Appunti relativi al corso di matematica

Sommario

• Minoranti e maggioranti ___________________________________________________________________ 3
• Intervalli ________________________________________________________________________________ 4
• Teorema (Bolzano – Weierstrass) ___________________________________________________________________ 6
• Valore assoluto _________________________________________________________________________________ 6
• Funzioni con una variabile reale _____________________________________________________________ 8
• Funzioni elementari ______________________________________________________________________ 12
• Limiti __________________________________________________________________________________ 23
• Limiti asintotici (x---> ± ∞) di funzioni razionali ______________________________________________________ 30
• Continuità di una funzione _________________________________________________________________ 32
• Teorema di Weierstrass_________________________________________________________________________ 35
• Derivabilità _____________________________________________________________________________ 36
• Interpretazione del rapporto incrementale__________________________________________________________ 37
• Regole di differenziazione _______________________________________________________________________ 39
• Derivazione funzioni composte ___________________________________________________________________ 40
• Formula di Taylor ________________________________________________________________________ 47
• Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili ________________________________________________ 50
• Teorema di Rolle _______________________________________________________________________________ 50
• Teorema di Lagrange ___________________________________________________________________________ 51
• Teorema di Cauchy _____________________________________________________________________________ 52
• Forme indeterminate _____________________________________________________________________ 53
• Studio del grafico di una funzione ___________________________________________________________ 55
• Integrali _______________________________________________________________________________ 65
• Partizioni e somme di Riemann ___________________________________________________________________ 68
• Proprietà dell’integrale definito ___________________________________________________________________ 70
• Teorema del valore medio integrale _______________________________________________________________ 71
• Teorema fondamentale del calcolo integrale ________________________________________________________ 71
• Integrazione per sostituzione _____________________________________________________________________ 73
• Area tra curve _________________________________________________________________________________ 74
• Integrazione per parti ___________________________________________________________________________ 74
• Integrali generalizzati ___________________________________________________________________________ 75
• Algebra lineare __________________________________________________________________________ 77
• Matrici e determinanti __________________________________________________________________________ 77
• Rango di una matrice ___________________________________________________________________________ 82
• Orlato _______________________________________________________________________________________ 84
• Teorema di Kronecker __________________________________________________________________________ 84
• Spazio vettoriale ______________________________________________________________________ 86
• Vettori fondamentali o versori di n¹ _______________________________________________________________ 87
• Sottospazi vettoriali di n¹ _______________________________________________________________________ 89
• Sistemi lineari ___________________________________________________________________________ 91
• Teorema di Rouchè - Capelli ______________________________________________________________________ 92
• Uso metodo di riduzione di Gauss _________________________________________________________________ 93
• Sistemi di Cramer ______________________________________________________________________________ 95
• Modelli di Leontiev _______________________________________________________________________ 96
• Funzioni di più variabili __________________________________________________________________ 102
• Curve di livello __________________________________________________________________________________ 107
• Struttura metrica e topologica di n¹ ______________________________________________________________ 109
• Limiti _______________________________________________________________________________________ 114
• Derivabilità __________________________________________________________________________________ 116
• Differenziabilità in 2¹ __________________________________________________________________________ 122
• Forme quadratiche ____________________________________________________________________________ 124
• Ottimizzazione libera __________________________________________________________________________ 128
• Ottimizzazione vincolata _______________________________________________________________________ 130
• Problema del consumatore _______________________________________________________________ 134
• Problema del produttore _______________________________________________________________________ 136

Insiemi numerici

Tipologia

• ℕ Insieme dei numeri naturali interi e positivi
• ℤ Insieme dei numeri interi interi positivi o negativi
• ℚ Insieme dei numeri razionali numeri espressi come frazioni

Hanno una rappresentazione decimale:

• Finità es. 3/2 = 1,5
• Infinita periodica es. 1/3 = 0,3̅

• ℝ ℚ Insieme dei numeri reali, numeri di e numeri irrazionali

Hanno una rappresentazione decimale infinita non periodica es. √2 = 1,4142…, π = 3,14…, e = 2,7182…

