Appunti Probabilità parte 5

Successioni di V.A.

Abbiamo una successione di v.a. (X₁, X₂, X₃, ...);

in modo sintetico: {X_n}

Vogliamo studiare la convergenza della successione

nel limite n → ∞

Ci sono vari modi di convergere

1. In distribuzione
2. In probabilità
3. Quasi certa
4. In media r-esima

In modo euristico, X_{n d}→ X per n → ∞

le distribuzione di X_n si avvicinano alla distribuzione di X

Def

Si dice che X_n converge in distribuzione a X

per n → ∞ (e si scrive X_{n d}→ X ) se:

lim_n→∞ F_Xn(t) = F_X(t), ∀ t, in cui F_X(t)

è continua (cioè il limite probabile non

valore nei punti t in F_X(t) è discontinuo)

Oss

Usiamo la d. p. perché:

1. Non tutte le variabili hanno una densità
2. Ci sono casi in cui F_X è continua, ma
3. la variabile limite X è discreta, e viceversa

Esempio

Prendiamo \(X_n \sim \text{Exp}\left(\frac{3n+1}{2n+4}\right)\), studiamo la convergenza in distribuzione per \(n \to \infty\).

1. Troviamo la \(F_{X_n}(t)\).\(F(t) = \begin{cases} 1 - e^{-2t} & t \geq 0 \\0 & t < 0 \end{cases}\)
2. Fase di limite\(\lim_{n \to \infty} F_{X_n}(t) = \begin{cases} 1 - e^{-3/2 t} & t \geq 0 \\0 & t < 0 \end{cases}\)

\(F_X(t)\), Quindi \(X_n \xrightarrow{d} X \sim \text{Exp}(3/2)\)

Esempio

\(X_n \sim \text{Exp}(1/n)\)

1. \(F_{X_n}(t) = \begin{cases} 1 - e^{-t} & t \geq 0 \\0 & t < 0 \end{cases}\)
2. \(\lim_{n \to \infty} F_{X_n}(t) = \begin{cases} 0 & t \geq 0 \\0 & t < 0 \end{cases}\)

Quindi: quella trovata AL LIMITE non è f.l.;allora \(X_n\) NON CONVERGE in distribuzione.

Esempio

\(X_n \sim \text{Exp}(n)\)

1. \(F_{X_n}(t) = \begin{cases} 1 - e^{-nt} & t \geq 0 \\0 & t < 0 \end{cases}\)
2. \(\lim_{n \to \infty} F_{X_n}(t) = \begin{cases} 1 & t \geq 0 \\0 & t < 0 \end{cases}\) DEGENER

Quindi \(X_n \xrightarrow{d} X = 0\)

Enunciato

Siano X₁, ..., X_n v.a. i.i.d., ciascuna con valore atteso finito e con varianza finita, allora

Z → N(0,1)

Oss

Il teorema dice che la distribuzione della somma S_n = X₁ + ... + X_n (standardizzata) converge ad una gaussiana qualsiasi sia la distribuzione delle X_i di partenza.

Dim

Premessa: Ricordiamo questo risultato; se X ha momento di ordine k ∈ N finito

allora:

1. I miei termini di ordine minore di k sono finiti
2. La funzione caratteristica H(t) = E(e^itX) è k volte derivabile e la derivata in t = 0 vale:
3. Essendo H(t) k volte derivabile, posso svilupparla in serie di Taylor fino all'ordine k ⇒ H(t) = Resto

Dimostrazione

Per studiare la convergenza in distribuzione, applico il th di Levy, visto con la f. caratteristica. Quindi devo vedere che:

Funzione caratteristica di N(0,1)

CONVERGENZA QUASI CERTA

Ricordo che una v.a. X è una funzione:

X: Ω → R; quindi: scrivo X(ω)

DISCUSIONE INTUITIVA

X_n CONVERGE QUASI CERTAMENTE a X⇔

lim_n X_n(ω) = X(ω) per ogni ω ∈ Ω tranne

un addensamento di punti che hanno p=0

DEF

Si dice che una successione X_n CONVERGE

QUASI CERTAMENTE a X, e si dice X_n ^qc→ X

se ∀ω ∈ Ω lim_n X_n^⨿X è QUASI CERTO

cioè P(w∈Ω : lim_n X_n(ω) = X(ω) ) = 1

PROPOSIZIONE

Conv._qc ⇒ Conv._p

SCHEMA FINALE

• X_n ^qc→ X
• X_n ^m→ X
• X_n ^p→ X
• X_n ^d→ X

v. LIMITE DEGENERATO

ESERCIZIO

Sia X ∼ Unif[0,1], si studino le convergenze delle trasformazioni:

1. a) Y_m = X^m

lim_m Y_m(ω) = lim_m X(ω) = 0 Y_m ^qc→ 0 Y_m ^p→ 0 Y_m ^d→ 0