Appunti presi in classe esame Statistica Aziendale, libro consigliato Statistica, Newbold, Carlson, Thorne, 2/Ed, Pearson Education Italia, 2010

APPUNTI DI STATISTICA BASATI SUL LIBRO: STATISTICA,

PEARSON 2/ED

1 E 2 PERCHE’ STUDIARE LA STATISTICA E DESCRIZIONE GRAFICA DEI

DATI

La statistica analizza in termini quantitativi i fenomeni collettivi. La popolazione è l’insieme

completo di tutte le unità oggetto di studio: N rappresenta la dimensione della popolazione. Il

campione è il sottoinsieme delle unità osservate nella popolazione: n rappresenta la dimensione

del campione. Il parametro sintetizza una caratteristica specifica della popolazione. La statistica

sintetizza una caratteristica specifica del campione.

esempi di popolazione:

Nomi di tutti gli iscritti nelle liste elettorali degli Stati Uniti

ü Redditi di tutte le famiglie che abitano a Daytona Beach

ü Rendimento annuale di tutte le azioni quotate alla Borsa di New York

ü La media dei voti di tutti gli studenti della vostra università

ü

campione casuale:

Il campionamento casuale semplice è il procedimento nel quale:

ciascuna unità della popolazione è scelta rigorosamente a caso,

ü ciascuna unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere scelta,

ü ogni possibile campione di dimensione assegnata n, ha la stessa possibilità di essere

ü selezionato

Il campione ottenuto con questo metodo è noto come campione casuale

ü

statistica descrittiva e inferenziale:

Due branche della statistica. Statistica descrittiva: per descrivere, sintetizzare ed

tecniche

elaborare i dati in modo da trasformarli in informazioni. Statistica inferenziale: Fornisce tecniche

per estendere le informazioni e le elaborazioni ottenute da un campione alla popolazione da cui il

campione è stato estratto con un certo grado di attendibilità

tipi di dati: Categorici: stato civile, colore degli occhi - specifiche categorie o gruppi. Numerici:

Discreti: numero di figli, difetti in un’ora - elementi conteggiati.

ü Continui: peso, voltaggio - caratteristiche misurate.

ü

rappresentazione grafica dei dati:

I dati in forma grezza non sono generalmente facili da usare nel processo decisionale, una

qualche organizzazione si rende necessaria e si usano Tabelle e Grafici. Il tipo di grafico da usare

dipende dalla variabile che vogliamo sintetizzare.

1

rappresentazione grafica dei dati:

Variabili categoriche:

Distribuzione di frequenze

ü Diagramma a barre

ü Diagramma a torta

ü Diagramma di Pareto

ü

Variabili numeriche:

Grafico per serie storiche

ü Distribuzione di frequenze

ü Istogramma e ogiva

ü Diagramma ramo-foglia

ü Diagramma di dispersione

ü

Dati categorici:

Tabulazione: tabella della distribuzione di frequenza

ü Grafici: diagrammi a torta, a barre e di Pareto.

ü

diagrammi a barre e a torta: sono spesso usati per dati qualitativi (categorici)

L’altezza delle barre o l’area dei settori circolari rappresentano la frequenza o percentuale di

ciascuna categoria.

diagramma di Pareto: è usato per rappresentare dati categorici. È formato da:

Un diagramma a barre, in cui le categorie sono rappresentate in ordine decrescente di

ü frequenza

Un poligono della frequenza cumulata che viene spesso rappresentato nello stesso grafico

ü È usato per separare “poche cause rilevanti” dalle “numerose cause insignificanti”.

ü

grafici per serie storiche: viene usato per rappresentare i valori di una variabile nel tempo. Il

tempo viene rappresentato sull’asse orizzontale. La variabile di interesse viene rappresentata

sull’asse verticale.

grafici per descrivere serie numeriche:

Distribuzione di frequenza e distribuzioni cumulate (Istogramma o Ogiva)

ü Diagramma Ramo-Foglia.

ü

distribuzione di frequenze:

Una distribuzione di frequenze è una lista o una tabella ...

ü contenente classi di intervallo (categorie o intervalli a cui i dati appartengono) ...

ü e le corrispondenti frequenze con cui i dati appartengono alle classi o categorie.

ü La distribuzione di frequenze è un modo per riassumere i dati

ü La distribuzione condensa i dati grezzi in forma più utile ...

ü e consente una veloce interpretazione grafica dei dati.

