/2. LA SECONDA COMPONENTE È PERPENDICOLARE.

Riprendiamo l'arco di circocurva percorso in t=dt. Il verso della componente normale è sempre da ρ verso il centro di curvatura.

Componente normale

a_pN(t) = V_p dγ/dt = V_p dγ/dt **n = V_p ω * **n a_pN = ω² R * n = V_p² * u / R. Per cui l'accelerazione è uguale a_p (t) = a_pT + a_pN.

Note

Componente normale: nel tratto rettilineo si ha che R vale ∞, per questo motivo possiamo tracciare la componente normale. Se R è finito si ha sempre un'accelerazione normale.

Componente tangenziale: il verso dipende strettamente dalla velocità. Se V_p aumenta, efflora il verso e coincide con r, se V_p sta diminuendo il verso è discende con r.

Cinematica del corpo rigido

In natura non esistono corpi indeformabili. Possiamo utilizzare l'ipotesi di corpo indeformabile quando le deformazioni sono trascurabili rispetto alle problematiche affrontate. Nel nostro caso si ha quasi sempre l'ipotesi di corpo rigido (indeformabile).

Corpo rigido

Corpo in cui presi 2 punti, A e B, la distanza tra questi non varia nel tempo.

Cinematica del corpo rigido

Prendiamo un corpo rigido e 2 sistemi di riferimento (2 dimensioni):

1. Sistema solidale al corpo rigido o x'y'
2. Sistema fisso oxy

(B-A) = (B-O)