Riassunto esame Statistica per l'azienda, Prof. Melis Nicoletta, libro consigliato Statistica, P. Newbold, W. Carlson, B. Thorne

STATISTICA DESCRITTIVA

Introduzione →

- Funzione della Statistica raccogliere e analizzare dati per studiare fenomeni collettivi (che

coinvolgono un gran numero di unità statistiche)

- È anche uno strumento utile per prendere decisioni in condizioni di incertezza

Definizioni principali

- Popolazione

- Insieme completo di tutte le entità (o unità statistiche) mediante le quali è possibile ottenere

informazioni sul fenomeno oggetto di interesse (insieme delle unità su cui si manifesta)

- Due concetti:

→ → es. per il censimento l’entità è la famiglia

- Entità perché può essere di qualsiasi natura

→

- Dimensione N numero di entità che compongono la popolazione

→

- Unità statistiche entità della popolazione su cui si manifesta il fenomeno oggetto di interesse

- Campione

- Sottoinsieme della popolazione, di dimensione n

- Non considera la totalità delle unità statistiche della popolazione

Vantaggi dell’indagine

- campionaria (invece che sulla totalità della popolazione):

- Risultati decisamente più tempestivi

- Costi ridotti

Obiettivi della statistica

- Statistica descrittiva

- Fase preliminare →

- Utilizza metodi grafici e numerici per sintetizzare ed elaborare dati con il fine di produrre

informazioni sulla popolazione o sul campione

- Due importanti termini:

→

- Parametro caratteristica che riguarda la popolazione (es. media, varianza)

→

- Statistica caratteristica che riguarda il campione (es. media, varianza) ma invece di essere

calcolata sull’intera popolazione, viene calcolata su un suo campione

- Statistica inferenziale

- Fase di supporto alla statistica descrittiva in ambito aziendale

- Fornisce le basi per previsioni e stime per trasformare informazioni in conoscenza

→

- Sfrutta il calcolo delle probabilità fornisce le leggi che regolano gli esperimenti casuali

- Mentre nella statistica descrittiva operiamo in condizione di certezza, nella statistica inferenziale

operiamo in condizione di incertezza

- Tre fasi:

- Si parte dai dati rilevati su un campione

- Si fa inferenza

- Si arriverà ad avere dati il più possibile attendibili sulla popolazione

→ migliore è l’informazione che ne traggo →

- Se il campione è rappresentativo quindi ci sarà una

→

migliore approssimazione del corrispondente valore sull’intera popolazione dati attendibili

→

- Se il campione non è rappresentativo non riusciremo a fare inferenze corrette sulla

→

popolazione dati non attendibili

Altre definizioni

- Variabile

- Grandezza che, rilevata su ciascuna unità statistica, sarà di aiuto nella comprensione del fenomeno

collettivo in esame …

- Può essere fisica, economica, demografica, psicologica,

- Insieme delle modalità di una variabile

- Modo in cui un determinato fenomeno si manifesta sulle unità statistiche

- In base a ciò si stabilisce una scala di misura e si classificano i fenomeni in base alla natura della

variabile che lo descrive

Scala di misura “etichette”

- Fenomeni che si manifestano con

- Scala nominale

variabile si manifesta con “etichette” (forme non numeriche)

- La (che mi faccia intuire l’ordine

- Non esiste una relazione di ordine naturale delle variabili)

→

- Es. genere maschio o femmina si misura su scala nominale

→ “maschio” o “femmina”

- Etichette

esiste una relazione d’ordine naturale

- Non che mi faccia capire se mettere prima M o F

- Scala ordinale o per ranghi “etichette”

- La variabile si manifesta con

- Esiste una relazione di ordine naturale

- Es. titolo di studio

→ “licenza “primaria …

- Etichette elementare”, di primo grado”,

una relazione d’ordine naturale →

- Esiste non posso conseguire un diploma di scuola media

se non ho prima conseguito una licenza di scuola elementare

- Fenomeni che si manifestano con numeri

- Scala per intervalli

- La variabile si manifesta con numeri

Esiste una relazione d’ordine

-

- Il sistema di riferimento è dotato di origine arbitraria

distanza dall’origine arbitraria

- Ha senso la →

- Non esiste origine assoluta (no zero assoluto) lo 0 non vuol dire assenza del carattere

