Riassunto esame Statistica per l'azienda, Prof. Melis Nicoletta, libro consigliato Statistica, P. Newbold, W. Carlson, B. Thorne

STATISTICA INFERENZIALE

Variabile aleatoria

- Rappresenta un possibile valore numerico prodotto da un esperimento aleatorio

→ due volte un dado → X = numero di volte che si ottiene 4 → x può essere 0, 1 o 2 volte

- Es. lancio

- Le variabili aleatorie possono essere:

- Discrete

- Numeri interi compresi in un intervallo di valori

- Può assumere solo un insieme numerabile di valori

- Viene associata una probabilità ai singoli valori

- Continue

- Numeri decimali che hanno un andamento continuo in un

intervallo di valori

- Può assumere qualunque valore in un intervallo

- Non si possono elencare gli elementi

- Non può essere associata una probabilità ai singoli valori

Distribuzione di probabilità discrete

→ → possibili valori assunti dalla variabile

- X variabile aleatoria | x aleatoria

→

- Funzione di probabilità P(x) = P (X = x)

- Probabilità che una variabile aleatoria X assuma il valore x

- Si può rappresentare con un diagramma ad aste (o grafico a bacchette)

- Esempio:

Lancio 2 monete → X = “Numero delle volte che esce Testa”

- →

- Possibili risultati TT, CC, TC, CT

- Valori che può assumere x con la relativa probabilità

→

- 0 1/4

→

- 1 2/4

2 → 1/4

-

- Proprietà necessarie

0 ≤ ≤ 1

- P(x) per ogni valore di x appartenente allo spazio campionario → ∑ () =

- La somma delle singole probabilità dello spazio campionario deve dare 1

→ ≤

- Funzione di ripartizione F(x ) = P (X x )

0 0 → ∑

F(x ) = P(x)

- Esprime la probabilità che X non superi il valore x

0 0 x ≤ x

0

- Si può rappresentare con un grafico a gradini

→

- Esempio 1 lancio 2 monete | X = numero di teste:

→ ≤

- P(x = 0) = 0.25 | F(x = 0) = 0,25 sarebbe P(x 0)

→ ≤

- P(x = 1) = 0.50 | F(x = 1) = 0,75 sarebbe P(x 1)

→ ≤

- P(x = 2) = 0.25 | F(x = 2) = 1 sarebbe P(x 2)

Proprietà delle variabili aleatorie discrete

Valore atteso

- - È una media pesata di una distribuzione discreta

∑ ()

- µ = E(x) =

→ lancio 2 monete | X = numero di teste →

- Es. E(x) = (0 0,25) + (1 0,5) + (2 0,25) = 1.0

x x x

Varianza

- - È il valore atteso degli scarti al quadrato dalla media

→ ∑

= ( − µ) = ( − µ) ()

- Primo calcolo

2 2 2 2

→ lancio 2 monete → σ = (0 − 1) 0,25 + (1 − 1) 0,5 + (2 − 1) 0,25 = 0,50

- Es. di prima

→ ∑

= () − (µ) = ()− µ

- Calcolo alternativo

2 2 2 2 2

→ lancio 2 monete → [(0

σ = x 0,25) + (1 x 0,5) + (2 x 0,25)] − 1 = 0,50

- Es. di prima

Scarto quadratico medio

- - Serve per ottenere una varianza con la stessa unità di misura della variabile originaria

√

= = √∑ ( − µ) ()

- → lancio 2 monete → 2

σ = √σ = √0,5 = 0.7071

- Esempio di prima

Trasformazione lineare di variabili aleatorie

La variabile aleatoria X può essere trasformata in un’altra variabile aleatoria Y con l’utilizzo di una

- →

funzione Y = g(x)

→ ∑ () ()

- Valore atteso E[g(x)] =

- Tre considerazioni:

- Quando alla variabile aleatoria si aggiunge (o sottrae) una costante k abbiamo:

2 2

(x

E(x ± k) = E(x) ± k | σ ± k) = σ (x)

-

- Quando alla variabile aleatoria si moltiplica una costante k abbiamo:

2 2 2

(x (x)

E(x ∗ k) = E(x) ∗ k | σ ∗ k) = σ ∗ k

-

- Quando alla variabile aleatoria si divide una costante k abbiamo:

2 2 2

(x/k) (x)/k

E(x/k) = E(x)/ k | σ = σ

- →

- Consideriamo la funzione lineare Y = g(x) = a + bx (con a, b costanti)

- Quando la variabile X assume il valore di x, Y assumerà il valore di a + bx

- Tre formule che si ricavano con le considerazioni fatte precedentemente:

µ = ( + ) = + µ

-

= ( + ) =

-

= ||

-

- Tre tipi di trasformazioni lineari di Y = a + bx

→ → () = µ () =

- a = 0 Y = bx

→ → () = () =

- b = 0 Y = a

- Trasformazione lineare da una variabile aleatoria continua X in una variabile standardizzata z per

rendere possibile il calcolo delle probabilità delle variabili continue

µ

z = a + bx → con = − e =

-

− µ

→ z =

- Sostituendo i valori diventa

µ

= − µ =

= + µ +

- E(z)

= = ( ) =

- VAR(z)

