Appunti propedeutici per lo studio di funzione di Analisi 1 - solo teoria, no esercizi.

A

( x ) f (

t ) dt

a

Teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli-Barrow)

x

 



I

Ipotesi: continua in un intervallo ; , con

f (x ) a

, x I

A

( x ) f (

t ) dt

a

 

Tesi: la funzione è derivabile con A

A ( x )

(x f (

) x )

Dimostrazione:

Per la proprietà additiva dell’integrale definito abbiamo che:

  

x h x x h x h

   

     

A

( x h ) f (

t ) dt f (

t ) dt f (

t ) dt A

( x ) f (

t ) dt

a a x x

h

x   

Per il teorema della media applicato all’integrale   

sappiamo che tale che:

f (

t ) dt c x

, x h

x



x h

    

      , e quindi: .

A

( x h

) A

( x ) f (

c ) h

f (

t ) dt f ( c ) ( x h x ) f ( c ) h

x

Costruiamo ora il rapporto incrementale di .

A

(x )

 

A

( x h ) A

( x ) 

Per quanto visto sopra sarà: .

f ( c )

h  

A

( x h ) A

( x )

 

h 0

Passando al limite per su ambo i membri abbiamo: lim lim f ( c )

 

h

h 0 h 0 

  lim f ( c ) f ( x )

 

A secondo membro, tenendo conto che e che è continua, .

f (x )

c x

, x h 

h 0

 

A

( x h ) A

( x ) 

Quindi .

lim f ( x )

 h

h 0 57

Definizione di funzione primitiva  

Si definisce primitiva di qualunque funzione tale che .

F

F

f ( x )

(x (x f (

) ) x )

Teorema: continuità e integrabilità

I

Ipotesi: continua in un intervallo .

f (x )

Tesi: ha una primitiva.

f (x )

Dimostrazione x





Per il teorema di Torricelli-Barrow la funzione è un primitiva di .

f (x )

A

( x ) f (

t ) dt

a

Teorema della differenziazione delle primitive

I

Ipotesi: è continua in un intervallo ; e sono primitive di f

f (x

(x )

) F

F ( (

x x

) )

1 2

Tesi: e differiscono di una costante.

F

F ( (

x x

) )

1 2

Dimostrazione

  

 

     

F ( x ) F ( x ) F ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 

, quindi è costante.

F ( x ) F ( x )

1 2 1 2 1 2

Teorema/Corollario del teorema di Torricelli-Barrow

Ipotesi: sia una qualsiasi primitiva di

F f (x

(x )

)

b

  

Tesi.: f ( x ) dx F (

b ) F ( a )

a

Dimostrazione x



La è una primitiva di per ipotesi; ma anche la funzione integrale lo è

F f (x

(x )

) f (

t ) dt

k

(teorema di Torricelli-Barrows). Dunque le due primitive differiscono di una costante, cioè:

x



 

F ( x ) f (

t ) dt c

k    

b a b a b

    

   

         

F (

b ) F ( a ) f (

t ) dt c f (

t ) dt c f (

t ) dt f (

t ) dt c f (

t ) dt c

   

Da cui:    

k k k k a 58

Integrale indefinito

b



L’uguaglianza , permette il calcolo dell’integrale definito attraverso una

 

f ( x ) dx F (

b ) F ( a )

a

qualunque primitiva della funzione integranda . Da qui la necessità di sviluppare degli

F f (x

(x )

)

strumenti utili al calcolo della funzione associata alla funzione . Questa ricerca va sotto

F f (x

(x )

)

il nome di integrazione indefinita.  f ( x ) dx

Si definisce integrale indefinito di e si indica con il simbolo la totalità delle sue

f (x )   

f ( x ) dx F ( x ) c

primitive. Se è una delle primitive allora .

F (x )

Proprietà dell’integrale indefinito

Proprietà Dimostrazione

  

 



  

 

  





f ( g

x f

) (

(

g x

x

( x ) )

)

dx dx

dx

f ( x ) dx G

F

g ( x

x

x ) dx Posto e si ha che



     

    

F G x F ( x ) G ( x ) f ( x ) g ( x ) e quindi

 

F G è una primitiva di e quindi

f g

 

  

  

f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx .

 

 

   f (x )

F x

k f ( x ) dx k f ( x ) dx Sia una primitiva di . Allora



    

     

k F x k F ( x ) k f ( x ) k F

e quindi è una



k f

primitiva di .

(Le due proprietà sono compendiate nel teorema di

linearità dell’integrale definito)

 

   Teorema: linearità dell’integrale indefinito.