- Non ha senso il rapporto tra due misure

- Es. temperatura quindi non esiste un’origine assoluta

- Lo zero di temperatura dipende dalla scala che si adotta,

“+10 gradi centigradi“ perché indica la distanza di 10 gradi dall’origine

- Ha senso

- Lo zero non significa assenza di temperatura, significa 0 gradi

- Non ha senso dire che la temperatura a Roma è una volta e mezzo la temperatura di Firenze

- Scala per rapporti

- La variabile si manifesta con numeri

Esiste una relazione d’ordine

-

- Il sistema di riferimento è dotato di origine assoluta (lo zero)

→

- Esiste lo zero assoluto vuol dire assenza del carattere (es. peso 0 kg)

- Ha senso il rapporto tra due misure (es. A pesa il doppio di B)

- Es. reddito familiare, altezza, peso

Classificazione delle variabili

- Variabile categorica o qualitativa →

- Si manifesta in termini di attributi non ha senso valutare differenze di intensità

o meno, …

- Es. genere, titolo di studio, fumatore

- Possono essere:

- Sconnesse → non esiste una relazione d’ordine naturale

- Misurazione su scala nominale

- Si può solo dire che due diverse unità statistiche hanno la stessa manifestazione o no

Es. “Francesca ha lo stesso genere di Giovanna ma diverso da Mauro”

-

- Ordinali → esiste una relazione d’ordine

- Misurazione su scala ordinale naturale

- Es. titolo di studio, valutazione di un servizio attraverso degli attributi (ottimo, buono, scarso)

- Variabile numerica o quantitativa →

- Si manifesta in termini numerici ha senso valutare differenze di intensità

- Possono essere:

- Discrete

- Può assumere un numero finito (o infinito numerabile) di valori

- Deriva da operazioni di conteggio (es. numero di figli, numero di esami sostenuti, ... )

- Continuo

- Può assumere un numero infinito di valori in un determinato intervallo di numero reali

- Deriva da operazioni di misura (es. peso o altezza)

→ esclude l’altra (es. genere:

N.B. Una variabile si dice dicotomica se il verificarsi di una M o F)

–

Indagine statistica Premesse

- Dato un fenomeno collettivo oggetto di studio

- Si individua la popolazione di riferimento

- Si determinano le variabili da rilevare e la relativa scala di misura

Si individua l’insieme dei

- valori assunti da ciascuna variabile

- Si rilevano i valori delle variabili su ciascuna unità statistica

Matrice dati

- È una struttura tabellare dove vengono organizzati tutti i dati rilevati su ciascuna unità statistica

rappresenta un’unità statistica del campione →

- Ogni riga contiene le informazioni relative ad essa

(senza ordinamento progressivo implicito) →

- Ogni colonna rappresenta una determinata variabile contiene le determinazioni osservate sulle

unità statistiche per una data variabile

→ →

- N.B. le variabili qualitative sono convertite in termini numerici per mezzo di una leggenda dato

che la matrice dati è un supporto informatizzato

- Esempio

- M = 0 , F = 1

- Si = 0 , No = 1

Distribuzioni di frequenza

- Una distribuzione di frequenza consiste nel creare una tabella per organizzare i dati trovati

- Distribuzione delle frequenze assolute (f )

i

→

- Frequenze assolute quante volte si presenta, per ogni modalità, la variabile considerata

all’interno del campione

→

- È una sintesi dei dati insieme di coppie (modalità, frequenza)

- La colonna più a sinistra contiene le modalità (o classi di misure) della variabile considerata

- La colonna più a destra contiene il corrispondente numero di frequenze assolute dei valori

osservati per ciascuna modalità

- Distribuzione di frequenze relative ( p = f / n )

i i

→

- Frequenza relativa quota del collettivo che presenta una certa modalità o classe di misura

- Si ottiene dividendo ciascuna frequenza assoluta per il numero complessivo di osservazioni

- Ci consente di poter confrontare due diverse frequenze assolute (ragionando in termini relativi)

- Distribuzione di frequenze percentuali

- Si ottengono moltiplicando ciascuna frequenza relativa per 100

- Distribuzione di frequenze cumulate assolute

- Indica il numero totale di osservazioni per modalità minori o uguali alla modalità corrente

→ → dell’estremo superiore della classe

- N.B. nel caso di dati raggruppati in classi minore o uguale

- Si ottiene sommando i valori delle frequenze assolute fino alla modalità corrente