Distribuzione di probabilità

- Sono funzioni matematiche che consentono di calcolare la probabilità associata ad una variabile

aleatoria

- A seconda del tipo di variabile aleatoria (discreta o continua) si applicano diversi tipi di funzione di

→

probabilità esse fissano dei parametri da cui dipende il valore di probabilità (non si parte dallo

spazio campionario come abbiamo fatto fino ad ora per indicare la probabilità)

- Le distribuzioni di probabilità possono essere:

- Discrete

- Bernoulli e Binomiale (noi vediamo queste)

- Ipergeometrica

- Poisson

- Continue

- Normale (noi vediamo questa)

- Uniforme

- Esponenziale

Distribuzione di Bernoulli

- Un esperimento bernoulliano da origine ad una variabile aleatoria con 2 possibili risultati

→

mutualmente esclusivi e collettivamente esaustivi generalmente chiamati successo o insuccesso

→

- P probabilità di successo

→

- 1-P probabilità di insuccesso

→

- X variabile aleatoria (x=1 successo) (x=0 insuccesso)

→ –

- La funzione di probabilità di Bernoulli P(1) = P e P(0) = 1 P

→ ∑ x P(x)

- Valore atteso µ = E(x) = = (0)(1-P)+(1)P = P

x

2 2 2 2 2

→ –

∑ 2 2 2

σ E (x) − (µ) = (x P)− µ

- Varianza = = [0 (1-P) + 1 P] P = P(1-P)

x

Distribuzione Binomiale

- Si applica il modello binomiale se si hanno: →

- n ripetizioni di un esperimento bernoulliano 15 lanci di moneta

→

- Probabilità costante per ciascuna ripetizione testa esce con la stessa probabilità ogni volta

→

- Il risultato di ogni prova è indipendente dalle rimanenti il risultato di una osservazione non

influenza il risultato dell’altra

- Si è interessati solo al numero di successi X

parametri il numero di successo e probabilità di successo

- Ha come

Numero di sequenza con X successi in n prove indipendenti

- ! fare il fattoriale partendo da n per x volte 5 x 4 x 3

53

→

( ) = = esempio: ( ) =

→

- !(−)! x! 3!

- Casi particolari:

nn n0

( ) = ( ) = 1

- n n1

( ) = ( ) = n

- n−1

0! = 1

- →

Probabilità associate a la probabilità di ogni singola sequenza si può calcolare come il prodotto

- −

( − )

delle probabilità x successi per la probabilità di n-x insuccessi

! −

→ ( − )

Formula Binomiale P(x) =

- !(−)!

P(X) → probabilità di x successi in n prove, con probabilità di successo P in ogni prova

- X → numero di successi

- n → numero di prove

- P → probabilità di successo

- →

- Valore atteso µ = n P

2

→ σ

- Varianza = n P(1-P) →

- Forma della distribuzione binomiale (grafico a barre) dipende dai valori di P e n

→

- Se la probabilità si avvicina a 0,5 grafico simmetrico concentrato nei valori centrali

→ →

- Se la probabilità è bassa (es. 0,1) grafico non simmetrico concentrato sullo 0 (insuccesso) +

dispersione dalla media (varianza più alta)

Probabilità congiunte di variabili aleatorie

- Esprime la probabilità che X assuma un particolare valore x e contemporaneamente, Y assuma il

valore y (come funzione di x e y)

∩ Y = y

- P(x, y) = P ( X = x ) → ∑ ∑

P(x, y) P(x, y)

- Le probabilità marginali sono P(x) = e P(y) =

y x

Probabilità condizionata di variabili aleatorie

- Esprime la probabilità che X assuma il valore x quando si specifica il valore y per Y (o viceversa)

P(x,y) P(x,y)

- P(x | y) = o P(y | x) =

P(y) P(x)

Media e Varianza Condizionata

- Data una distribuzione di probabilità condizionata possiamo calcolare le misure di sintesi:

→ | ∑

(Y (y|x)

µ = E X = x) = P(Y|X = x)

- Valore atteso di Y dato X=x | = y

2

2 2

→ ∑

σ = E − µ | X = x = (Y − µ ) P(Y|x)

(Y )

- Varianza di Y dato X=x | = y | =

Y | X=x

→

- Se Y ed X assumono valori r e c allora il numero di medie e varianze è r + c

Indipendenza

- Le variabili aleatorie X e Y sono dette indipendenti se e solo se la loro distribuzione di probabilità

→

congiunta è uguale al prodotto delle loro distribuzioni di probabilità marginali P(x, y) = P(x) P(y)

, …, x

- Un insieme di k variabili aleatorie sono indipendenti se e solo se P(x , x ) = P(x ) P(x )...P(x )

1 2 k 1 2 k

Covarianza

- Misura la forza della relazione lineare tra due variabili aleatorie

- Se due variabili aleatorie sono indipendenti, la loro covarianza vale 0 (se la covarianza è 0 non

necessariamente le due variabili sono indipendenti) µ e µ

- Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con medie rispettivamente

- Due diverse formule – – ∑ ∑

µ µ ( – µ )( – µ ) (, )

- Cov (X, Y) = E [(X )(Y )] =

∑ ∑

− µ µ [ (, )] − µ µ