Simbologia

• ℝ* ℝ / {0}. Escluso 0
• ℝ ℝ ≥ 0+
• ℝ ℝ ≤ 0_
• ℝ* ℝ > 0+
• ℝ* ℝ < 0_
• ℝ ℚ Campi ordinati

Possibili operazioni:

• Addizione
• Moltiplicazione

a cui si possono applicare le proprietà:

• Commutativa es. x + y = y + x, x * y = y * x
• Associativa es. (x + y = z) x + y + q = z + q, (x * y = z) x * y * q = z * q

le quali hanno un elemento neutro:

• Per l’addizione il numero 0
• Per la moltiplicazione il numero 1

le quali hanno un elemento inverso:

• Per l’addizione – x
• Per la moltiplicazione 1 / x

Relazione d’ordine ≤ con proprietà:

• Riflessiva x ≤ x
• Antisimmetrica se x ≤ y e y ≥ x allora x = y
• Transitiva se x = y e y ≤ z allora x ≤ z

Proprietà di compatibilità, legano le relazioni d’ordine alle operazioni

Ne deduco che ℝ è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione

Minoranti e maggioranti

• ⊆ ℝ ∈ ℝ Dato l’insieme A diciamo che A è limitato inferiormente se esiste un numero α tale che α ≤ x dove ∈x A.

• α è detto minorante (minore o uguale a uno dei numeri) di A, se esiste un minorante vuol dire che ne esistono infiniti minori di esso.

Il minorante più grande è detto estremo inferiore inf(A)∈ se inf(A)∈ A è anche minimodell’insieme A min(A)

• ⊆ ℝ ∈ ℝ Dato l’insieme A diciamo che A è limitato superiormente se esiste un numero β tale che β ≥ x∈ dove x A.

• β è detto maggiorante (maggiore o uguale a uno dei numeri) di A, se esiste un maggiorante vuol dire che ne esistono infiniti maggiori di esso.

Il maggiorante più piccolo è detto estremo superiore sup(A)∈ se sup(A)∈ A è anche massimodell’insieme A max(A)

Esempio: Insieme A = {1/n | n = 1,2,3, …} {1, 1/2, 1/3, 1/4, …} = fa parte dell’insieme

• Minoranti α: 0, -3/2, -50 … A è limitato inferiormente A è limitato sia superiormente che inferiormente
• Maggioranti β: 1, 2, 3, 100 … A è limitato superiormente

Sup(A) = 1 1 A, dunque è max(A) Inf(A) = 0 0 A

Intervalli

Dati due punti a e b con a < b.

Definisco:

Intervalli limitati

• Aperto (a, b) = {x | a < x < b}
• Chiuso [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
• Aperto a sinistra (a, b] = {x | a < x ≤ b}
• Aperto a destra [a, b) = {x | a ≤ x < b}

Intervalli illimitati (no minoranti o maggioranti)

• Aperto, illimitato superiormente (a, + ∞) = {x | x > a}
• Chiuso, illimitato superiormente [a, +∞) = {x ∈ | x ≥ a}
• Aperto, illimitato inferiormente (-∞, b) = {x | x < b}
• Chiuso, illimitato inferiormente (-∞, b] = {x | x ≤ b}

I numeri a, b sono chiamati estremi dell’intervallo. La lunghezza di un intervallo limitato b-a (se l’intervallo è illimitato la lunghezza è infinita). [1,4) lunghezza: 4-1=3 (estremo superiore - estremo inferiore).

Utilizzo gli intervalli per definire l’intorno ∈ ℝ. Dato x e r>0, l’intorno del punto x con raggio r I(x) = (x-r, x + r) Intervallo aperto con centro xr ⊆ ℝ

Si consideri l’insieme A limitato. È limitato sia inferiormente che superiormente (trovo minoranti e maggioranti) esiste un intorno dell’origine che lo contiene.

