Appunti relativi al corso di matematica

Teorema 1

Sia f : A ---> ℝ e x punto di accumulazione di A. F è una funzione elementare.

Se lim x → 0 f(x) = f(x₀), allora lim x → 0 f(x) = f(x₀).

Teorema 2

Sia f : A ---> ℝ e x punto di accumulazione di A.

Se lim x → 0 f(x) = l e lim x → 0 g(x) = k, allora:

• lim x → 0 (cf(x)) = cl
• lim x → 0 (f(x)±g(x)) = l±k
• lim x → 0 (f(x)*g(x)) = l*k
• lim x → 0 (f(x)/g(x)) = l/k (k ≠ 0)
• lim x → 0 g(x) = k

Teorema del confronto

Siano f, g, h: A ---> ℝ e x punto di accumulazione di A.

Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x∈A e lim x → 0 f(x) = lim x → 0 h(x) = 0, allora lim x → 0 g(x) = 0.

Limiti asintotici (x---> ± ∞)

funzioni razionali

p(x) polinomio di grado n

n-1a x + a x +….+a x+an

q(x) polinomio di grado m

m-1b x + b x +….+b x+bm

lim p(x) / q(x) [∞/∞]x --> ±∞

n=m lim p(x) / q(x) = a /bo x --> ±∞

2 2 2lim 5x -x+7 / 2x +5x-3 = lim 5x /2x = 5/2x --> ±∞

x --> ±∞GIUSTIFICARE IL RISULTATO:dividere numeratore e denominatore per la più alta potenza di x del denominatore

2 25x -x+7 / 2x +5x-3lim +∞x --> 2 2= (5 -1/x +7/x ) / (2 +5/x -3/x ) = 5/2

lim ∞x -->+ 2 25x -x+7 / 2x +5x-3lim -∞x --> 2 2= (5 -1/x +7/x ) / (2 +5/x -3/x ) = 5/2

lim ∞x -->- 7 = 0lim ±∞x --> xo n > m lim p(x) / q(x) = ±∞±∞x -->3 2x -2x+4 / x -2lim +∞x --> 3 2= x /x = x = +∞lim lim+∞ +∞x --> x -->giustifico 3 2x -2x+4 / x -2lim +∞x --> 2. 2= x - 2/x +4x / 1 -2/x = +∞lim +∞x -->o n <

m lim p(x) / q(x) = 0±∞

x -->giustifico 2 3x -3 / x -2xlim -∞

x --> 3 2= l 1/x -3/x / 1 -2/x = 0im -∞

x -->Grafico logaritmo lim Inx = +∞

x --> +∞ xGrafico esponenziale lim e = +∞

x --> +∞a x≪ ≪Inx x elimx --> +∞

Es. 1 5x 2 2 5x≪elim e /x -3 = +∞. xx --> +∞

Es. 2 3 3≪lim In3x +7 /x -2x= 0 In3x xx --> +∞

ATTENZIONE: vanno giustificati+ veloce sopra --> ∞+ veloce sotto --> 0solo limx --> +∞es. 3 x x≪lim 8x + 36 / 2x – In(x) = +∞ 2x 36x --> +∞es. 4 2lim 2x+1+√(2x +1) / x+3Inx = 2+√(2x) --> +∞

Continuità di una funzione∃ ℝ ℝ ∈ ℝ

Si hanno f, g, h: A --> e x punto di accumulazione di A.0

Diciamo che la funzione f è continua nel punto x se esiste ed è finito il limite di f per x che tende a x e esso0 0coincide con il valore f(x )0lim f(x)= f(x )xx --> 00

Al contrario f è discontinua in x se:01. Il

limite non esiste o è +∞. il limite esiste finito ma non coincide con f(x) = 0. f continua in x. f continua a dx in x. f continua a sx e in x0 = 0.

La funzione f si dice continua (in generale) se è continua in ogni punto di A.

Se posso disegnare il grafico senza staccare la penna dal foglio allora ho una funzione continua.

Caso classico: A = [a,b] o ∈

Se x ∈ (a,b)

lim f(x) = lim f(x) = f(x0) = 0

x → 0 x → 0

Se x = a (x = b)

lim f(x) = f(x0) = 0

x → 0 x → 0

Teorema: ⊆ ℝ ℝ ∈ ℝ

Si hanno f, g, h: A → e x punto di accumulazione di A.