ü 2

classi di intervallo ed estremi delle classi

Ciascuna classe di intervallo dovrebbe avere la stessa ampiezza

ü Determinare l’ampiezza di ciascuna classe nel seguente modo:

ü valore max − valore min.

w= numero di casi

Usare almeno 5 ma non più di 15-20 intervalli è bene che gli intervalli non si sovrappongono mai.

Arrotondare eventualmente per eccesso l’ampiezza dell’intervallo per ottenere gli estremi della

classe.

istogramma

Un grafico dei dati contenuti in una distribuzione di frequenze è chiamato istogramma

ü Gli estremi degli intervalli sono rappresentati sull’asse orizzontale

ü L’ asse verticale rappresenta le frequenze solo se le classi hanno pari ampiezza

ü Barre di altezza appropriata sono usate per rappresentare la numerosità di ciascuna classe.

ü

forma della distribuzione

La forma della distribuzione si dice simmetrica se le osservazioni sono bilanciate, o distribuite in

modo approssimativamente regolare attorno al centro. La forma della distribuzione è detta

asimmetrica se le osservazioni non sono distribuite in modo simmetrico rispetto al centro. Una

distribuzione con asimmetria positiva (obliqua a destra) ha una coda che si estende a destra, nella

direzione dei valori superiori. Una distribuzione con asimmetria negativa (obliqua a sinistra) ha una

coda che si estende a sinistra, nella direzione dei valori inferiori.

relazioni fra variabili

I grafici illustrati finora si riferiscono ad una sola variabile. Quando consideriamo due variabili

vengono usate altre tecniche: Variabili categoriche: tabelle a doppia entrata. Variabili numeriche o

quantitative: diagramma di dispersione.

diagramma di dispersione: sono usati per osservazioni accoppiate relative a due variabili

numeriche. Il diagramma di dispersione:

Una variabile viene rappresentata sull’asse verticale e l’altra variabile viene rappresentata

ü sull’asse orizzontale

tabelle a doppia entrata (o tabelle di contingenza) elencano il numero di osservazioni per ogni

combinazione di valori per le due variabili categoriche o ordinali. Se ci sono r categorie per la

prima variabile (righe) e c categorie per la seconda variabile (colonne), la tabella viene chiamata

tabella a doppia entrata r x c.

3 DESCRIZIONE NUMERICA DEI DATI

Tendenza centrale:

Media aritmetica

ü Mediana

ü moda

ü 3

Variabilità:

campo di variazione

ü differenza interquartile

ü varianza

ü scarto quadratico medio

ü coefficiente di variazione

ü 8

∑ 6

7

X = 79:

Media: media aritmetica

;

Mediana: valore centrale delle osservazioni ordinate.

Moda: valore più frequente.

MEDIA ARITMETICA: (media) è la misura di tendenza centrale più comune

>

∑ = = @= @⋯@=

7 : A >

µ = =

79:

Per una popolazione di N valori: ? ?

F

∑ D D @D @⋯@D

E : A F

= =

E9:

Per un campione di dimensione n: G G

La misura di tendenza centrale più comune.

Media: somma dei valori diviso il numero di valori.

Influenzata da valori estremi.

MEDIANA: In una lista ordinata, la mediana è il valore “centrale” (50% prima, 50% dopo). Non

influenzata dai valori estremi.

G@H

Trovare la Mediana: I

Se il numero di valori è dispari, la mediana è il valore centrale.

ü Se il numero di valori è pari, la mediana è la media dei due valori centrali.

ü G@H non è il valore della mediana ma la posizione della mediana nella sequenza ordinata.

ü I

MODA

Una misura di tendenza centrale

ü Valore che ricorre più frequentemente

ü Non influenzata da valori estremi

ü Usata sia per dati numerici che categorici

ü Può non esserci una moda

ü Ci può essere più di una moda

ü 4

MISURE DI VARIABILITA’

Variabilità:

Campo di variazione

ü Differenza interquartile

ü Varianza

ü Scarto quadratico medio

ü Coefficiente di variazione

ü

Le misure di variabilità forniscono informazioni sulla dispersione o variabilità dei valori.

CAMPO DI VARIAZIONE: è la più semplice misura di variabilità.

Differenza tra il massimo e il minimo dei valori osservati. campo di variazione = X - X

max min

Svantaggi: Ignora il modo in cui i dati sono distribuiti ed è sensibile agli outlier.