Definizione dei punti

Si ha l’insieme A

• ∈ ℝ ∈ x è un punto interno di A se esiste un intorno I(x) che contiene solo punti di A (x A)
• ∈ ℝ ∉ x è un punto esterno di A se esiste un intorno I(x) che non contiene alcun punto di A (x A)
• ∈ ℝ ∈ x è un punto di frontiera di A se ogni intorno I(x) contiene sia punti di A (x A) sia punti non in A (x∉ A)

I punti di frontiera possono appartenere o non appartenere ad A

Esempio: A = (a, b] a A bA= {punti in rosso} i punti in rosso sono tutti punti di frontiera

• ⊆ ℝ ∈ ℝ A diciamo che x è un punto di accumulazione di A se ogni intorno I(x) contiene almeno un numero a A diverso da x (a ≠ x). Un punto di accumulazione non necessariamente appartiene ad A. Se un punto non appartiene ad A è detto isolato

A = (a, b] intervallo. Quali sono i punti di accumulazione? Sono i punti interni e gli estremi

Teorema (Bolzano – Weierstrass)

⊆ ℝ Un insieme A infinito (=contiene infiniti punti) e limitato sia superiormente che inferiormente esiste almeno un punto di accumulazione.

Esempio: A= {1/n | n=1,2,3, …} A contiene infiniti punti A è limitato (esiste un intorno dell’origine che contiene tutti i punti di A, basta scegliere r>1). I punti di A sono tutti punti di frontiera. L’origine è l’unico punto di accumulazione (x=0) alla sua destra troviamo sempre punti vicini

Esempio: ⋃A = [0,2) {2 + 1/n | n= 1,2,3, …} Punti interni? Sono i punti in viola (0,2). Punti di accumulazione? Sono i punti verdi [0,2]. Punti di frontiera? Sono i punti azzurri {0,2,2 + 1/n}

Valore assoluto

∈ ℝ Il valore assoluto |x| di un numero x è definito come |x|= x se x>0, 0 se x=0, -x se x<0

Esempio: |7| = 7, |-2| = -(-2) = 2

∈ ℝ Dato a con a > 0

• |x|= 0 se x = 0
• |x-3|= 0 se x-3 = 0 quindi x = 3
• |x|= a se x=a oppure x =-a

Esempi: |x| ≤ 3, |x| ≥ a quindi x ≤ -a oppure x ≥ a

Proprietà del valore assoluto

• Disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| |x*y|≤|x| * |y|

Distanza tra due punti

∈ ℝ La distanza tra x, y d(x , y) = |x-y|. In particolare d(x,0) = |x|. Esempio |1-5| = |-4| = 4

• d(x, y) ≥ 0
• d(x, y) = 0 se x=y
• d(x, y) = d(y, x)
• d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y)

Funzioni con una variabile reale

⊆ ℝ ℝ Dato un insieme A una funzione f da A in è indicata

⊆ ℝ ℝ f: A ----> ∈ ℝ x∈ A ----> f(x) = y

A è il dominio di f (oppure detto D) f(x) immagine di x=A (deve essere contenuto nella f. iniziale) f(A) insieme immagine che contiene tutte le immagini La funzione f associa un unico valore f(x) ad ogni punto del dominio y = f(x)

La funzione f è detta iniettiva se x ≠ x vengono trasformati in punti diversi se prendiamo due punti f(x) = x = x NON INIETTIVA

Esempio: f. iniettiva ℝ f(x) = 2x+1. f: ℝ ---> x ----> 2x+1 f(1) = 3 f(4) = 2*4 + 1 = 9

f(x) = f(x ) 1 12x +1 = 2x +1 2x = 2x 1x = x

Esempio: f. non iniettiva 2f(x) = x f(2) = 4 = f(-2) 2√f(x ) = f(x ) x = ±1 2 1 f(x ) = f(x ) x = x x = ± x1 2 1 2 1 2 -1

⊆ ℝ ℝ Data una funzione f: A ---> iniettiva, la funzione f è la sua inversa -1

⊆ ℝ ℝ f : f(A) ---> definita come -1 f (y) = x dove y=f(x)

Esempio: f(x) = 2x-1 è iniettiva? Qual è la funzione inversa? f(x ) = f(x ) 2x -1 = 2x -1 2x = 2x x = x INIETTIVA! 1 2 1 2 1 2 1 2 f(x) = 2x -1 = y -12x -1 = y 2x = y +1 x= y+ ½ f (y) = (y+1)/2 (9+1) ÷ 2(1+1) ÷ 2

