Appunti Propulsione aerospaziale

Richiami di aerodinamica compressibile

1 Ottobre 2020

FLUIDI E GAS IDEALI

Per rappresentare le fasi di una sostanza si usa il diagramma di fase, il gas ideale vale per alte temperature e alte pressioni.

LEGGE DI GAS IDEALE

V/n = RT/P

Deriva dalla legge di Boyle

• V α 1/P (T, n)
• V α T (P, n)
• V α n (T, P)

con m = n * M_w

Posso scrivere che PV = nRT = m * R / M_w * T quindi dividendo per V

P = ϱRT

Si definisce Z = P / ϱRT FATTORE DI COMPRIMIBILITÀ misura il discostamento da 1

• gas caloricamente perfetto: C_p, C_v costanti
• gas termodinamicamente perfetto: C_p, C_v funzione di T
• gas reale: C_p, C_v (T, P) per cui PV = ZNRT

Definisco il processo isentropico

ds = 0

quindi

dp = x de

Integrale: ln p = x ln e + c = ln c e^x

=> p α e^x (oppure p α T^{x - 1})

quindi pV^γ = cost

I processi isentermi del piano p-V li descrivono con

pV = cost.T

perchè

P / e = cost. = RT

I processi isobari si esprimono con dp = 0:

ds = Cp de / e - Cp de / e = (Cp / ρ) RT α (P / RT)

= Cp dT / T

=> dT / ds = T / Cp

divergo nel piano (T,s)

IMPORTANTE PER I CICLI TURBOGAS

VELOCITÀ DEL SUONO

Considero un'onda di compressione (processo isentropico) nel SDR del fluido e dell'onda

(sol=coppia)

pt + dp / e + de u = 0

et + de / a - dv

Considero un VC intorno all'onda e esprimo la conservazione della massa:

ṁ = e a = (e + de)(a - dv)

= e a - e dv + ade => ade = edv

TERMODINAMICA

Cons. energy

d[e_uA(e_t + p_e + u²₂)] = d + tdQ + td

total enthalpy, h₀ = h + u²₂ = CpT₀

=> d(e_uAh0) = d + d

If we introduce ^d₀ = d + d = d [J/kg]

=> dh₀ = d + d

Dividing by h₀ = CpT₀ we have the following conservative eqs.

de + du = -dAuu

du + dp = -dF_T

eu²

dT₀ = d + d

T₀ CpT₀ CpT₀

Introducing some relations among the variables:

• ideal gas law p = eRT
• definition of sound velocity a = ^sqrtRT
• considering M = u
• a

du + dM + da = dM + 1 dT

u M a M 2 T

dT₀ = dT + 2M² dM

T₀ 4+M² M

UCELL (Nozzles)

Conservation of mass, momentum and energy.No friction, no heat or work added, no mass variation dm = 0:

_{d(euA) = 0 eudh + dp = 0 dH = 0} → H = ht + ¹/₂u²

Effects of geometry:

From _{d(euA) = 0} → _{^da/a + ^du/u + ^de/e = 0}

Cons. of momentum: _{du = -¹/eude} (increase of u → decrease of e)

Remembering _{a² = ^dp/de}:

— _{^de/e = ^de/ea²}

— _{^da/a - ^dp/p - ^du/u = - ^dp/ea² + ^dp/eu²} = -^dp/_ea² + M^2dp/_eu²

→ _{^da/a = ^dp/eu²(1-M²)} transition across M=1 happens only for da=0 → THROAT

For da≠0 we would have dp = ∞ impossible!

• dp < 0
• du > 0
• NOZZLE

• dp > 0
• du < 0
• DIFFUSER

• dp > 0
• du < 0
• DIFFUSER (compressor)

• dp < 0
• du > 0
• NOZZLE

Convergent - divergent nozzle

By considering the nozzle choked (_ṁ^o = _ṁ^*) we find two distinct solutions that are fully isentropic

_ṁ = _ṁ^*

^→ A_Po^γ-1 = ^→ A_t ^P_o^√RT0

• A(x) _{^{(1 - (}}P(x)P_o)^γ-1)]^γ−1

• Thus eq. has two isentropic solutions:
• P_m^* = P_o
• A(x) = A_e P(x) = P_b
• (P_e)_sup < P_a < (P_e)_sub no isentropic solution exists: a shock wave forms in the divergent section
• P_a = P_NS the shock is at the exit section

The pressure ratio P_e/P_o is a unique function of A_e/A_t in chocking cond., same for exit velocity:

u_e^{=√→_N[1−(P_eP_o)γ−1]}

A_e/A_t is to be considered the independent

Teorema del trasporto di Reynolds

Considero la superficie S resa fissa (quindi di controllo) e un volume spaziale (non materiale) in aura:

D/Dt ∫_v(ερ) dv = ∫_v ∂/∂t (ερ) dv + ∫_s (ερ) v̅ . n̅ ds

Poiché la derivata euleriana e quella lagrangiana differiscono per il flusso attraverso la superficie di controllo.

Poniamo il principio di conservazione della qdm come:

D/Dt ∫_v(t) (ερ̅) dv + ∫_s (ερ̅) v̅ . n̅ ds = ∫_s f_t ds + ∫_v ρg dv

∫_v ∂/∂t (ερ̅) dv + ∫_s (ερ̅) v̅ . n̅ ds = ∫_s f_t ds + ∫_v ρg dv

^{in stato stazionario} ₌₀

CF è esercitabile:

CF = _C/_C^* + _ve/_C^* + (_{Pe - Pa}/_Pc) _Ae/_At = - r _2γ/_γ-1 √ [ 1 - ( _pe/_Pc )^_γ-1 ] + (_Pa/_Pc) _Ae/_At

CF = f(_Ae/_At, P_a, P_c)

Integrando la spinta, si ottiene:

F_x = d(m_v)/dt = dP/dt con P = mu_v

-> I = ∫₀^t_b F dt = ∫₀^t_b dP = ΔP

I_sp = F/ṁ g_o

I = ṁ CF t

quindi: I_sp = _ṁCF/_goṁ = _C*CF/_go ⇒ I_sp = _C^*CF/_go

Si dovrà massimizzare C^* con l'innalzamento della temperatura ad alata di fiamma della camera di spinta. Più velocemente in esplosione i propellenti, più sfruttarlo efficacemente.