Appunti propedeutici per lo studio di funzione di Analisi 1 - solo teoria, no esercizi.

Grafici delle funzioni

Funzioni goniometriche

f(x)= sinx f(x)= cosx

f(x)= tgx f(x)=asinx

f(x)=acosx f(x)= atgx

1

Funzioni esponenziali e logaritmi

Esponenziali

Logaritmiche 2

Le trasformazioni geometriche

3

4

5

Le funzioni e le loro proprieta

: ⟶

Dati due insiemi, A e B, definiamo funzione, qualunque legge matematica che associ ad ogni

elemento dell’insieme A elemento dell’insieme B. L’insieme A viene chiamato

uno e un solo

dominio della funzione. l’insieme dei valori che ammettono un corrispondente

Data una funzione f si chiama dominio

attraverso la funzione.

: ⟶ sull’insieme di partenza e di arrivo.

: ↦ sull’elemento generico dell’insieme di partenza e di arrivo.

= () immagine di x e x è controimmagine di y.

di una funzione l’insieme delle immagini.

Definiamo codominio di un elemento dell’insieme di arrivo è il corrispondente dell’elemento

Definiamo controimmagine

dell’insieme di partenza.

Classificazione delle funzioni funzioni

goniometriche

funzioni

trascendenti logaritmi e

esponenziali

Funzioni funzioni radicali con x

irrazionali ad argomento

funzioni

algebriche polinomi

funzioni

razionali frazioni di

polinomi

In funzioni complesse, la trascendente ha la classificazione.

- La funzione viene definita algebrica se contiene solamente operazioni di addizione,

sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.

o Razionale:

 intera (o polinomiale): se è espressa mediante un polinomio di primo grado

(lineare) o di secondo grado (quadratica);

 fratta: se è espressa mediante quozienti di polinomi;

o Irrazionale: se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice.

- La funzione, se non è algebrica, viene detta trascendente.

Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive

Una funzione da A a B si dice: 6

o Iniettiva: se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B o se ogni

elemento di B proviene al più di un elemento di A.

: ⟶ ≠ ⇒ ( ) ≠ ( )

1 2 1 2

o Suriettiva: se ogni elemento B è immagine di un elemento di A.

: ⟶ ∀ ∈ ∃ ∈ : = ()

o Biiettiva/corrispondenza biunivoca: se la funzione è sia iniettiva che suriettiva.

Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni monotone

Una funzione si dice monotona quando o è sempre crescente oppure è sempre decrescente.

Analoga definizione può esser data per una funzione monotona in senso lato. 7

Le funzioni pari e le funzioni dispari

( ) ( )

= = (−)

Una funzione si dice pari in D se per qualunque x appartenente a D.

( ) (− )

= = −()

Una funzione si dice dispari in D se per qualunque x appartenente a D.

8

La funzione periodica ( )

∀ ∈ ∧ ∀ ∈ , = ( + )

Si dice che una funzione ha UN periodo T (con T>0) se

Se una funzione ha un periodo, allora ha infiniti periodi.

Il periodo è il minimo dei periodi.

Se f è periodica di periodo T, allora non è iniettiva perché x e x+kT hanno la stessa immagine.

Ci sono trasformazioni che modificano il periodo (es. dilatazioni).

attuare l’addizione e la sottrazione tra due funzioni periodiche, come ad esempio quelle

Per 2π

T =

trigonometriche, è sufficiente trovare il periodo che è , moltiplicarli tra loro e calcolare i

m.c.m. dei numeratori e risolvere il prodotto.

Es. sen(2x)+cos(3x)

2π 2π

∙ 3∙2π 2π 3∙2π

∙ = = 2π

; calcolo il m.c.m. del numeratore

2 3 3∙2 3 3

Per la moltiplicazione e la divisione il periodo non si può esprimere; può essere uguale o minore.

La modulazione dell’argomento della funzione non è periodica.

La funzione inversa

La funzione inversa non è altro che la funzione simmetrica rispetto y=x. 9



Non tutte le funzioni ammettono sempre una funzione inversa solo con funzioni monotone.

Una funzione è invertibile se iniettiva o se esiste un sottoinsieme I del suo dominio in cui f(x) risulta

iniettiva. In quest’ultimo caso si dice che la funzione è invertibile in I.

Le funzioni composte ( ))

: ⟶ e : → , ∘ o = (

Date due funzioni con indichiamo la funzione, detta

di A l’immagine mediante g

funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x

dell’immagine di x mediante f. La composizione delle funzioni non è commutativa.

-1

Se su compone la funzione f con la sua inversa f , si ottiene la funzione identità che associa a ogni

elemento di un insieme se stesso: −1 −1

( )) (())

( = = 10

Intervalli, estremi, insiemi ed intorni

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo limitato)

o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

{∀ }

I: ∈ ℝ: ≤ ≤ ; , ∈ ℝ ∈ R

Più precisamente definiamo gli intervalli limitati di estremi a e b, dove a, b e a <b

 ; ∈ R ≤ ≤

|

[ ] { } 

= intervallo chiuso;

 ; ∈ r < <

|

] [ { } 

= intervallo aperto;

 ; ∈ r ≤ <

|

[ [ { } 

= intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;

 ; ∈ r < ≤

|

] ] { } 

= intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.

