Appunti primo esonero (2)

Teorema del trasporto di Reynolds

• Ci permette di fare un bilancio associato ad un volume di fluido
• al volume…

Consideriamo un volume materiale: cioè costituito sempre dalle stesse particelle fluide.

Teorema

La derivata sostanziale dell'integrale di una grandezza A(x,t) in un volume di fluido V che, racchiuso dalla superficie S, contiene le stesse particelle, è data da:

d/dt (∫_V(t) A dv) = lim ∆t→0 (∫_V(t+∆t) A(x,t) dv - ∫_V(t) A(x,t) dv) / ∆t

t₁ = t + ∆t

V(t₁) = V(t) + ∆V

= lim ∆t→0 (∫_V(t) A(x₁,t₁) dv₁ - ∫_V(t) A(x,t) dv) / ∆t

= lim ∆t→0 (∫_∆V A(x, t₁) dv) / ∆t

= lim ∆t→0 (∫_V(t) (A(x₁1,t₁) - A(x,t₁)) dv + lim ∆t→0 ∫_∆V A(x, t₁) dv

perché lim ∆t→0 A(x,t₁) = A(x,t) si ottiene ∆V=∫_∆t u•n dS ∆t

Teorema del trasporto di Reynolds

• Ci permette di fare un bilancio associato ad un volume di fluido.
• ... di calcolare l'azione nel tempo di integrali di A esteso al volume.

Consideriamo un volume Materiale: cioè costituito sempre dalle stesse particelle fluide.

Teorema

La derivata sostanziale dell'integrale di una grandezza A(x,t) in un volume di fluido V che, racchiuso dalla superficie S, contiene le stesse particelle, è dato da:

\[ \frac{D}{Dt} \int_{V(t)} A \, dv = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\int_{V(t+ \Delta t)} A( x, t^{\prime} ) dv^{\prime} - \int_{V(t)} A( x, t ) dv}{\Delta t} \]

t' = t + Δt

V(t') = V(t) + ΔV

\[\lim_{\Delta t \to 0} \int_{\Delta V} A(x,t^{\prime}) dv^{\prime} = \int_{ΔV} A(x, t) dv = \int_{V(t)} A(x, t) dv\]

\[- \int_{V(t)} A(x, t) dv\]

\[- \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\int_{\overline{V(t)}} [A(x,t^{\prime}) - A(x,t)] dv + \lim_{\Delta t \to 0} [\frac{A(x,t^{\prime})}{\Delta t}]\]

ΔV = \[\int_{S} u \cdot n \, dS \Delta t\]

perchè \[\lim_{\Delta t \to 0} A(x,t^{\prime}) = A(x,t)\]

si ottiene...

1^a FORMULAZIONE (GLOBALE)

dove V è il volume fisso che coincide con il volume V(t) occupato dal fluido all'istante t; Si è la superfice che racchiude il volume V.

_SAvn_dS RAPPRESENTA IL FLUSSO DI A RISPETTO ALLA SUPERFICE.

La derivata dell'integrale di una grandezza generica portata A in un volume V è olatra a due salumi; Integrale dell eq. euleriana di A + di superfice del flusso A sulla superfice che delimetra il volume preso.

Tenendo conto del Teorema di Green si inegra:

D(Av) = ∂(Av)_∂xi = doppio resi prodotto= _∂ys + A ∂_ys

2^a FORMULAZIONE (LOCALE)

Eq. Bilancio della Massa

Associo alla grandezza A la densità e.

La massa M di un volume fluido che contiene sempre le stesse particelle rimane costante con il tempo:

M = ∫_V(t) e dv = cost

DM/DT - ∫_V(t) e dv = 0

Tenendo conto del Th. di Re., si ottengono le eq. di Bilancio della massa in forma integrale:

DM/DT = ∫_V e dv - ∫_V ∂e/∂t dv + ∫_S e u · n ds = 0

DM/DT = ∫_V e dv - ∫_V (∂e/∂t - ∇(e u)) dv = 0

DM/DT = ∫_V e dv - ∫_V (∂e/∂t + ∂e/∂x_j u_j e) dv = 0

DM/DT ∫_V e dv = ∫_V (∂e/∂t + e∇(e u)) dv = 0

Se l'integrale è nullo, l'intera funzione integranda è identicamente nulla.

∂e/∂t + ∇(e · u) = 0

Re e + ∇(e u) = 0

Eq. di continuità come esprime la legge di conservazione per un'agenzia binaseca.

EQ BILANCIO QUANTITÀ DI MOTO

La variazione della quantità di moto _Q di del fluido contenuto in volume _V è compito delle stesse particelle è pari alla risultante delle forze esterne _F.

μ ∆ = F = dμ = F

Q = ∫_V e dv

PRINCIPIO DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO

• Da derivata temporale della quantità di moto contenuta in un volume materiale di un fluido è uguale alla risultante delle forze esterne.

forze di volume (g di volume) g = ϕg = ϕz

forze di superficie (pressione e sforzi di taglio) ∑_μ = vettori degli = _e = _n

FORMA GENERICA FORZE DI SUPERFICIE

g = -(_e2 ∂ϕ/∂x₂ + _e2∂ϑ/∂x₂ + _C3∂ϕ/∂x₃)

diff. concettuale tra le due forze

forze di volume L'origine delle forze può essere lontano da dove verrà applicata

forze di superficie L'origine delle forze è da dove verrà applicata

u_{forze di linee} minimizza il rapporto tra volume e superficie. Forze di attrazione che tendono a formare la miscela delle superfici legate tra loro.

Def f_s(u) = ^A∮ f_s^eu dv

Nucleare f. di massa

Nucleare f. di sup.

Sup. della f. grush su fluido cateterito mv

∮_v ∂v(u)^eu/∂t dv + ∮_s f_se_v(u.n) ds

Gregana sulla f. della sop.

Equazione di bilancio delle quantita' di tutte in forme GUOIATI

Prendendo chanto alla teorico di Re nulla 2a formulazione e delle 225 generazione, inoltre:

D/Dt∮_v(t)e_v(u) dv = f(1/2 J.e^{(1/2) De e(di G)} dv)

Da elemento legongaluque scalog che prodotto di derivato

D/Dt ∂u ∂e / D ∂v dv - ∮_i~s.5^F = f(j F)^dv + (SC)∫

u

(Orditecture la comunicatione fj)

Equation de totalita