DIFFERENZA INTERQUARTILE

Possiamo eliminare il problema degli outlier usando la differenza interquartile

ü Elimina i valori osservati più alti e più bassi e calcola il campo di variazione del 50% centrale

ü dei dati

Differenza Interquartile = terzo quartile – primo quartile

ü Si noti come il primo quartile è l’osservazione di posizione 0.25(n+1) nella serie

o ordinata, mentre il terzo quartile occupa la posizione 0.75(n+1)

IQR=Q3 –Q1

o

QUARTILI: I Quartili dividono la sequenza ordinata dei dati in 4 segmenti contenenti lo stesso

numero di valori

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

Il primo quartile, Q1, è il valore per il quale 25% delle osservazioni sono minori e 75% sono

ü maggiori di esso

Q2 coincide con la mediana (50% sono minori, 50% sono maggiori)

ü Solo 25% delle osservazioni sono maggiori del terzo quartile.

ü

Formule per i Quartili: Un quartile si trova determinando il valore della sua posizione nella

sequenza ordinata dei dati.

Posizione primo quartile: Q = 0.25(n+1)

ü 1

Posizione secondo quartile: Q = 0.50(n+1)

ü 2

Posizione terzo quartile: Q = 0.75(n+1)

ü 3

dove n è il numero di valori osservati.

ü

VARIANZA DELLA POPOLAZIONE

Media dei quadrati delle differenze fra ciascuna osservazione e la media

O A

∑ (D LM)

I E

= E9:

Varianza della popolazione = P

dove 5

µ= media della popolazione

ü N = dimensione della popolazione

ü imo

X = i valore della variabile X

ü i

VARIANZA CAMPIONARIA

Media dei quadrati delle differenze fra ciascuna osservazione e la medi

F A

∑ (D LD)

I E

= E9:

Varianza campionaria = GLH

dove

= media aritmetica

ü n = dimensione del campione

ü imo

X = i valore della variabile X

ü i

SCARTO QUADRATICO MEDIO DELLA POPOLAZIONE

Misura di variabilità comunemente usata

ü Mostra la variabilità rispetto alla media

ü Ha la stessa unità di misura dei dati originali

ü O A

∑ (D LM)

R E

= E9:

Scarto Quadratico Medio della Popolazione = P

SCARTO QUADRATICO MEDIO CAMPIONARIO

• Misura di variabilità comunemente usata

• Mostra la variabilità rispetto alla media

• Ha la stessa unità di misura dei dati originali F A

∑ (D LD)

R E

• = E9:

Scarto Quadratico Medio Campionario = GLH

vantaggi della varianza e dello scarto quadratico medio

Sono calcolati usando tutti i valori nel set di dati

ü Valori lontani dalla media hanno più peso poiché si usa il quadrato delle deviazioni dalla media

ü

TEOREMA DI CHEBYSHEV µ, s,

Per ogni popolazione con media scarto quadratico medio e k > 1, la percentuale di

µ

osservazioni che appartengono all’intervallo [µ - ks ; + ks]

2

È almeno: 100[1 - (1/k )]%

Indipendentemente da come i dati sono distribuiti, almeno (1 - 1/k2) dei valori cadranno entro k

scarti quadratici medi dalla media (per k > 1)

La Regola Empirica

Se la distribuzione dei dati ha una forma simmetrica e campanulare, allora l’intervallo:

µ±1s contiene circa 68% dei valori della popolazione o del campione.

6

µ±2s contiene circa 95% dei valori della popolazione o del campione

µ±3s contiene circa 99.7% dei valori della popolazione o del campione

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

Misura la variabilità relativa

ü Sempre in percentuale (%)

ü Mostra la variabilità relativa rispetto alla media

ü Può essere usato per confrontare due o più set di dati misurati con unità di misura diversa

ü U

T W × 100%

CV = | |

M

\

T W × 100%

CV = | |

D̅

MEDIA PESATA F

∑ ^ D ^ D @^ D @⋯@^ D

E E : : A A F F

= =

E9:

La media pesata di un set di dati è F

∑ ^ ^ @^ @⋯@^

: : A F

E9:

ima

Dove w è il peso assegnato alla i osservazione

i ima

Usata quando i dati sono già raggruppati in n classi, con w valori nella i classe

i

Supponiamo un set di dati contiene i valori m1, m2, . . ., mk, che occorrono con frequenze f1, f2, ...

fK. b

∑ ` a fegH

∑

E E

= =

E9:

Per una popolazione di N osservazioni la media è dove e

P

b

∑ ` a fegH

∑

E E

= =

E9:

Per un campione di n osservazioni, la media è dove e

G b A

∑ (a

` LM)

E E

= E9:

Per una popolazione di N osservazioni la varianza è P

b A

∑ (a

` LD)

I E E

= E9:

Per un campione di n osservazioni, la varianza è GLH

LA COVARIANZA CAMPIONARIA misura la forza della relazione lineare tra due variabili

O

∑ (D ) qo s

LM LM

E p E r

E9:

(, ) = =

La covarianza della popolazione: Do P

F

∑ (D (o

LD) Lo)

E E

(, ) = = E9:

La covarianza campionaria: Do GLH

Riguarda solo la forza della relazione e non implica un effetto casuale.

