Appunti Fondamenti di controlli

FONDAMENTI DI CONTROLLI

INTRODUZIONE CONTROLLO

• CONTROLLO: INSIEME DI AZIONI INDIRIZZATE A FAR ASSUMERE A UN CERTO SISTEMA UN COMPORTAMENTO DESIDERATO
• SISTEMA DINAMICO: CHE Evolve NEL TEMPO E CHE CI x PERMETTA ABBIA UN COMPORTAMENTO DESIDERATO

x^°(t)

-> SYST. DINAMICO

y(t)

x(t)

• (INFOR Dé PRO SEÉOREE ST.ATTUATONE DELSISTEMA)
• y(t) VARIABBILI DI USCTTA (yo(t) ∊ R^p)
• u(t) VARIABBILI D'INGRESSO (u(t) ∊ R^r) (VARIABILI IPOTETL DAL ControlLISTA)
• d(t) VARIABBILI DI DISTURBO (d(t) ∊ R^q)

x(t)

GLI OBBIETTIVI DEL CONTROLLO SONO

LA STABILITA DEL SISTEMA (VARIABI LI DATTO LIMITATI PER OGNI t)

L’INSEGUIMENTO DA PARTE DI y(t) DI UN SEGNALE DESIDERATOCON UNA DETERMINATA PRECISIONE A REGME * E _* IN DERMINATO COMPORTAMENTO TRANSITORIO.

IN QUESTO CORSO SI ESTCHE BROLA UM SOLO SISTEMI LINEAR e STAZIONARI

IN GENERALE LL EENE FUNZIONE CHE CARATTERIZZA L'ENOULZIONE DIMUCCA DIUN SISTEMA PILESSERE SERTRO AL SEGUENTE MOTO:

{{i Ę XK(t), H[u(t) ON)]

(o(t) = v} [x(t)], u(t) 2 ]

x(o) = Xo

• DOVE -xo_o (VALU iniziale DEL VETTORE DIISSTRO x^O )
• L i sono FUNZIONI (LINEAR)

SCELTA VARIABILI DI STATO

Una o pi^ù variabili sono associate ad accumuli di energia.

• SISTEMA MECCANICO
  • Per sistemi monodimensionali una variabile di posizione (s) per ogni oggetto e una velocità (v) per ogni oggetto.
  • Per sistemi n-dimensionalei avremo m posizioni e m velocità.
• SISTEMA TERMICO
  • Le variabili di stato sono le temperature (una per ambiente).
• CIRCUITI ELETTRICI
  • Le variabili di stato sono una tensione per ogni condensatore.
  • Una corrente per ogni induttore.

ESEMPI SISTEMI LINEARI

1. • x₁ = x₁ + x₃ + u
   • x₂ = -x₂
   • x₃ = x₁ + x₂

   NON è lineare (compare il termine x₁x₃)

2. • x₁ = -x₁ + x₂ + z
   • x₂ = x_n - u
   • x₃ = x₃ + u

   NON è lineare (compare il termine z₂)

3. • x₁ = x₁ + u
   • x₂ = 3x₃ - u
   • x₃ = x₂ + x₃
   • y = x₂ + x₃

   è lineare (sono tutte combinazioni lineari)

A =

• 1 0 0
• 0 3 0
• 0 0 1

B =

• 1
• -1
• 0

C = [1 0 -1] D = 0

RAGGIUNGIBILITÀ E OSSERVABILITÀ

• Un sistema è completamente raggiungibile se è possibile ottenere qualsiasi valore in x₁...
• Un sistema è completamente osservabile se tramite y è possibile calcolare i valori delle x.

Lo spazio può essere suddiviso in quattro sottospazi:

1. Σ_o1 → raggiungibile (R) e osservabile (H)
2. Σ_b1 → raggiungibile (U) e non osservabile
3. Σ_o2 → osservabile (S) e non raggiungibile
4. Σ_o0 → né osservabile né raggiungibile

Sottospazi hanno intersezione nulla

Teorema del Valore Finale

Sia F(s) la trasformata di Laplace di f(t), se r(t) e f(t) presentanoascisse di convergenza negative e esiste illim_t→∞ f(t); allora:

lim_t→∞ f(t) = lim_s→0 sF(s)

Risposta nel dominio della trasformata a partire da ISU

{ ẋ = Ax + Buy = Cx + Dux(0) = x₀ }

Per la proprieta' della trasformata della derivata:

L{ẋ} = sX(s) - x₀

dove X(s) = L{x(t)}

Per la linearita':

L{ẋ} = L{Ax + Bu} = AX(s) + BU(s) = sX(s) - x₀

X(s) = (sI - A)^-1 x₀ + (sI - A)^-1 BU(s)

Y(s) = C(sI - A)^-1 x₀ + [C(sI - A)^-1B + D]U(s)

La funzione che lega in s la trasformata dell'ingressoalla trasformata dell'uscita e':

W(s) = C(sI - A)^-1B + D

Funzione di Trasferimento