∈

Gli intervalli illimitati sono determinati da un solo estremo a R. Anche per essi si distinguono

quattro casi:

 [; +∞[ { r| }

∈ ≥ 

= intervallo chiuso illimitato superiormente;

 ]; +∞[ { r| }

∈ > 

= intervallo aperto illimitato superiormente;

 ]; +∞] { r| }

∈ ≤ intervallo

= chiuso illimitato inferiormente;

 ]; +∞[ { r| }

∈ < 

= intervallo aperto illimitato inferiormente.

Insiemi limitati e illimitati

Un insieme A è detto:

 Superiormente limitato se esiste un numero reale k (maggiorante di A), che risulta essere

∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; ≤ .

maggiore o uguale di ogni elemento di A, cioè

 Inferiormente limitato se esiste un numero reale h (minorante di A), che risulta essere

∃ℎ ∈ ℝ: ∀ϵA; ≥ ℎ.

minore o uguale di ogni elemento di A, cioè

 ∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; || ≤ .

Limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente, cioè

 Illimitato superiormente se comunque si scelga un numero reale m esistono sempre

∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; > .

elementi di A che siano maggiori di m, cioè

 Illimitato inferiormente se comunque si scelga un numero reale m esistono sempre

∃ ∈ ℝ: ∀ϵA; < .

elementi di A che siano minori di m, cioè

 Illimitato se non è limitato né superiormente né inferiormente.

Gli estremi di un insieme

Estremo superiore di un insieme

Dato un insieme E superiormente limitato, si dice estremo superiore di E quel numero reale M, se

esiste, tale che:

≤ , ∀ ∈ E;

- ∀ > 0 ∈ E ( − ).

- è possibile trovare almeno un elemento maggiore di ∞.

Se un insieme è illimitato superiormente si dice che il suo estremo superiore è +

Estremo inferiore di un insieme

Dato un insieme E inferiormente limitato, si dice estremo inferiore di E quel numero reale L, se

esiste, tale che:

≥ , ∀ ∈ E;

- ∀ > 0 ∈ E ( + ).

- è possibile trovare almeno un elemento minore di ∞.

Se un insieme è illimitato inferiormente si dice che il suo estremo superiore è - 11

Proprietà degli estremi

 Unicità degli estremi superiore e inferiore:

L’estremo superiore e l’estremo inferiore di un insieme totalmente ordinato, se esistono, sono

unici;

 ℝ:

Completezza dell’insieme

Ogni sottoinsieme di numeri reali limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo

superiore (inferiore);

Gli intorni di un punto

Intorno completo

Dato un numero reale x si chiama intorno completo di x un qualunque intervallo aperto I(x )

o o o

contenente x :

o ( ) =] − ; + [

1 2

δ , δ

Con numeri reali positivi.

1 2

Intorno circolare δ, si δ

Dato un numero reale x e un numero reale positivo chiama intorno circolare di x , di raggio ,

o o

l’intervallo aperto δ:

I (x ) di centro x e raggio

δ o o ( )

=] − ; + [

Intorno destro e sinistro di un punto

Dato un intorno di un punto x se ne considera soltanto una parte:

o

+ ( )

=] ; + [



- Intorno destro

− ( )

=] − ; [



- Intorno sinistro

Intorni di infinito

, ∈ ℝ con < ,

Dati chiamiamo:



- Intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente

(−∞) {ℝ| }

=] − ∞; [ = <



- Intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente

(+∞) {ℝ| }

=]; +∞[ = >

 è l’unione tra l’intorno di

- Intorno di infinito -∞ e un intorno di +∞.

(∞) (+∞) (−∞) {ℝ| }

= ∪ = < ∨ >

 è l’unione tra l’intorno di

- Intorno circolare di infinito -∞ e un intorno di +∞.

L’intersezione e l’unione di due o più intorni di x sono ancora degli intorni di x .

o o

Punto isolato di un insieme ℝ.

Sia x un numero reale appartenente a un sottoinsieme A di Si dice che x è un punto isolato di A

o o

se esiste almeno un intorno I di x che non contiene altri elementi di A, diversi da x .

o o

Punto di accumulazione di un insieme ℝ,

Si dice che il numero reale x è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di se ogni intorno

o

completo di x contiene infiniti punti di A.

o 12

Limiti

Definizione di limite finito per x che tende a x (valore finito)

o ±∞)

Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l (si dice finito poiché non è per x che

tende a x , e si scrive:

o ( )

lim =

→

quando comunque si scelga un numero reale positivo si può determinare un intorno completo di I

di x tale che risulti:

o | ( ) | ( )

− < − < < +



per ogni x appartenente a I, diverso al più da x (x deve essere un punto di accumulazione per il

o o

dominio).

(*) spesso si prende come intorno di x un intorno circolare I (x ) e quindi la definizione precedente

δ

o o

la si può formulare anche: | | | ( ) |

∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − < , − < ε

tale che con

( reale positivo i cui valori diventano sempre più piccoli.)

