Appunti Probabilità parte 3

Trasformazioni di variabili aleatorie assolutamente continue

Consideriamo X una variabile aleatoria assolutamente continua e Y = g(X) con g strettamente monotona (crescente o decrescente). Se g è strettamente crescente, allora è invertibile o strettamente decrescente. Se Y = g(X) è invertibile e derivabile, allora anche x = g^-1(y) è derivabile.

Metodo alternativo per le trasformazioni di variabili aleatorie assolutamente continue

Proposizione

Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua con densità f_X(x). Sia Y = g_X(x) dove g è strettamente monotona e derivabile con continuità. Allora anche Y è continua e ha densità:

f_Y(y) = |

Dimostrazione del 1^o caso (g strettamente crescente):

Esiste x = g^-1(y). Infatti, per quanto riportato prima, anche g^-1 è crescente e derivabile. Scrivo la funzione di ripartizione di Y:

F_Y(t) = P(Y ≤ t) = P(g_X(x) ≤ t) = P(x ≤ g^-1(t)) = P(g_X(t) ≤ x) == P(x ≤ g^-1(t))

Per ottenere la densità F_Y(y) faccio la derivata:

f_Y(y) = ^d/_dt

Consideriamo X a.c. assolutamente continua e Y = g(X) con g strettamente monotona (crescente o decrescente). Se g è strettamente crescente allora è invertibile o strettamente decrescente x = g^-1(y). Se y = g(x) è invertibile e derivabile, allora anche x = g^-1(y) è derivabile.

Metodo alternativo per le trasformazioni di variabili aleatorie assolutamente continue

PROPOSIZIONE

Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua con densità f_X(x). Sia Y = g(x), dove g è strettamente monotona e derivabile con continuità. Allora anche Y è continua e ha densità:

f_y(y) = f_x(g^-1(y)) | dg^-1/dy | per y tale che y = g(x) per qualche x

Dimostrazione del 1^o caso (g strettamente crescente)

Esiste x = g^-1(y). Inoltre, per quanto riportato prima, anche g^-1 è crescente e derivabile. Scrivo la funzione di ripartizione di Y:

F_y(t) = P(Y ≤ t) = P(g(x) ≤ t) (applico g^-1 ad entrambi i membri e, siccome g^-1 è crescente, non cambia il verso della disuguaglianza) = P(X ≤ g^-1(t)) = F_X(g^-1(t)) = ∫_-∞^g-1(t) f_x(x) dx

Trovo la derivata f_y(t):

f_y(t) = d/dt F_y(t) = d/dt g^-1(t)

Dimostrazione del 2^o caso (g strettamente decrescente e derivabile)

Esiste x : g^-1(y) che è anch'essa decrescente e derivabile. F_Y(t) = P(Y_t t) = P(g(X) ≤ t) = | (Applico g^-1 ad entrambi i membri) = P(g^-1(g(X)) ≤ g^-1(t)) = 1 - P(X -1(t)) = 1 - ∫ f_X(x) dx

f_Y(t) = - f_X(g^-1(t)) d/dt g^-1(t) (- 0 poiché g^-1 è decrescente: il segno ha "più" dentro [f_X(t)] ma in realtà è negativa)

Esempio

X ha densità:

f_X(x) = { e^-x x ∈ [1,+∞]0 x Y = ln X

Svolgimento: X ∈ [1,+∞) → Y ∈ [0,+∞). Siccome y = ln x è strettamente crescente e derivabile, allora posso applicare la formula dimostrata prima. y = ln x → x = e^y g(x) = g^-1(y)

f_Y(y) = f_X(e^y) * | dy/dx |

dy/dx = e^-y y ≥ 0, Y ~ Exp(1)

Completando la teoria della distribuzione normale

Proposizione

Se X ∼ (0,1), allora Y = δX + μ ∼ (μ, δ²). Se X ∼ (μ, δ²), allora X - μ / δ ∼ (0,1)

Dimostrazione

Osservo che Y = δX + μ è strettamente monotona, quindi applico la formula. X assume valori in R, quindi Y = δX + μ assume valori in R.

y = δx + μ  x = (y - μ) / δ

Applicando la formula: f_Y(y) = 1 / √(2π) e^{-((x - μ)2 / 2)} ⋅ 1 / δ = 1 / √(2π) ⋅ e^{-((y - μ)2 / 2 ⋅ δ2)}

y ∈ R