- Le frequenze cumulate hanno significato solo se le variabili sono ordinabili

- Distribuzione di frequenze cumulate relative

- Indica la quota del totale per modalità minori o uguali alla modalità corrente

- Si ottiene sommando i valori delle frequenze relative fino alla modalità corrente

- Raggruppamento in classi

- È necessario raggruppare per classi in due casi:

- Variabili numeriche continue

- Variabili numeriche in cui k (modalità di xi) è circa pari a n (dimensione del campione)

- Il raggruppamento per classi produce più sinteticità, ma meno precisione

- Le classi devono essere collettivamente esaustive e mutuamente esclusive

Nell’ipotesi che i dati si distribuiscano uniformemente all’interno di ciascuna classe si usa il

- valore

rappresentativo di classe x ic

Rappresentazione grafica della distruzione di frequenza

- Visualizzare la distribuzione di frequenza attraverso un grafico consente di coglierne alcuni aspetti

caratteristici in modo immediato (es. la modalità che viene assunta più o meno frequentemente)

- Tipi di diagrammi in base al tipo di variabili:

- Categoriali →

- Sconnesse diagramma a torta

→

- Ordinale diagramma a barre

- Numeriche →

- Discrete grafico ad aste

→

- Continue istogramma

- Diagramma a torta (aerogramma)

- Solitamente si usa per una variabile categoriche di tipo sconnesso

- Costituito da un cerchio diviso in k spicchi con aree proporzionali alle frequenze associate alle

modalità della variabile

- Immediato a livello visivo → →

- Bisogna mantenere le stesse proporzioni tra fi e n ( a : 360° = fi : n ) ( a = 360° x pi )

- La figura circolare non privilegia nessun ordinamento →

- Diventa poco efficiente quanto la variabile ha troppe modalità distinte il grafico diventa di

→

difficile lettura (non si percepiscono le proporzioni) quindi si userà il diagramma a barre

- Diagramma a barre

- Solitamente si usa per una variabile categoriche di tipo ordinali

posti sull’asse orizzontale, con

- Costituito da k rettangoli verticali non adiacenti basi uguali e

altezze proporzionali alle frequenze (assolute o relative)

I rettangoli devono essere nell’ordine

- oggettivo

- Diagramma di Pareto

- Caso particolare del diagramma a barre che presenta le frequenze decrescenti delle cause di

difettosità procedendo da sinistra verso destra

- Il rettangolo più a sinistra indica la causa più frequente (poche cause rilevanti)

- Procedendo verso destra si rappresentano le cause meno frequenti (molte cause insignificanti)

- Al diagramma viene sovrapposta una retta spezzata che indica la frequenza relativa cumulata

percentuale per rilevanza decrescente del difetto

- Diagramma ad aste

- Solitamente si usa per una variabile numerica discreta

diagrammi prima uno era numerico e l’altro no)

- Entrambi gli assi sono numerici (nei 3

Costituito da k segmenti, paralleli all’asse y, posizionati in corrispondenza dei valori delle modalità

- xi sull’asse x e con altezza proporzionali alle frequenze (assolute o relative)

- Istogramma

- Solitamente si usa per una variabile numerica continua

- Costituito da k rettangoli contigui, con:

all’ampiezza

- Basi pari della classe

- Estremi corrispondenti alle classi

- Altezza pari alle densità di frequenze relative o assolute ( ci = pi / Wi o fi / Wi )

- Area proporzionale alla frequenza relativa pi di ciascuna classe

→

Area del rettangolo = base (ampiezza wi) x altezza (densità ci) Ai = Wi x ( pi / Wi ) = pi

- Nota Bene: per l’altezza

- Se le ampiezze sono costanti si può usare pi o pi / Wi o fi o fi / Wi per l’altezza

- Se le ampiezze non sono costanti si deve usare per forza pi / Wi o fi / Wi

- Simmetria o asimmetria di un istogramma

- La distribuzione di una variabile ha forma simmetrica se si distribuisce in modo regolare intorno

al centro dell’istogramma

- La distribuzione di una variabile ha forma obliqua o asimmetrica se non si distribuisce in modo

regolare intorno al centro dell’istogramma → presenta una coda che si estende verso destra