  

kf ( x ) hg ( x ) dx k f ( x ) dx h g ( x ) dx  

  

     

 

  

 g ( x ) dx G x

g f x f x dx G f x Posto si ha che



        

  

  

  



G f x G f ( x ) f ( x ) g f x f x

 

k F

e quindi è una primitiva di .

k f

Teorema dell’integrazione per sostituzione

Ipotesi: continua in I; derivabile in I.

f (x ) g (x )

 

  

 

f ( x ) dx f g (

t ) g (

t ) dt

Tesi:

Dimostrazione: 





 f ( x ) dx

Posto , differenziando abbiamo e quindi sostituendo in otteniamo la

dx g (

t ) dt

x g (t )

tesi.

Teorema dell’integrazione per parti (o integrazione del prodotto)

Ipotesi: e derivabili

g (x )

f (x ) 59

 

  

f ( x ) dg ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x ) df ( x )

Tesi:

Dimostrazione:  

    

Dal differenziale del prodotto otteniamo

d f ( x ) g ( x ) f ( x ) dg ( x ) g ( x ) df ( x

)

 

     da cui integrando otteniamo la tesi.

f ( x ) dg ( x ) d f ( x ) g ( x

) g ( x

) d ( f ( x )

Primitiva del logaritmo

ln 1 ∙ ln

∫ ∫

è come dire e quindi è possibile applicare la formula di integrazione per parti

f’(x)=1

con e g(x)=lnx e otteniamo: ∫ ln = 1

∫

= ln − ∙ =

= ln − + =

(ln 1)

= − +

Integrali ciclici

Integrali che si ottengono dall’integrazione per parti di funzioni esponenziali e goniometriche, che

ritornano all’integrale di partenza eccetto per il segno meno.

∫ cos =

∫

= cos + sin =

[ ∫

= cos + sin − cos ]

(cos )

∫

2 cos = + sin =

(cos )

+ sin

= +

2

Analogamente avviene per gli integrali notevoli:

2

∫ cos =

1 )

∫(1

= + cos 2 =

2

1 sin cos

( )=

= + 2

2 2

1

= ( + sin cos )

2 1

2

∫ sin = ( − sin cos )

2

1

2

∫ cos = ( + sin cos )

2 60

Integrali e calcolo delle aree

Area di figure piane Data una funzione f(x) positiva o nulla, la sua area

nell’intervallo [a;b] è data dall’integrale definito

( )

∫ .

( ) [ ( )]

∫

= =

La funzione è almeno in parte negativa

Per calcolare l’area A formata da porzioni di figure che

stanno in parte sopra l’asse x e in parte sotto, occorre

scomporre le aree e calcolare gli integrali negli intervalli

dove la funzione ha segno costante (positivo o negativo),

tenendo presente che l’integrale di una funzione negativa va

preceduto da un segno meno.

( ) ( ) [()] [()]

∫ ∫

= − = −

e l’intervallo è

Se la funzione è dispari

simmetrico rispetto l’origine, è sufficiente

considerare la parte positiva è

moltiplicarla per due.

( ) 2[ ( )]

∫

= 2 =

61

Due funzioni delimitano una superficie chiusa

Siano f(x) e g(x) due funzione definite nello stesso

intervallo [a;b] con f(x)>g(x), per ogni x in [a;b], i

cui grafici racchiudano una superficie; allora

l’area A della superficie è data da:

[()

= ∫ − ()]

62

Integrali e calcolo dei volumi dei solidi di

rotazione f(x) continua

nell’intervallo [a;b].

Se facciamo ruotare la

funzione di 360°

intorno all’asse delle x,

otteniamo un solido di

rotazione.

Dividiamo la funzione

in n parti uguali avente

−

ℎ =

lunghezza .

Nella rotazione

completa intorno

all’asse, ogni rettangolo

descrive un cilindro

circolare di altezza h e

raggio f(h).

Per ottenere il volume è

sufficiente fare un ragionamento analogo a quello delle aree fatto inizialmente.

delimitata dalle rette dell’intervallo [a;b] e dall’asse delle

Data la funzione f(x) x, il volume del

intorno all’asse

solido che si ottiene ruotando f(x) x di un giro completo è data

2

∫

= ()

Se la rotazione fosse intorno all’asse y inverto la funzione.

′

=

{ ′

=

Volumi di solidi noti: volume del cono

=

Area delimitata dalla retta OB e

ℎ

dall’asse delle nell’intervallo [0;h].

x

ℎ ℎ

2

2 2

∫ ∫

= ( ) =

2

ℎ ℎ

ℎ

2 3

1 2

[ ]

= = ℎ

2

ℎ 3 3

0

63

Area delimitata dalla retta OB

ℎ

= − + ℎ e dall’asse

nell’intervallo [0;r].

delle x

Inverto la funzione in quanto

ho una rotazione intorno

all’asse delle y, quindi

nell’integ