Se f è una funzione elementare f è continua in x0

Tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio

Esempio -x+1 x<0

f(x) = 2x +1 x≥0

Continua in x=0?

lim (-x+1) = 1

x → 0

lim (x +1) = 1

x → 0

f(0) = 0 +1 = 1

Esempio 2 2-x +1 x≤1

f(x) = x x>1

lim (-x +1) = 0

x → ∞

lim x= 1

x → ∞

f(1)

Esempio 3 2x-2 x≤1

f(x) =

Inx x>1lim (2x-2) = 0-1x -->lim Inx= 0+1x --> continua

f(1)= 2*1-2 = 0

Teorema: ⊆ ℝ ℝ ∈ ℝ

Consideriamo due funzioni f, g: A ---> e x punto di accumulazione di A.

Se f e g sono continue in x allora lo dono anche

gcf f±g f*g f/g fc∈ℝ g(x )≠0 (f(x )>0)

non continua continua

f(x ) = lim f(x)x0 x --> 0

f è l’estensione continua di f

Teorema di Weierstrass:

ℝ

Sia f:A=[a,b] ---> una funzione continua sull’intervallo A=[a,b].

∈Allora esistono due punti x ,x A (non necessariamente unici) tali che f(x ) ≤ f(x) ≤ f(x ), per ogni x∈A.

1 2 1 2

In altre parole f assume valore minimo assoluto min=f(x ) nel punto x e avrà un massimo assoluto max= f(x )

1 1 2

nel punto x .

Esempio2

f(x)= 3x -2x+1 nell’intervallo [0,1] e determinare esplicitamente i punti menzionati dal teorema.

o f continua Sì (polinomio)

o [0,1] chiuso e limitato Sì

Esistono massimo e minimo assoluti Disegno f(x) Vertice (1/3, 2/3)

M(1,2)m=V=(1/3,

Teorema del valore intermedio:

Sia f: A = [a,b] → ℝ una funzione continua sull'intervallo A = [a,b]. Sia y tra f(a) e f(b), se f(a) ≤ y ≤ f(b) oppure f(b) ≤ y ≤ f(a), allora se esiste x ∈ A = [a,b] (non necessariamente unico) tale che f(x) = y.

Teorema di Draboux:

Sia f: A = [a,b] → ℝ una funzione continua. Allora f assume tutti i valori tra il minimo (min) e il massimo (max).

Derivabilità:

Sia f: A → ℝ e x punto di accumulazione di A, x ∈ A punto interno ad A. Diciamo che f è derivabile in x se il limite

lim_x→x0(f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

esiste ed è finito. In questo caso, lim_x→x0(f(x) - f(x₀))/(x - x₀) = f'(x₀), dove f'(x₀) è la derivata di f nel punto x₀.

f’ (x ) derivata sx = derivata dx0 x 0 x x0 0 + 0x-x x-x0 0’

Quando f (x ) ≠ f’ (x ) (quindi f non è derivabile in x ) si parla di punto angoloso- 0 + 0 0

Cambio di variabile (comodità dei calcoli)h= x-x 0

f’(x ) = lim f(x +h) - f(x )0 h--> 0 0 0h

Interpretazione del rapporto incrementalevariazione di f riaspetto a x nell’intervallo [x , x + h]0 0f(x +h) - f(x ). = tasso di variazione medio0 0h

rapportoincrementaleNel limite h --> 0 si ottiene il tasso di variazione istantaneolim f(x +h) - f(x ). = f’(x )h--> 0 0 0 0h

EsempioAzienda con x dipendentif(x) quantità produzione giornalierax = 6 f(x )=10000 0h=4 f(x +h) = 14120f(x +h) - f(x ) = 1412 - 1000 = 412= 103. contributo medio alla produzione di ciascuno dei 4 dipendenti0 0h 4 4 TASSO MEDIO DI VARIAZIONE = RAPPORTO INCREMENTALELa derivata ha lo stesso significato del rapporto incrementale ma per una variazione ‘molto piccola’, marginale(costo marginale,

f(x)f’(x) = df (x) = dy (x) = y’(x)dx dx

Se voglio calcolarla nel punto x , allora scrivo

0f’(x ) = df = dy0 dx x=x dx0

Tabella delle derivate

Regole di differenziazione

• ∈ ℝ
• f(x) = c, f’(x) = 0
• (cf(x))’ = cf’(x)
• (f(x) ± g(x))’ = f’ (x) ± g’(x)
• Regola di Leibniz: (f(x)*g(x))’=f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)
• f(x) ’ = f’(x) * g(x) - f(x) * g’(x)

Esempi