Appunti Probabilità parte 5

Successsioni di variabili aleatorie

Abbiamo una successione di v.a. (X₁, X₂, X₃, ...); in modo sintetico: {X_m}_{m = 1}^∞. Vogliamo studiare la "convergenza" della successione nel limite m → ∞.

Modi di convergere

1. In distribuzione
2. In probabilità
3. Quasi certa
4. In media r-esima

In modo euristico, X_{m d}→ X per m → ∞ se la distribuzione di X_m si avvicina alla distribuzione di X.

Definizione

Si dice che X_m converge in distribuzione a X per m → ∞ (e si scrive X_{m d}→ X) se:

lim_m→∞ F_Xm(t) = F_X(t) ∀ t, in cui F_X(t) è continua (cioè il limite potrebbe non valere nei punti t in cui F_X(t) è discontinua).

Osservazioni

1. Usiamo la funzione di ripartizione (f.r.) perché:
• Non tutte le variabili hanno una densità.
• Ci sono casi in cui F_X è continua, ma la variabile limite X è discreta, e viceversa.

Esempio 1

Prendiamo X_n ~ Exp(³ⁿ⁺¹/_2n+4), e studiamo la convergenza in distribuzione per n → ∞.

1. Troviamo la F_Xn(t):
• F(t)=1-e^-2t   t ≥ 0
• 0   t < 0
2. Fate il limite:
• lim_{n → ∞} F_Xn(t)=1-e^-3/2t   t ≥ 0
• 0   t < 0

Quindi, X_n →_d X ~ Exp(3/2).

Esempio 2

X_n ~ Exp(¹/_ln)

1. F_Xn(t)=1-e^-lt   t ≥ 0
2. 0   t < 0
3. lim_{n → ∞} F_Xn(t)=0   t ≥ 0
4. 0   t < 0

Quindi, quella diminuita al limite non è funzione limite; allora X_n non converge in distribuzione.

Esempio 3

X_n ~ Exp(¹/_n)

1. F_Xn(t)=1-e^-nt   t ≥ 0
2. 0   t < 0
3. lim_{n → ∞} F_Xn(t)=1   t ≥ 0
4. 0   t < 0

Quindi X_n →_d X=0.

Teorema di Levy

X_{n d}→ X ↔ lim_n→∞ H_n(t) = H_X(t)   ∀ t ∈ ℜ.

Esempio: Distribuzioni Normali

X_n ~ N(μ, 1/n)

H_Xn(t) = e^{int - t2/2n}

lim_n→∞ H_Xn(t) = e^int = e^{im t}

Quindi: X_{n d}→ X = μ

Teorema

Se X_{n d}→ X e g è una funzione continua, allora g(X_n) _d→ g(X).

Esercizio riepilogo

Sia {X_n} una successione di variabili aleatorie tali che:

1. P(X_n) = {n x^{considera che constante} se x ∈ (0,1)
2. 0 altrimenti

Domande

1. Studiare la convergenza di X_n
2. Usiamo la funzione di distribuzione di probabilità (f.d.p.):