Riassunto esame Statistica, Prof. Emanuela Dreassi, libro consigliato P. Newbold, W.L. Carlson, B. Thorne. Statistica. Second edition. 2014. Pearson/Prentice Hall., P. Newbold

Capitolo 1: Statistica

La statistica è la scienza che studia i metodi per la raccolta e l'analisi dei dati. È utilizzata per fare previsioni, analizzare eventi del passato e per prendere delle decisioni.

Fenomeni collettivi

Un fenomeno si dice collettivo se è costituito da un insieme di fenomeni singoli tutti dello stesso tipo. Ogni singolo fenomeno di cui si compone un fenomeno collettivo prende il nome di unità statistica.

Processo decisionale in condizioni di incertezza

Le decisioni sono spesso basate su informazioni incomplete; si deve prendere una decisione anche se si è incerti sulla veridicità e sulla variazione dei fattori che la influenzeranno in futuro.

Campionamento

Il campionamento casuale semplice è il procedimento usato per selezionare un campione di n oggetti da una popolazione, in modo che ciascuna unità della popolazione sia scelta a caso e abbia la stessa opportunità di essere scelta.

Statistica descrittiva

Comprende metodi grafici e numerici usati per sintetizzare ed elaborare i dati in modo da trasformarli in informazioni; si occupa della raccolta, presentazione e caratterizzazione di un insieme di dati allo scopo di descriverne le caratteristiche.

Statistica inferenziale

Fornisce le basi per le previsioni e per le stime che consentono di trasformare le informazioni in conoscenza; stima di una particolare caratteristica della popolazione sulla base dell'osservazione di un campione, allo scopo di generalizzare il risultato all'intera collettività.

Popolazione

Insieme degli individui oggetto di studio, può essere molto grande e addirittura infinita (persone, animali, fenomeni).

Unità statistiche

Elementi della popolazione che interessano. (Semplici: una persona, un albero. Composte: una famiglia, un bosco).

Campione

Sottoinsieme della popolazione oggetto della rilevazione, dev'essere selezionato accuratamente per essere rappresentato, non deve distorcere le informazioni.

Variabili o caratteri

Caratteristica o fenomeno che si vuole osservare, rilevata e misurata sulle unità statistiche.

Modalità

Valori distinti assunti da una variabile.

Parametro

Caratteristica della popolazione come media, mediana e moda.

Statistica

Caratteristica riferita al campione come il valore medio. (È un processo induttivo, si generalizza: analisi campione -> analisi popolazione).

Capitolo 2: Variabili

Variabili qualitative

Misurano delle qualità, generano risposte che appartengono a gruppi o categorie.

• Sconnesse o nominali: modalità non ordinabili (sesso, residenza, professione, CAP, si-no).
• Ordinali: modalità ordinabili, ordine gerarchico (livello istruzione, giudizio qualità di un prodotto).

Variabili quantitative

Misurano caratteristiche numeriche. Dati categorici.

• Discrete: insieme di modalità finito o numerabile (n. figli, n. auto).
• Continue: insieme di modalità infinito non numerabile (età, altezza, peso).

Distribuzione di frequenze

È una tabella per organizzare i dati. La colonna di sinistra comprende tutte le possibili risposte relative alla variabile oggetto di studio, la colonna di destra contiene l'elenco delle frequenze per ogni classe.

Tipi di frequenze

• Frequenza assoluta: numero di volte in cui si verifica un evento di un'indagine statistica (n).
• Frequenza relativa: ottenuta dividendo ciascuna frequenza per il numero complessivo di osservazioni.
• Frequenza percentuale: si ottiene moltiplicando la proporzione della frequenza relativa per 100%.
• Frequenza cumulata: contiene il numero totale di osservazioni con valori minori del limite superiore di ciascuna classe. Si ottiene sommando alla frequenza della classe corrente le frequenze di tutte le classi precedenti.

Grafici per variabili qualitative

• Tabulazione: tabella della distribuzione di frequenze.
• Grafici:
• Diagramma a barre: per attirare l'attenzione sulla frequenza di ogni categoria.
• Diagramma a torta: per sottolineare la proporzione di ciascuna categoria.

Grafici per serie storiche

Rappresenta una serie di dati rilevati in istanti di tempo diversi, viene usato per rappresentare i valori di una variabile nel tempo.