A

7

Covarianza tra due variabili:

Cov(x,y) > 0 x e y tendono a muoversi nella stessa direzione

Cov(x,y) < 0 x e y tendono a muoversi in direzioni opposte

Cov(x,y) = 0 x e y non mostrano una relazione lineare

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE misura la forza relativa della relazione lineare tra due

variabili. uvw(D,o)

=

Coefficiente di correlazione della popolazione: U U

p r

uvw(D,o)

=

Coefficiente di correlazione campionario: \ \

p r

Caratteristiche del Coefficiente di Correlazione, r

Senza unità di misura

ü Campo di variazione fra –1 e 1

ü Quanto più è vicino a –1, tanto più è forte la relazione lineare negativa

ü Quanto più è vicino a 1, tanto più è forte la relazione lineare positiva

ü Quanto più è vicino a 0, tanto più è debole la relazione lineare

ü

Relazioni Lineari: un’equazione può essere usata per rappresentare la migliore relazione lineare

+

tra due variabili: Y= X

z H

Dove Y è la variabile dipendente e X è la variabile esplicativa.

REGRESSIONE CON IL METODO DEI MINIMI QUADRATI

Le stime dei coefficienti e vengono calcolate minimizzando la somma dei quadrati dei

z H

residui.

La regressione lineare con il metodo dei minimi quadrati, basata sui valori campionati, è

| = +

z H \

uvw(D,o) r

= = = −

Dove b è la pendenza della retta e b è l’ordinata all’origine: H z H

1 0 A

\ \

p

p

4 PROBABILITA’

Esperimento aleatorio: un processo che porta ad un risultato aleatorio

Evento elementare: un possibile risultato di un esperimento aleatorio

Spazio campionario: l’insieme di tutti i possibili risultati

Eventi: sottoinsieme di eventi elementari di uno spazio campionario.

intersezione di eventi: se A e B sono 2 eventi in uno spazio campionario S, allora l’intersezione

AÇB è l’insieme di tutti glie eventi elementari in S che appartengono sia ad A che a B.

A e B sono eventi MUTUALMENTE ESCLUSIVI se non hanno in comune alcuni elementi

È

Collettivamente esclusi se E E … E = S

1 2 k

Evento complementare: di un evento è l’insieme di tutti gli eventi elementari nello spazio

.

campionario che non appartengono ad A. L’evento complementare è indicato con

8

Spazio campionario: esempio facce del dado S= [1, 2, 3, 4, 5, 6] A= [2, 4, 6] B= [4, 5, 6]

= =

Complementi: [1, 3, 5] [1, 2, 3]

ÇB=

Intersezioni: AÇB = [4, 6] [5]

Unioni: AÈB= [2, 4, 5, 6] AÈ=[1, 2, 3, 4, 5, 6]= S

Mutuamente esclusivi: A e B NON sono mutuamente esclusivi (i risultati 4 e 6 sono comuni ad

entrambi)

Collettivamente esclusivi: A e B NON sono collettivamente esclusivi (AÈB non contiene 1 0 3).

La possibilità che un evento incerto si manifesti (sempre tra 0 e 1)

0£P(A)£1 per qualsiasi evento di A [1 certo - 0 incerto]

VALUTARE LA PROBABILITA’: ci sono 3 approcci per valutare la probabilità di un evento

incerto:

PROBABILITA’ CLASSICA:

P ;•‚ƒ„… †‡ ƒˆƒ;‰‡ ƒŠƒ‚ƒ;‰‹„‡ Œ•ƒ Ž…††‡Ž•‹;… Š‹ Œ…;†‡•‡…;ƒ †ƒŠŠ‘ƒˆƒ;‰…

€

Probabilità dell’evento A= =

P ;•‚ƒ„… Œ…‚’ŠƒŽŽ‡ˆ… †‡ ƒˆƒ;‰‡ ƒŠƒ‚ƒ;‰‹„‡ †&f