Appunti Probabilità parte 4

Variabili Doppie Discrete

DefLa coppia di v.a. (X,Y) è detta variabile doppia discreta se può assumere un numero finito di punti di R² o una infinità numerabile di punti di R².

DefLa densità discreta congiunta: P(x,y) = P({X=x} ∩ {Y=y})

Proprietà

1. P(x,y) è compreso tra 0 e 1 ∀ (x,y) ∈ R²
2. P(x,y) = 0 quasi ovunque, cioè P(x,y) = 0 in tutti i punti di R², tranne che su un insieme S costituito da un numero finito o da una infinità numerabile di punti
3. ∑_(x,y)∈S P(x,y) = 1

Esempio

P(x,y) = 1/3 (x,y) ∈ {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,-1)}

2/3 (x,y) = (1,-1)

0 altrimenti

1 ∑p(x,y) = 1 V

2 Trova le distrubuzioni marginali delle X e della Y

Im X = {0,1}

P(X=0) = p(0,0) + p(0,1) = 3/19 + 1/19 = 4/19

P(X=1) = 1-p(0) = p(1,0) + p(1,1) = 2/19 + 3/19 = 5/19

⇒ P(X=x) = 4/19 x=0

Im Y = {-1,0,1}

P(Y=0) = p(0,0) + p(1,0) = 3/19 + 2/19 = 5/19

P(Y=-1) = p(0,-1) + p(1,-1) = 1/19 + 3/19 = 4/19

P(Y=1) = 3/19 + 2/19 = 5/19

Ricordo che A e B sono indipendenti

p(A ∩ B) = p(A) · p(B)

Def

Due v. o. discrete X e Y sono stocasticamente indipendenti sse: P(X=x∩Y=y) = P(X=x) · P(Y=y) ∀(x,y) ∈ R²

Cioè la congiunta è uguale al prodotto delle marginali.

3 Nell'esempio X e Y sono indipendenti?

Prendo (x,y) = (0,0)

P(0,0) = P(x=0) · P(y=0)

3/19 ≠ 2/3 · 3/19 ⇒ X e Y sono dipendenti

4 Supponiamo di sapere Y=-1; trovare la distribuzione di X condizionata a Y=-1

P(X=0∣Y=-1) = P(X=0 ∩ Y=-1) / P(Y=-1) = 1/19 / 4/19 = 1/4

P(X=1∣Y=-1) = P(X=1 ∩ Y=-1) / P(Y=-1) = 3/19 / 4/19 = 3/4

E(X | Y=-1) = 1/4 · 0 + 3/4 · 1 = 3/4

Valore atteso condizionato

5 Legge probabilità composte

P(X,Y) = P_Y(y|x) * P_X(x)

P(X,Y) = P_X|Y(x|y) * P_Y(y)

Esempio

Ho una moneta regolare e una moneta

Lancio 4 volte la moneta regolare e conto il numero X di T.

Poi lancio X volte la moneta

e conto il numero Y di teste.

1. Disegno il supporto:
2. Trovo la distribuzione congiunta di
3. Seguendo l’ordine cronologico con cui si svolge l’esperimento, calcolo:

• Marginale di
• Condizionata di
• Congiunta:

Sono 4 prove Bernoulliane – X~Bin

P(X=x) = P(X=x) =

Sto imponendo X=x, che è un numero, quindi

deve variare al numero la Binomiale →

P(y|x) = , ,

altrimenti

Def rigorosa

Sia dato uno spazio di probabilità _{(Ω, 𝒴, P)},

una v.a. doppia (X,Y) una funzione (X,Y) → ^ℝ2⁄

tale che ∀ B ⊆ ^ℝ2⁄, ∀ l'addome di B ∈ 𝒴

{(X,Y) ∈ B} = {ω ∈ Ω | (X_ω, Y_ω) ∈ B} ∈ 𝒴

Esempio

(X,Y) ~ Uniforme(Triangolo)

Area = 3/2

f(x,y) = 2/3 (x,y) ∈ T

0 altrimenti

a) Dire X, Y sono indipendenti.X, Y sono dipendenti poiché il supportoè un TRIANGOLO, quindi per arrivare aformare un rettangolo manca unaregione di Area > 0

b) Determinare le densità marginali

l_{m X⋅} [0,3) = P{X(x) = 2/3(1-1/3x)} x∈[0,3)<spa;f_X(x) = ∫ f(x,y) dy∫_{-x}^0= ∫_0^{2/3} dy = 2/3 (1-1/3 x)0 altrimenti

l_{m Y⋅} [0,1] =P_{y(y) = ∫_0^{3-3y} dx = ∫_{2/3} dx = 2/3 (1-3/3-y)}

c) Fissato x∈[0,3), trovare la densità condizionata Y|X(y|x)

1) Troviamo il supporto della Y dato x 0≤y=1-1/3xx> -3yy:1-1/3xx> -3yx

Proposizione

Se X e Y sono indipendenti, allora:

anch g₁(X) e h₁(Y) sono indipendenti

e vale che: E{g₁(X)·h₁(Y)}) = E{g₁(X)}·E{h₁(Y)}

COVARIANZA

La cov(X, Y) = E{(X - E{X})·(Y - E{Y})}

N.B. Trattandosi di un valore atteso, potrebbe non convergere

Oss (altro modo più comodo)

cov(X, Y) = E{XY - X·E{Y} - E{X}·Y + E{X}·E{Y}}

= E{XY} - E{X}E{Y} - E{X}E{Y} + E{X}·E{Y}

Linearity

Esempio vettore ass. continuo

cov(X, Y) = ⌠⌡ xy p_xy(x,y)dxdy - ⌠⌡ xp_x(x)dx - ⌠⌡ yp_y(y)dy

Esempio vettore discreto

cov(X, Y) = ∑_{i, j} xy p_ij(x,y) - ∑_x xp_x(x)·∑_y yp_y(y)

Proprietà

1. cov(X, X) = Var(X)
2. cov(X, Y) = cov(Y, X)
3. cov(X, K) = 0 _{N a destra in questo caso è K}
4. cov(aX, bY) = ab cov(X, Y)

Oss

Se X e Y sono indipendenti ⇒ cov(X, Y) = 0

N.B. La covarianza misura il grado di dipendenza lineare tra X e Y

Oss

L'evento "min(X,Y)>t" equivale all'evento "entrambi sono maggiori di t"

1 - P(X≤t ∩ Y≤t)

∫_t^∞dx ∫_t^∞dy f(x,y)

Un caso notevole è quello di X e Y indipendenti

F_Z(t) = 1 - P(X≤t)P(Y≤t)

= 1 - (1 - P(X≤t))(1 - P(Y≤t))

= 1 - (1 - F_X(t))(1 - F_Y(t))

Riprendo un argomento vecchio

N(t) = E(e^tx)

H_Z(t) = E(e^ct)

Proposizione 1

Sia Y = aX + b, a∈ℝ, b∈ℝ, allora la funzione caratteristica di Y è H_Y(t) = e^itbH_X(at)

Dim

H_Y(t) = E(e^itY) = E(e^it(aX+b))

= E(e^iatXe^itb)

= e^itbE(e^iatX)

= ipongo t':= at e^itbE(e^it'X)

= e^itbH_X(t') = e^itbH_X(at)