Grafici per variabili quantitative

• Dati raggruppati in classi: bisogna decidere il numero e l'ampiezza delle classi; la costruzione di una distribuzione di frequenza è composta da tre passaggi:
  • Determinare k, il numero delle classi (meno di 50 -> 5-7 classi, da 50 a 100 -> 7-8 classi).
  • Determinare l'ampiezza w attraverso la formula: w = (valore massimo – valore minimo) / numero di classi.
  • Devono essere collettivamente esaustive e mutuamente esclusive.

Dopo aver ottenuto la distribuzione di frequenze, possiamo rappresentarla graficamente attraverso:

• Istogramma: Area dei rettangoli: Frequenza. Base dei rettangoli: classe (ampiezza). Altezza dei rettangoli: densità. La forma di un istogramma è detta simmetrica se le osservazioni sono bilanciate o distribuite in modo approssimativamente regolare attorno al centro. Una distribuzione è asimmetrica o obliqua se le osservazioni non sono bilanciate; è detta a destra se ha una coda che si estende verso destra (uguale a sinistra).
• Ogiva: linea spezzata che rappresenta la distribuzione delle frequenze percentuali cumulate.

Dati grezzi

• Diagramma ramo-foglia: i dati sono raggruppati secondo le loro cifre più significative (rami) mentre le cifre meno significative (foglie) sono elencate a destra di ogni ramo in ordine.

Grafici per descrivere relazioni fra due variabili

• Per le variabili qualitative:
  • Tabella a doppia entrata: elenca la frequenza delle osservazioni per ogni combinazione di classi di misura di due variabili. Quando le due variabili sono entrambe qualitative si parla di tabella di contingenza.
• Per le variabili quantitative:
  • Diagramma di dispersione: usato per osservazioni accoppiate relative a due variabili numeriche.

Capitolo 3: Indici di posizione

Sono indici che danno un'idea approssimata dell'ordine di grandezza dei valori esistenti.

Tendenza centrale

• Media aritmetica: è la misura di tendenza centrale più comune. Per una popolazione di N valori: µ = (x₁ + x₂ + ... + x_N) / N. Per un campione di n valori: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n. La media è influenzabile dai valori estremi (outlier) per la distanza dalla massa degli altri dati e per la numerosità dei dati. La somma degli scarti è uguale a zero e la somma del quadrato degli scarti è minima. Si può utilizzare solo per variabili quantitative.
• Media ponderata: si considera il peso singolo del dato, w₁x₁ + w₂x₂ + ... + w_nx_n; il peso può essere la frequenza oppure può indicare l'importanza del valore.
• Media geometrica: per calcolare il tasso di crescita medio, x_g = n√(x₁ × x₂ × ... × x_n).
• Mediana: è l'osservazione centrale di un insieme di osservazioni ordinate. Non è influenzata dagli outliers. Non si può usare per le variabili qualitative nominali.
• Moda: se esiste è il valore che si presenta il maggior numero di volte, può non esserci o essercene più di una. Si può utilizzare per tutti i tipi di variabili.

Variabilità

Forniscono informazioni sulla dispersione o variabilità dei valori.

• Campo di variazione (range): è la differenza tra il massimo e il minimo dei valori osservati, molto influenzato dagli outlier e ignora il modo in cui i dati sono distribuiti.
• Differenza interquartile: misura la variabilità del 50% centrale dei dati, IQR = Q₃ - Q₁.
• Quartile: dividono la sequenza ordinata dei dati in quattro segmenti contenenti lo stesso numero di valori.
  • Primo quartile: 0.25(n+1)
  • Secondo quartile: 0.50(n+1) (uguale alla posizione della mediana)
  • Terzo quartile: 0.75(n+1)
• Quantile: In statistica, il quantile è un valore q_α che divide la popolazione in due parti, proporzionali ad α e (1-α), caratterizzate da valori rispettivamente minori e maggiori di q_α. Per calcolare un quantile di ordine α, il carattere deve essere almeno ordinato, cioè deve essere possibile definire un ordinamento sulle modalità.
• Box-plot o numeri di sintesi: minimo ≤ Q₁ ≤ mediana ≤ Q₃ ≤ massimo.

Varianza

• Varianza della popolazione: è la somma delle differenze al quadrato tra ciascuna osservazione e la media della popolazione, divisa per la dimensione della popolazione N, σ² = Σ(x_i - μ)² / N.
• Varianza campionaria: è la somma delle differenze al quadrato tra ciascuna osservazione e la media del campione, divisa per la dimensione del campione n-1, s² = Σ(x_i - x̄)² / (n-1).