Appunti quaderno di Fondamenti di controlli

Name: Appunti quaderno di Fondamenti di controlli
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Author: nicco2303

Revisionato il 27/06/2026

di nicco2303

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Appunti di fondamenti di controlli automatici basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Martinelli dell’università degli Studi Tor Vergata - Uniroma2, …

Esame fondamenti di controlli automatici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Martinelli Francesco

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2021-2022

62 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Rappresentazione ISU

ẋ = Ax + Buy = Cx + Dux(0) = x₀

x ∈ ℜ^m, y ∈ ℜ^q, u ∈ ℜ^p

A: matrice dinamica

B: matrice d'ingresso

C: matrice di uscita

D: legame diretto ingresso-uscita

Rappresentazione IVU

Σ a_j y^(j)(t) + Σ a_j y^(j)(t) ... + a_m₁ y^(m-1)(t) y^(m)(t) = Σ b_j u^(j)(t) + ... + b_m u^(m)(t)

y^(λ)(0) = y⁽⁰⁾λ = 0, 1, ... m-1

y^(λ)(t) derivata di ordine i dell'uscita

u⁽ⁱ⁾(k) = derivata di ordine j dell'ingresso

Condizione di causalità: n ≥ mu

P_a(s) = a₀ s^q+a₁ s^m-1 + ... + a_m s^m

P_b(s) = b₀ + b₁ s + b₂ s² + ... + b_m s^m

Polinomi primi tra loro

Sia ̃ la dimensione dello stato in I-S-U e mu l'ordine massimo della derivata dell'uscita in I-VU

Se m = ̃ il sistema è tutto raggiungibile ed osservabile
Se m ̃ il sistema non è tutto raggiungibile e/o osservabile

ℜⁿ = X_a ⊕ X_b ⊕ X_c ⊕ X_d

X_a = sottospazio raggiungibile ed osservabile
X_b = sottospazio raggiungibile non osservabile
X_c = sottospazio non raggiungibile e osservabile
X_d = sottospazio non raggiungibile non osservabile

Le variabili di stato contengono tutta l'informazione necessaria per poter prevedere l'evoluzione libera del sistema

Per circuiti elettrici: tensioni ai capi dei condensatori e le correnti che percorrono gli induttori
Per un sistema meccanico: per ogni massa si n variabili di posizione e una variabile di velocità in base al caso m-dimensionale
Nei sistemi termici: una variabile di stato e la temperatura di ogni ambiente

Rappresentazione ISU

ẋ = Ax + Buy = Cx + Dux(0) = x₀

x ∈ ℝⁿ, y ∈ ℝ^q, u ∈ ℝ^p

A: matrice dinamica

B: matrice d'ingresso

C: matrice di uscita

D: legame diretto ingresso-uscita

Rappresentazione IU

a₀y(t) + a₁ẏ(t) + a₂ÿ(t) + ... + a_m₁y^(m₁)(t) = b₀u(t) + b₁u̇(t) + ... + b_mu^(m)(t)

(y^(λ) (0) = y^(λ)₀, λ = 0, 1, ... M-1)

y^(λ) (t) derivata di ordine λ dell'uscita

u^(j) (t) = derivata di ordine j dell'ingresso

Condizione di causalità: n ≥ mu

P_a(s) = a₀ + a₁s + a₂s² + ... + a_m₁s^m₁

P_b(s) = b₀ + b₁s + b₂s² + ... + b_ms^m

Polinomi primi tra loro

Sia m̅ la dimensione dello stato in I-S-U e mυ l'ordine massimo della derivata dell'uscita in I-U

Se m̅ = mυ il sistema è tutto raggiungibile ed osservabile

ℝ^m̅ = X_a ⊕ X_b ⊕ X_c ⊕ X_d

X_a = sottospazio raggiungibile ed osservabile
X_b = sottospazio raggiungibile non osservabile
X_c = sottospazio non raggiungibile e osservabile
X_d = sottospazio non raggiungibile non osservabile

Le variabili di stato contengono tutta l'informazione necessaria per poter prevedere l'evoluzione libera del sistema

Per circuiti elettrici: tensioni ai capi dei condensatori e le correnti che percorrono gli induttori
Per un sistema meccanico: per ogni massa si n variabili di posizione e una variabile di velocità in base al caso m-dimensionale
Nei sistemi termici: una variabile di stato è la temperatura di ogni ambiente

Risposta esplicita nel tempo per ISV

̇x = Ax + Bu

y = Cx + Du

x(0) = x₀

Sia A una matrice quadrata m×m, la matrice esponenziale è:

ℓ ∈ ℝ

e^-_LAt e

⁰ = I

χ(t) = e^Atx₀ + ∫₀^t e^A(t-_L) Bυ(_L)d_L (4.6)

x_e(t) = e^Atx₀ → risposta libera nello stato, dipende solo dalle condizioni in x₀

x_f(t) = ∫₀^t e^A(t-_L) Bυ(_L)d

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