Teorema del trasporto di Reynolds
Esso permette di fare un bilancio assodato ad un volume di fluido, di calcolare quale varia per tempo l'integrale di A esteso al volume.
Consideriamo un volume materiale: cioè costituito sempre dalle stesse particelle fluide.
Corpo costit. da fluido
Teorema
La derivata sostanziale dell'integrale di una grandezza A(x,t) in un volume di fluido V che, racchiuso dalla superficie S, contiene le stesse particelle, è data da:
D/Dt ∫V(t) A dv = limΔt→0 1/Δt [ ∫V(t+Δt) A(x,t+Δt) dv' - ∫V(t) A(x,t) dv ]
t' = t + Δt
V(t') = V(t) + ΔV
= limΔt→0 ∫V(t) A(x,t') dv - ∫V(t) A(x,t) dv - ∫ΔV A(x,t) dv
ΔV = ∫S u · n dS Δt
dv' = u · n dS Δt
Definizione Volume
dove V è il volume fisso che coincide con il volume V(t) occupato dal fluido all'istante;
Se la superficie che racchiude il volume V,
∫ A⋅u n dsrapresenta il flusso di A rispetto alla superficie.
La derivata dell'integrale di una grandezza fisica si riduce ad un valore V è data dalla somma:
di dell'equazione aleborica di A + di sull superficie del flusso A sulla superificie che delimita il volumeTenendo conto della teoria di Green si ricava:
D dt ∫ A dv - ∫ [ ∫ A(u⋅u)dυ ] dvD(A⋅u) = ∂ ∂xj (Auj) => dobbiamo re= otteniamo l'equazione mediare
= ∫ υ + A ∂uj ∂xj div dA dt => otteniamo l'equazione div2a Formulazione (Locale)
D dt ∫ A dv = ∫[ ∫ ∂A + A ∇uj]dV∫v ρ Du/Dt dv = ∫v ∇i du + ∫v f edv
∫v ρ Du/Dt dv = [f t + ∇ ξ] dv
⇒ ρ Du/Dt = f t + ∇ ξ
FORMA LOCALE
EQ. DI CAUCHY
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