Appunti Probabilità parte 4

Variabili Doppie Discrete

Def

La coppia di v.a. (X,Y) è detta variabile

Doppia discreta se può assumere un numero

Finito di punti di R ² o n una infinità numerabile

di punti di R²

Def

La densità discreta congiunta: P(x,y) = P((X=x) ∩ (Y=y))

Proprietà

1. P(x,y) è compresa tra 0 e 1 ∀ (x,y)∈R²
2. P(x,y) = 0 Quasi ovunque, cioè P(x,y) = 0
3. in tutti i punti di R² tranne che su un
4. insieme S costituido da un numero Finito
5. o da una infinità numerabile di punti

3. ∑ _{(x,y) ∈ S} P(x,y) = 1

Esempio

P(x,y) = ¹/₉ (x,y) ∈ {(0,0), (1,0), (0,1), (0,-1)}

²/₉ (x,y) = (1,1)

³/₉ (x,y) = (1,-1)

0 altrove

Variabili Doppie Discrete

DefLa coppia di v.a. (X,Y) è detta variabile doppia discreta se può assumere un numero finito di punti di R² ma infinita numerabile di punti di R²

Supporto

DefLa densità discreta congiunta: P(X,Y) = P{(X=x) ∩ (Y=y)}

Proprietàa) P(X,Y) è compreso tra 0 e 1 ∀ (X,Y) ∈ R²aa) P(X,Y) = 0 quasi ovunque, cioè P(X,Y) = 0 in tutti i punti di R² tranne che un insieme S costituito da un numero finito o da una infinita numerabile di puntiaaa) Σ_(x,y)∈S P(X,Y) = 1

EsempioP(X,Y) = ¹/₉ (X,Y) ∈ {(0,0), (1,0), (0,1), (0,-1)}     ²/₉ (X,Y) = (1,1)     ³/₉ (X,Y) = (1,-1)     0     altrimenti

1

2

I m:_X = {0, 1}

P(X = 0) = p(0,0) errore + p(0,1) = 2/3; p(1,3) = 1/3 = 1/3

P(X = 1) = p(1,0) + p(1,1) = p(1,2) = 1/3

I m:_Y = {1, 2, 0}

P(Y = 0) = 1/3 = 1/9 = 2/9

P(Y = 2) = 1/3 = 1/9 = 2/9

P(Y = 1) = 3/9 = 3/9

Ricorda che A e B sono INDIPENDENTI

P(A ∩ B) = p(A) · p(B)

DEF

Due v.a. discrete X e Y sono STOCASTICAMENTE INDIPENDENTI se: P(X = x) · P(Y = y) = P(X, y) ∀ (x,y) ∈ R

Cioè la congiunta è uguale al prodotto delle marginali.

3 Nell'esempio di prima, X e Y sono indipendenti?

Prendo i (x,y) = (0,0)

P(x,y,o) ≠ P(X = o) · P(Y = o)

1/3 ≠ 3/3

X e Y sono DIPENDENTI

4

P(X = 0 | Y = -1) = P(x,y = 0 | Y = -1) = P(Y = :,1) = P(X|Y) = P(x,1) = 1/4

P(X = 1 | Y = -1) = P(X = 1) · P(X = 0) = P(x,y,0) = P(X = 0 | Y = :) = 1/4

P(X | Y = -1) = 3/4 = x = 4

pX| Y (x = 1,) = 3/4 | Y = x = 1/4

P(X | Y = 1) = p | p(X | x = :) = 1/4 | X

E (X | Y = -1) = 3/4 + 4 | 1/4 = 3/4

VALORE ATTESO CONDIZIONATO

Esempio

P(x, y) =

• 1/12  (x, y) = (1,0)
• 1/10  (x, y) ∈ {(1,1),(2,0),(0,1),(1,2),(0,2)}
• 0   altrove

1. Trouve la distribuzioni marginali di X e Y

Im _X = {0, 1, 2}

• P(X = 0) = 1/10 + 1/10 + 2/10 = 4/10
• P(X = 1) = 1/12 + 1/10 = 7/10
• P(X = 2) = 1/10
• ⇒ P₁(x) = ∑ P (x, y) somma lungo la colonna
• Im _Y = {0, 1, 2}
• P(Y = 0) = 1/12 + 1/10 + 1/10 = 3/10
• P(Y = 1) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10
• P(Y = 2) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 4/10
• ⇒ P_Y(y) = ∑ P(x, y) somma lungo la riga

2. Trouve la distribuzioni di Y condizionata a X=1

• P(Y = 0 | X = 1) = P(X = 1 ∩ Y = 0) / P(X = 1) = 1/10 / 7/10 = 1/7
• P(Y = 1 | X = 1) = P(X = 1 ∩ Y = 1) / P(X = 1) = 1/12 / 7/10 = 1/7
• P(Y = 2 | X = 1) = P(X = 1 ∩ Y = 2) / P(X = 1) = 0 / 7/10 = 0

3. Capire se X e Y sono indipendenti ➞ Sì

vede immediatamente che non lo sono

E