Appunti primo parziale matematica finanziaria (anno 1) - Bocconi

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Appunti validi per il primo parziale di matematica finanziaria, università Bocconi. presenti esercizi e riassunti per ogni paragrafo. Appunti basati su appunti personali del publisher …

Esame Matematica finanziaria

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Coffetti Elena

Università Università Commerciale Luigi Bocconi di Milano

A.A. 2015-2016

52 pagine

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Matematica finanziaria

Calcolo integrale

Indefinito: famiglia di funzioni

Definito: numero reale

Generalizzato o improprio

Integrale indefinito

k + log x ⟷ ¹/_x

Corollari del teorema di Lagrange

Corollario 1 (Teo. Lagrange)

f(x): (a,b) → R derivabile su (a,b) e tale che f'(x) = 0 ∀x ∈ (a,b) allora ∃k ∈ R: f(x) = k (se derivata = 0, f(x) costante)

Corollario 2 (Teo. Lagrange)

f, g: (a,b) → R derivabili su (a,b) e tali che f'(x) = g'(x) ∀x ∈ (a,b). Allora ∃k ∈ R: f(x) = g(x) + k (soluzioni sono l'una la traslazione dell'altra = uguali a meno di una costante k).

Definizione di funzione primitiva

G: (a,b) → R, derivabile su (a,b) è detta primitiva di f: (a,b) → R quando G'(x) = f(x) ∀x ∈ (a,b)

Calcolo integrale

Integrale indefinito: Famiglia di funzioni

Definito: Numero reale

Generalizzato o improprio

Integrale indefinito

k + log x ← ¹/_x

Corollario 1 (Teo. Lagrange)

f(x): (a,b) → R derivabile su (a,b) e tale che f'(x) = 0 ∀x ∈ (a,b) allora ∃k ∈ R: f(x) = k (se derivata = 0, f(x) costante)

Corollario 2 (Teo. Lagrange)

f, g: (a,b) → R derivabili su (a,b) e tali che f'(x) = g'(x) ∀x ∈ (a,b) allora ∃k ∈ R: f(x) = g(x) + k (soluzioni sono l'una la traslazione dell'altra = uguali a meno di una costante k).

Definizione di funzione primitiva

G: (a,b) → R, derivabile su (a,b) è detta primitiva di f: (a,b) → R quando G'(x) = f(x) ∀x ∈ (a,b)

Integrale indefinito

Sia f: (a,b) → ℝ. Chiamiamo integrale indefinito di f su (a,b) la famiglia di tutte le sue primitive e lo indico con il simbolo ∫f(x) dx.

f = funzione integranda, x = variabile d'integrazione

Formule di integrazione immediata

∫ xⁿ dx, a≠-1 = ¹/_n+1 xⁿ⁺¹ + k
∫ x^3/5 dx = x^3/5 = ⁵/₈ x^8/5 + k
∫ [f(x)]ⁿ [f'(x)] dx = ¹/_n+1 [f(x)]ⁿ⁺¹ + k
∫¹/_x²-4x+1 dx = ∫(2x-1)⁻² dx = ∫¹/(2x-1)² dx = -¹/_2x-1 + k
∫⁴/x(log x)³ dx = ∫¹/x (log x)⁻³ dx = -¹/_{2(log x)²} + k

∫¹/_x dx = |log|x| + k
∫^f'(x)/_f(x) dx = ln |f(x)| + k
∫^-3/_1-3x dx = ln|1-3x| + k
∫^2x-2/_x²-2x+7 dx = ln |x²-2x+7| + k

Integrali trigonometrici ed esponenziali

a) ∫ ^{sen x}/_{cos x} dx = ∫tgx dx = ln|cos x| + k

b) ∫e^xdx = e^x + k

c) ∫f'(x) . e^f(x) = e^f(x) + k

d) ∫2x.e^x² = e^x² + k

e) ∫sen x dx = - cos x + u

f) ∫f'(x) . sen (f(x)) dx = - cos (f(x)) + k

g) ∫ ^{sen (ln x)}/_x dx = -cos (ln x) + k

h) ∫cos x dx = sen x + k

i) ∫f'(x) . cos (f(x)) dx = sen (f(x)) + k

j) ∫2x . cos (x²) dx = sen (x²) + k

k) ∫0 . dx = k

Metodi di integrazione

Decomposizione:
- Omogeneità: ∫ k p(x) dx = k ∫ p(x) dx
- Additività: ∫ [p(x) + q(x)] dx = ∫ p(x) dx + ∫ q(x) dx
Esempio: ∫ sin e³_x x^-1/2 dx = ∫ e^3x x^5/2 - x^-1/2 dx - ∫ x⁵ dx - ∫ x^x dx = 4/9 e^3x x^9/2 - x^7/2 - lnx + k
Razionali fratte:
- φ(x) grado 1
- φ(x) grado 0
- φ(x) grado 1
- φ(x) grado 2
- Δ > 0
- Δ = 0

Esempi di integrazione

A) ∫_3/2 7/2x+1 dx

∫ p' / l' = log|l| = 7/2 ln|2x+1| + k

B) ∫ 3x+1 / 2x-3 dx = ∫ 3x / 2x-3 dx + ∫ 1 / 2x-3 dx = 3/2 ∫ 2x / 2x-3 dx + ∫ 1 / 2x-3 dx - 3/2 ∫ 2x-3+3 / 2x-3 dx + ∫ 1 / 2x-3 dx = 3/2 ∫ 2x-3 / 2x-3 dx + 3/2 ∫ 3/2 / 2x-3 dx + ∫ 1/2 1 / 2x-3 dx = 3/2 x + 9/4 log |2x-3| + 1/2 log |2x-3| + k

C) ∫ ₃/ ^4x²+4x+1 dx = ∫ ₃/ ^(2x+1)² dx = ∫ ₃/ ^{3(2x+1)^-2} dx = -³

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