Appunti quaderno di Fondamenti di controlli

Rappresentazione ISU

x˙ = Ax + Buy = Cx + Dux(0) = x₀.x ∈ ℝⁿ y ∈ ℝ^p u ∈ ℝ^m

• A: matrice dinamica
• B: matrice d'ingresso
• C: matrice di uscita
• D: legame diretto ingresso-uscita

A ∈ ℝ^n×nB ∈ ℝ^n×mC ∈ ℝ^p×nD ∈ ℝ^p×m

Rappresentazione IU

y(a)_i (t) + a₂ⁱ (t) + … + a_m,1 g(i-m_x) (yⁱ) = b₀ U ⁱ (t) + … + b_m U^(i-k) (t)

y(i) (0) = y⁰

y^(a)(t) derivata d'ordine j dell'uscitaU^(b)(k) = derivata d'ordine j dell'ingresso

Condizione di causalità: n ≥ mP_a(s) = a₀ + a₁s + a₂s² + … + a_m-1s^mP_b(s) = b₀ + b₁s + b₂s² + … + b_ms^m

1. Sia n la dimensione dello stato in IS-U e m l'ordine massimo della derivata dell'uscita in I-U
2. Se m = m il sistema è tutto raggiungibile ed osservabile
3. Se m ≠ m il sistema non è tutto raggiungibile e/o osservabile

Rⁿ = X_a ⊕ X_b ⊕ X_c ⊕ X_d

• X_a = sottospazio raggiungibile ed osservabile
• X_b = sottospazio raggiungibile non osservabile
• X_c = sottospazio non raggiungibile e osservabile
• X_d = sottospazio non raggiungibile non osservabile

Le variabili di stato contengono tutta l'informazione necessaria per poter prevedere l'evoluzione libera del sistema

• Per circuiti elettrici: tensioni ai capi dei condensatori e le correnti che percorrono gli induttori
• Per un sistema meccanico: per ogni massa si n variabili di posizione e una variabile di velocità in base al caso m-dimensionale
• Nei sistemi termici: una variabile di stato alla temperatura di ogni ambiente

Risposta Esplicita nel Tempo per ISU

\( \dot{x} = Ax + Bu \) \( y = Cx + Du \) \( x(0) = x_0 \)

Sia \( A \) una matrice quadrata \( m \times m \), la matrice esponenziale è:

\( e^{A \theta} = \begin{bmatrix} e^{a_1 \theta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{a_2 \theta} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{a_m \theta} \end{bmatrix} \) \( \theta \in \mathbb{R} \) \(\ \theta = 0 \Rightarrow e^{A \cdot 0} = I \) (la matrice identità)\( A^0 = I \)

\( x(t) = e^{At} x_0 + \int_0^t e^{A(t-\gamma)} B u(\gamma) d\gamma \) (4.4)

\( x_e(t) = e^{At} x_0 \) - Risposta libera nello stato, dipende solo dalle condi: i iniz \( x_0 \)

\( x_f(t) = \int_0^t e^{A(t-\gamma)} B u(\gamma) d\gamma \) - Risposta forzata nello stato, dipende solo dall'ingresso \( u \)

\( e^{A(t_1 + t_2)} = e^{At_1} e^{At_2} \) - Prodotto di matrici esponenziali

\((e^{At})^{-1} = e^{-At}\) - Inversa di matrice esponenziale

\( \Phi(t) = e^{At} \) (4.5) - Matrice di transizione dello stato, \( m \times m \)\( H(t) = e^{At} B \) (4.6) - Matrice delle risposte impulsive nello stato, \( m \times 1 \)

\( x(t) = \Phi(t) x_0 + \int_0^t H(t-\gamma) u(\gamma) d\gamma \) (4.7)

\( S_{0_e}(t) = \begin{cases} 1 & \text{se } t \in [0,\epsilon] \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \)\( \int_a^b f(t) S_{0_c}(t) = f(0) \)

\( S_{e} \) - Delta di Dirac

\( x_{sf}(t) = \int_0^t H(t-\gamma) \delta_0(\gamma) d\gamma = H(t) \)

Risposta Esplicita dell'Uscita:

\( y(t) = C e^{At} x_0 + \int_0^t e^{A(t-\gamma)} B u(\gamma) d\gamma + D u(t) \) (4.10)

DA I-U A ISU

ẋ = Ax + Bu

y = Cx + Du

W = b₀ + b₁s + ... + bₘsᵐ \ POLINOMI PRIMI TRA LORO

A =

• [0, 0, 0, 0]
• [1, 0, 0, 0]
• [0, 1, 0, 0]
• [0, 0, 1, 0]
• [-a₀, -a₁, -a₂, -aₙ₋₂, -aₙ₋₁]

B =

• [0]
• [0]
• [...]
• [1]

m _< M

C =

• [b₀, b₁, b₂, ... bₘ, 0 ... 0]

m-M-1 zeri

D = 0

m = M

C =

• [b₀-a₀bₘ, b₁-a₁bₘ, b₂-a₂bₘ, ..., bₙ₋₁-aₙ₋₁bₘ]

D = bₙ

ẋ₁ = x₂(t) -> A₁.x + B₁.U(t)

ẋ₂ = x₃(t) -> A₂.x + B₂.U(t)

...

ẋₘ = -a₀x₁(t) - a₁x₂(t) - ... - aₘ₋₁xₘ(t) + U(t) (6.27)

DA CUI RICAVO:

L[ẋ₁] = L[x₂(t)] ⇒ sX₁ = X₂(s)

L[ẋ₂] = L[x₃(t)] ⇒ sX₂ = X₃(s)

...