Funzioni composte

⊆ ℝ ℝ ⊆ ℝ ℝ Si ha f: A ---> e g : B ----> tali che l’insieme immagine di f, ossia f(A) sia contenuto nel dominio ⊆ ℝ ℝ di g, ossia B. La funzione composta è la g f : f: A --->

o () = (()) composto

Condizione: l’insieme immagine della prima deve stare all’interno della seconda che applico

Esempio: () = √ = [0, +∞) () = [0, +∞) immagine () = + 1 = ℝ () = ℝ

Posso formare 4 composti:

• () () ⊆ [0, +∞) ⊂ ℝ () = ()) = (√) = √ + 1
• () () ⊆ [0, +∞) [0, +∞) 14√√ () = ()) = (√) = = = √ ( 4
• () () ⊆ ℝ ⊆ ℝ () = (()) = ( + 1) = ( + 1) + 1 = + 2
• () () ⊆ 1ℝ C [0, +∞) NON si può fare almeno che non prenda solo i punti B [- 1, +∞)

Grafico di una funzione

⊆ ℝ ℝ f: A ---> 2ℝ è un sottoinsieme di 2 ∈ ℝ ∈ G = {(x, y) | x a, y= f(x)} f f(x) x A f(x) = f(-x) f. pari f(x) = - f(-x) dispari ⊆ ℝ ℝ f: A ---> espressione analitica f(x) = … Dominio? dominio naturale ℝ Dominio naturale insieme dei punti di per i quali f(x) è definita come valore reale.

Controllo: ()

• Quozienti f(x) = B(x) ≠ 0 ()
• Radici di indice pari f(x) = A(x) ≥ 0 √()
• Logaritmi f(x) = In A(x) A(x) > 0 ℝ Se non ci sono questi casi A =

Esempio: (2 −4 +3)=f() √+1 +1 ≠0+ 1 ≠ 0√ x+1>0{ { {x +1 ≥ 0 X +1 ≥ 0 2x − 4x + 3 > 0 2x − 4x + 3 > 0 2x − 4x + 3 > 0 2x -4x +3 = 0 x = 4± V41,2 2 Dominio = (-1, 1) U (3, +∞)

Funzioni elementari

Funzione polinomiale ∈ ℕ* ⊆ ℝ ℝ Un polinomio di grado n è una funzione p: A --->

n n-1 p(x) = a x + a x + … + a x + an n -1 1 0

∈ ℝ con a , a , … a a ≠ 0 detti coefficienti del polinomio 0 1 n n

∈ ℝ I numeri reali x tali che p(x) = 0 sono dette radici del polinomio.

Esempio: 3 2 p(x) = 5x – 3x +7 a = 5 a = -3 a = 0 a = 7 coefficienti del polinomio3 2 1 02

∉ ℕ f(x) = x + 1/(x -3) NON è un polinomio perché 1/x 23 + ∉ ℕ √ f(x) = 5x - NON è un polinomio perché √x

Teorema fondamentale dell’algebra

∈ ℕ* Si dice che un polinomio p di grado n dove n possiede al più n radici reali distinte. (es polinomio di grado 5 trovo 5 radici).

∈ ℝ Se x è una delle radici del polinomio p, allora 0() polinomio di grado (n-1)(− )0 Utilizzo il metodo di Ruffini per trovare le radici

Funzione razionale ()f(x) = dove p e q sono polinomi di grado n e m rispettivamente () ℝ ∈ ℝ | Dominio A = escluso B, B è l’insieme delle radici di q B= {x q(x) = 0}

√ ∈ ℕ* ( √ ) Considerando con x > 0 n è l’unico numero reale positivo tale che = x ∈ ℕ* Per x > 0 e n, m

• x = 1 e = 11
• x = xn
• x = x*x*x…*x (N volte)-14
• x = 1/x-n X
• x = 1/n1/m m
• x = √x1 1− =
• √ = √
• 1− =
• √