- Obliqua a destra (o asimmetria positiva)

nella direzione dei valori positivi → presenta una coda che si estende verso

- Obliqua a sinistra (o asimmetria negativa)

sinistra nella direzione dei valori negativi

Funzione di ripartizione

- Sarebbe una funzione cumulativa delle frequenze relative

- Data una variabile quantitativa X con distribuzione di frequenze relative (xi, pi), si definisce funzione di

l’insieme ≤ x)

ripartizione F(x) delle infinite coppie ( x, F(x) ), dove F(x) = pi (X

Dà un’informazione cumulativa su quale parte del collettivo ha

- fino ad un determinato valore

- Ha dominio R e codominio [0; 1]

- La funzione vale 0 fino a x1 escluso

- Poi vale p1 da x1 incluso fino a x2 escluso

- Poi vale p1+p2 da x2 incluso fino a x3 escluso

all’infinito

- Poi vale p1+p2+p3 (=1) da x3 incluso fino

→

- Se ci fosse un raggruppamento in classi ogiva

Ogiva

- Sarebbe una curva delle frequenze cumulate relative

- Solitamente si usa per una variabile numerica continua con raggruppamento in classi

che mostra l’andamento della

- È una spezzata funzione di ripartizione

- La spezzata unisce i punti che indicano le frequenze cumulate relative con valore minore o uguale

all’estremo superiore di ogni classe

Indici di tendenza centrale

- Si possono individuare osservando il valore attorno al quale tendono a concentrarsi i dati

rappresentati con un diagramma ad aste o un istogramma (quindi per variabili numeriche)

→

- Sono tre media aritmetica, mediana, moda

- Media aritmetica

- Somma dei valori osservati divisa per il numero di osservazioni

→

- Criterio per determinare la media di natura algebrica e analitica (utilizzando una formula)

- Due tipi di media che considerano frequenza 1:

x1+x2+⋯+xn

→ μ =

- Media della popolazione N

x1+x2+⋯+xn

→ x̅ =

- Media campionaria n

- Se ci fossero le frequenze assolute o relative bisogna considerarle nella media:

- Media della popolazione

x1 f1 + x2 f2 + … + xn fn

μ= = x1 p1 + x2 p2 + ⋯ + xn pn

- N

- Media campionaria

x1 f1 + x2 f2 + … + xn fn

x̅ = = x1 p1 + x2 p2 + ⋯ + xn pn

- n

→

- N.B. se si tengono tutti i decimali nei calcoli la media con fi e la media con pi sono uguali

- Se ci fossero dei raggruppamenti per classi + +

→ =

- Bisogna usare in valore rappresentativo della classe

→ se consideriamo ci saranno due medie diverse → la

- N.B. tutte le osservazioni o le classi,

distribuzione reale di ciascuna osservazione nelle classi viene forzata sul valore centrale

- La media risente degli outliers

→

- Valori estremi rispetto al corpo delle osservazioni sono anomali (molto grandi o piccoli)

la media aritmetica ne risentirà e darà un’indicazione

- Considerando gli outliers, diversa

rispetto a quella che otterrei se escludessi questi outliers

- Il problema degli outliers è risolto quando vi sono sia valori molto piccoli che valori molto

grandi in quanto si compensano

- Per risolvere questo problema ci sono indici di tendenza centrale alternativi

- Mediana

È l’osservazione che occupa la

- posizione centrale nella sequenza ordinata crescente

dell’insieme di dati di una variabile quantitativa

Criterio per determinare la mediana →

- ordinamento

- Si ottiene seguendo 3 passaggi:

- Ordinare i numeri in ordine crescente

→

- Individuare la posizione centrale ( n + 1 ) / 2

→

- Se la posizione è intera Me = il valore corrispondente di quella posizione

→ →

- Se la posizione è intermedia fare la media tra i due valori adiacenti Me = media trovata

- Nel caso di raggruppamento in classi

→ ≥ 0,5

- Individuare la classe mediana cioè la prima classe con funzione di ripartizione

,−() ,−()

= + = +

-

→

- xi estremo inferiore della classe mediana

→

- F(xi) valore della funzione di ripartizione della riga precedente

→

- Wi e pi ampiezza e frequenza relativa della classe mediata

- Moda

- Rappresenta la modalità che si presenta con maggior frequenza assoluta o relativa

- Può essere sia di variabili numeriche che categoriche

→

- Criterio per determinare la moda valutazione frequentista

→

- Se ci sono più massime frequenze uguali la moda non è unica (plurimodale)

- Nel caso di raggruppamento in classi con ampiezza diversa

- La classe modale è quella con la maggiore densità di frequenza pi / wi o