Appunti Probabilità parte 3

Pensiamo X and. contin., e Y = g(X) con g strettamente monotona (crescente o decrescente).

Se g è strettamente crescente, allora è invertibile |

o strettamente decrescente.

Esiste la funzione inversa x = g^-1(y) allora anche x = g^-1(y) è invertibile e derivabile, allora anche x = g^-1(y) è derivabile.

Metodo alternativo per le trasformazioni di v.a assolut. continue Y = g(X) nel caso g strettamente monotona e derivabile

Proposizione

Sia X v.a. assolutamente continua con dominio f_X(X). Sia Y = g(X), dove g è strettamente monotona e derivabile con continuità. Allora anche Y è ass. continua e inoltre:f_Y(y) = f_X(g^-1(y)) | _dy/^dx | ^{g-1 | per y t.c. y = g(x) per qualche x}

Dim 1º caso (g strettamente crescente)

Esiste x = g^-1(y), inoltre, per quanto riportato prima, anche g^-1 crescente e derivabile. Scrivo la f.p.s. di Y:F_Y(t) = P(Y ≤ t) = P(g(X) ≤ t) = P(X ≤ g^-1(t))= ∫_-∞^g-1(t) f_X(x) dx

Per trovare la derivata f_Y(y) faccio la derivata: d/dt ∫_-∞^g-1(t) f_X(x) dx = d/dt g^-1(t)

Dim 2^o caso

(g stret. decrescente e derivabile)

Esiste x:g^-1(y) che è anch'esso decrescente e derivabile.

F_Y(t) = P(Y_t) = P(g(X)_t)

1. (Applico g^-1 ad entrambi i membri)

= 1 - P(X_g^-1(t))

= 1 - g^-1(t)∫_-∞ f_X(x) dx

f_Y(t) = -f_X(g^-1(t))dg^-1(t)

(O poiché g^-1 è decrescente il segno +/1 ma f'(t) è positiva)

Esempio

X ha densità:

• f_X(x)
• 1/x x ∈ [1,e⁴]
• 0 x ∉

Y = ln X

Svolgimento

X ∈ [1, e⁴] → Y ∈ [0, 4]

Siccome y = ln x è strett. crescente e derivabile.

Allora posso applicare la formula studiata prima.

g(x) ln x ⇒ g^-1(y) e^y

f_Y(y) = |(e^y)^a| ˙ 1/x = e^-y

y ≥ 0, Y ∼ Exp(1)

3

lim_t→-∞ F_X(t) = 0

DIM

Po t→-∞ la famiglia di intervalli (-∞, t]

è DECRESCENTE

lim_t→-∞ (-∞, t] = ∅

Dunque lim_t→-∞ P(X ≤ t) = P(∅) = 0

4

F_X(t) è NON DECRESCENTE

DIM

Se s<t, l'evento {X ≤ s} è contenuto in {X ≤ t};

Riassumendo una conseguenza degli ASSIOMI di k_n, detta

MONOTONIA DELLA PROBABILITÀ: A ⊂ B ⟹ P(A) ≤ P(B)

QUINDI: se {X ≤ s} ⊂ {X ≤ t}

P(X ≤ s) ≤ P(X ≤ t)

F_X(s) ≤ F_X(t)   o   s<t

Definizione di f. NON-DECRESCENTE

5

F_X(t) è CONTINUA DA DESTRA in ogni punto

DIM

lim F_X(t^-) = lim P(X ≤ t^-ε)

ε→0⁺   ε→0⁺

Per ε→0⁺ la famiglia di intervalli (-∞, t+ε]

è DECRESCENTE e il suo limite è: lim (-∞, t+ε) ∩ (-∞, t] = (-∞, t]

ALTRO SPECCHIETO

a)

Continuità destra

lim_ε→0⁺ F(t+ε) = F(t⁺)

Innalzamento

b)

Continuità sinistra

lim_ε→0^- F(t₊ε) = F(t^-)

c)

lim_ε→0^- = lim_ε→0⁺ = F(t)

Ripassino

v.a. indicatrice di un evento

   _w → _R

      _Ω

_¹A

             R

• ind_A(w)=1 w∈A
• 0 w∉A

Segue una distribuzione di Bernoulli e E[₁A] = P(A)

Disuguaglianza di Markov

Sia X una v.a. t.c. P(X≥0)=1 (cioè in pratica è non negativa con prob.1), inoltre, sia E(X²) finito per qualche n∈R⁺. Allora:

P( X ≥ β ) ≤ ( E(X²) / β² ) ∀ β > 0

Limiti superiori.

Dim

Abbiamo g(x)=x² n ∈ R⁺; g è crescente

per ogni scelta di n.

Fisso n. Caso n=β; considero la funzione h_n(x) = | x |² x ≥ β

= β² x < β

= g(x) x ≥ β

= β²₁{x ≥ β}

Per costruzione abbiamo che in tutti i punti: g(x) ≥ h_n(x)

Poniamo alla v.a.

g(x) ≥ h(x) con prob.1

Quindi: E( g(x) ) ≥ E( h_n(x) )

E( X² ) ≥ E( β² ₁{X≥β})

Usando la linearità:

E( X² ) ≥ β² P( X ≥ β )

Vediamo perché la funzione caratteristica ha il vantaggio di esistere per t ∈ ℝ

1 Caso Discreto

|H(t)| = |E[e^itX]| = ∑_k |P(X=k)| = 1 t ∈ ℝ

2 Caso Assolutamente Continue

|H(t)| = |E[e^itX]| = |∫_-∞^+∞ e^itxp_X(x)dx| = 1 t ∈ ℝ

Oss Cruciale

Le funzioni M e H identificano univocamente una distribuzione

Prop

Esiste una corrispondenza biunivoca tra H(t) e la F(t)

Oss

(per la v.a. assolutamente continue)

H(t) = E(e ^itx) = ∫_-∞^+∞ e^itxp_X(x)dx

Trasformata di Fourier

p_X(x) = 1 / (2π) ∫_-∞^+∞ e^-ixtH(t)dt

Prop

Sia H(t) finita per t ∈ I, dove I è un intervallo aperto contenente l'origine (cioè I ∋ 0), allora esiste una corrispondenza biunivoca tra M e F