Appunti Fondamenti di controlli

Fondamenti di controlli

Introduzione al controllo

Controllo = insieme di azioni indirizzate a far assumere a un certo sistema un comportamento desiderato.

Sistema dinamico = entità che evolve nel tempo e che ci si aspetta abbia un comportamento desiderato.

u(t) Sist. Dinamico y(t) d(t) x(t)

• x(t): variabili di stato (info per riconoscere istantanee attuale del sistema)
• y(t): variabili di uscita
• u(t): variabili di ingresso (variabili impostate dal controllo)
• d(t): variabili di disturbo

Gli obiettivi del controllo sono:

• La stabilità del sistema (variabili di stato limitate per ogni t)
• L'inseguimento da parte di y(t) di un segnale desiderato con una determinata precisione a regime e un determinato comportamento transitorio

In questo corso si esamineranno solo sistemi lineari e stazionari.

In generale l'equazione funzione che caratterizza l'evoluzione dinamica di un sistema può essere scritta nel seguente modo:

• \(\dot{x} = f(x(t), u(t))\)
• \(y(t) = h(x(t), u(t))\)
• \(x(a) = x_0\)
• Dove \(x_0\) è il valore iniziale del vettore di stato \(x(t)\)
• \(f\) e \(h\) sono funzioni lineari

Esempio: carrello

• V₀ = 0
• S₀ = 0
• t₀ = 0
• _- m¨ S^- F 2T
• _- Se abbiamo m=1Kg, V₀ = 0, F=1N, ... si arriverà in S_R al tempo designato
• Si può manovrare dal risultato voluto modificando i parametri (catena aperta non precisissima)

Controllo in catena chiusa

Legge di controllo che tiene conto dell'osservazione continua di posizione e velocità del carrello:

U(t) = ─K (S_R(t) - S_R) ─ bS_¬

• Proporzionale derivativa: risolve la funzione di richiamare ora una molla a dorso verso la posizione designata
• Agisce sul moto del carrello come un attrito che attenua le oscillazioni

Condizioni nominali

1. (K=b=0.5, b) 1
2. (K=0.7 b, b) 2
3. (K=1.5, b=2.5) 3...

Rappresentazione sistemi lineari e stazionari

1) Rappresentazione (ing. stato-uscita)

• x' = Ax + Bu
• y = Cx + Du
• x(0) = x₀
• A, B, C, D sono matrici costanti nel tempo.
• A ∈ R^nxm matrice dinamica → (es. 2x2)
• B ∈ R^nx1 matrice di ingresso → (es. 2x1)
• C ∈ R^mxm matrice di uscita → (es. 1x2)
• D ∈ R legame diretto ingresso-uscita

2) Rappresentazione (ing-uscita)

a_ny⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^(n-1) + a₂y⁽²⁾ + ... + a₁y⁽¹⁾ + y = b₀u^(m) + b₁u^(m-1) + ... + b_mu⁽⁰⁾

• y(0) = y₀
• y'(0) = y₁

● Linearità → solo combinazioni lineari di y e u

● Stazionarietà → coefficienti costanti nel tempo

Per il principio di causalità m ≥ n.

Ordine derivata max di y → ordine derivata max di u*

Se così non fosse significherebbe che l'uscita a tempo 't' dipenderebbe da valori di ingresso futuri!

Linearità del sistema

Principio di sovrapposizione degli effetti

Sappiamo che se metto degli ingressi:

• U_a → {x_a(t) = Ax_a + BU_a, y_a(t) = Cx_a + DU_a}
• U_b → {x_b(t) = Ax_b + BU_b, y_b(t) = Cx_b + DU_b}

Cosa succede se applico αU_a(t) e βU_b(t)?

x(t) = αx_a