Limite infinito per x che tende a x (valore finito)

o

Sia x punto di accumulazione per una funzione f(x).

o (o

Si dice che f(x) tende a +∞ -∞) per x che tende a x quando per ogni numero reale positivo M si

o

può determinare un intorno completo di I di x tale che risulti f(x)>M (o f(x)<-M) per ogni x

o

appartenente a I e diverso da x .

o

( ) | | ( )

lim = +∞ ∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − < , >

tale che con

→

( ) | | ( )

lim = −∞ ∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − < , < −

tale che con

→

13

Limite finito per x che tende all’infinito

Si dice che f(x) tende al numero reale l per x che tende a +∞ (o -∞) quando comunque si scelga un

| ( ) |

− <

numero reale positivo si può determinare un intorno I di +∞ (o -∞) tale per ogni x

appartenente a I e diverso da x .

o

( ) | | | ( ) |

lim = ∀ > 0 ∃ > 0 ∀ − > , − < ε

tale che con

→+∞ ( ) | | | ( ) |

lim = ∀ > 0 ∃ < 0 ∀ − < , − < ε

tale che con

→+∞

Limite infinito per x che tende all’infinito

(o

Si dice che f(x) che ha per limite +∞ -∞) per x che tende a +∞ (o -∞) quando per ogni numero

( ) ( )

> < −)

reale positivo si può determinare un intorno I di +∞ (o -∞) tale (o ) per

ogni x appartenente a I e diverso da x .

o

( ) (+∞) ( )

lim = +∞ ∀ > 0 ∃(+∞) ∀ ∈ ⟹ >

tale che

→+∞ ( ) (−∞) ( )

lim = +∞ ∀ > 0 ∃(−∞) ∀ ∈ ⟹ >

tale che

→−∞ ( ) (+∞) ( )

lim = −∞ ∀ > 0 ∃(+∞) ∀ ∈ ⟹ < −

tale che

→+∞ ( ) (+∞) ( )

lim = −∞ ∀ > 0 ∃(−∞) ∀ ∈ ⟹ < −

tale che

→−∞

Limite destro o sinistro

Un limite viene definito destro o sinistro a seconda dell’intervallo considerato.

14

Limite per eccesso o per difetto

Verifica di un limite

• scrivere, con la f(x) data, la disequazione presente nella definizione di limite

considerato.

1 • risolvere la disequazione.

2 • l’intorno

esaminare la soluzione per verificare che si sia ottenuto o meno richiesto

dal tipo di limite trattato.

3 • concludere che il limite è verificato, in quanto si è effettivamente ottenuto

l’intorno dato nella definizione;

• l’intorno

4 concludere che il limite è errato in quanto non si è ottenuto previsto.

15

Continuità e discontinuità di una funzione

Continuità

f è continua in x quando:

o

∈ : ()

- ( ) ( )

lim = lim =

- −

+ →

→

= ( )

-

Continuità a sinistra (o destra) ( ) ( )

ϵ D lim = ( ) lim =

Una funzione si dice continua a sinistra (o destra) in se (o

− +

→ →

( )).

Discontinuità di I specie

Diciamo che f ha in x una discontinuità di prima specie se esistono finiti i due limiti, sinistro e

o

destro, ma non coincidono. Viene dunque a mancare, in questo caso, la seconda condizione di

continuità. La discontinuità di prima specie è anche detta discontinuità a salto. 16

Discontinuità di II specie

Diciamo che f ha in x una discontinuità di seconda specie se anche solo uno dei due limiti, sinistro

o

o destro, o non esiste o è infinito.

Discontinuità di II specie

Diciamo che f ha in x una discontinuità di terza specie se esistono finiti i due limiti, sinistro e

o

destro, e coincidono tra di loro ma non coincidono con la valutazione f(x ) della funzione nel

o

punto x . Qui non è soddisfatta la prima condizione di continuità.

o 17

Teoremi sui limiti

Teorema di unicità del limite

Se una funzione per x tendente a x ammette un limite, allora quel limite è unico.

o

( )

lim =

Ipotesi: →

Tesi: l è unico.

Dimostrazione per assurdo

( ) ∀( ) ( ): ( )\{ } ( ) ( )

lim = ∃ ∈ ⟹ ∈

ovvero

1 1 1 0 1 0 1

→

0 ( ) ∀( ) ( ): ( )\{ } ( ) ( )

lim = ∃ ∈ => ∈

ovvero

2 2 2 0 2 0 2

→

0

≠

1 2

( ) ( ) ( )

= ∩

0 1 0 2 0

( ) ( ) ( ) ( )

∈ ⇒ ∈ ∧ ∈ ( )

0 1 2

| − | | − | ( ) ( )

2 1 2 1

ℇ < ℇ < ∩ = ∅

Se e allora . Siccome i due insiemi sono disgiunti f(x)

1 2 1 2

2 2

ammette due valori e ciò è contrario alla definizione di funzione.

( ) ( ) ( ) ( )