X₁(s) = s⁻ⁱ X₁(s) (6.31)

SOSTITUENDO IN 6.27 RICAVO

SⁿX₁(s) = -a₀X₁(s) - a₁sX₁(s) - ... - aₙ₋₁sⁿ⁻¹X₁(s) + U(s)

X₁(s) = ¹ _{(a₀+a₁s+...+aₘ sⁿ⁻¹+sᵐ)} U(s) (6.37)

Y = CX + DU ⇒ Y(s) = b₀ X₁(s) + b₁ X₂(s) + ... + bₘ Xₘ₊₁(s)

CRITERIO DI ROUTH

Si consideri il polinomio di grado n: a₀ + a₁s + a₂s² + ... aₘsᵐ = p(s)

Con aₘ > 0 (se aₘ < 0 basta moltiplicare p(s) per -1)

Se l' anche uno solo aᵢ < 0 allora P(s) NON ha tutte le radici a parte reale negativa; se aᵢ > 0 (strettamente) v.a. si procede costruendo la seguente tabella

• bₙ-2
• bₙ-4
• bₙ-6
• cₘ-3
• cₘ-5
• ...

bₙ-2 = -₁/^aₙ-1 det [ aₘ aₙ-2 ]

[ aₙ-1 aₙ-3 ]

bₙ-4 = -₁/^aₙ-1 det [ aₘ aₙ-4 ]

[ aₙ-2 aₙ-5 ]

bₙ-6 = -₁/^aₙ-1 det [ aₘ aₙ-6 ]

[ aₙ-2 aₙ-7 ]

cₘ-3 = -₁/^bₙ-2 det [ aₙ-1 aₙ-5 ]

[ bₙ-2 bₙ-3 ]

cₘ-5 = -₁/^bₙ-2 det [ aₙ-1 aₙ-5 ]

[ bₙ-2 bₙ-6 ]

La tabella termina dopo un numero finito di righe

Un polinomio ha TUTTE le radici a parte reale NEGATIVA se il primo elemento di tutte le righe è positivo (quindi nella costruzione della tabella ci si ferma non appena si trova una riga con 1° elemento ≤ 0)

Es:

p(s) = 6s⁴ + 3s³ + 5s² + 2s + 1

aᵢ > 0 ∀ i ⇒ costruisco tabella

• a 5 1

• bₙ-2 = -₁/³ det [ a 5 ] = 7/3

• [ 3 2 ]

• 7/3 1

• bₙ-4 = -₁/¹ det [ 9 7 ] = 1

• [ 3 0 ]

• 7/3 2

• cₘ-3 = -₁/^7/3 det [ 3 2 ] = 5/7

• [ 7/3 1 ]

• 1

• dₘ-4 = -₁/¹ det [ 7/3 0 ] = 1

• [ 7 0 ]

Tutti gli elementi della 1ᵃ colonna sono positivi ⇒ le soluzioni di p(s) = 0 sono TUTTE a parte reale negativa

y₄(t) = sen (20 t + 5) S_-1(t)

y₆(t) = [ sen(10 t) cos(5) + cos(10 t) sen(5) ] δ_-1(t)

Y₆(s) = ¹⁰/_s²+100 cos(5) + ^s/_s²+100 sen(5)

y₇(t) = t cos(2πt) δ_-1(t)

ℒ [ cos (2πt) ] = ^s/_s²+4π²

^d/_ds [^s/_s²+4π²] = ^{s2+4π2-s (1 2s)}/_{(s²+4π²)²} = ^s2-4π2/_{(s²+4π²)²}

Y₇(s) = - (^s2-4π2/_(s²+4π²)) = ^s2-4π2/_{(s²+4π²)²}

y₈(t) = t e^-t sen(3t) S₁(t)

ℒ [ sen(3t) S₁(t) ] = ³/_s²+9

ℒ e^-t sen(3t) S₁(t) = ³/_(s+1)²+9

Y₈(s) = ^d/_ds [ ³/_(s+1)²+9 ] = ^3(2s+1)/_{((s+1)²+9)²} = ^6s+6/_{(s²+6s+10)²}

y₂₀(t) = x^2t δ_-1(t-1)

ℒ (y_(t)) = ∫₀^∞ e^-st y(t) dt = ∫₀^∞ e^-st ⋅ e^st δ_-1(t-1) dt = ∫₀^∞ e^-st e^t dt =

∫₀^l e^(t-3) dt = ^e(t-3)/_3-5 |₀¹ = ^e(3-5)/_s-3

F₂(s) = ^s+1/_4s²+4π² = 1 / 4 ^s+1/_s²(1)² = 1 / 4 (s+1) / ((s+1)²)

F2(s) = ^α_1,2/_s-3π/2 + ^α_1,2/_s+3π/2

α_1,2 = lim_{s→3 π/2} (^s-s[π]/_{(s-3π/2)(s+3π/2)}) = 1 / 8 + ¹/_5π = ¹/₈ - 5 / 4π

p₁: 3 π/2 m₁ = 1

p₂: -3 π/2 m₂ = 1

α_d = α₁ 3 w = α 6, ω = π/2

α_d = a - 5b ↔ a = 5⁄4, b = ^-1/_4π

f₁(t) = 2 e^t [ ¹/₈ cos(π⁄2 t) + ¹/_4π sen(π⁄2 t) ] S_-1(t) = [ ¹/₄ cos(π⁄2 t) + ¹/_2π sen(π⁄2 t) ] δ_-1(t)