Riassunto esame Statistica, Prof. Emanuela Dreassi, libro consigliato P. Newbold, W.L. Carlson, B. Thorne. Statistica. Second edition. 2014. Pearson/Prentice Hall., P. Newbold

Regole di probabilità

P A B P B A ∩ B B A P A

Regola moltiplicativa: Indipendenza statistica (o stocastica) = quando la conoscenza dell'evento B non modifica la probabilità che si verifichi A. P(A|B)=P(A)

Probabilità bivariate: due insiemi di eventi, considerati congiuntamente, sono chiamati bivariati e le relative probabilità sono dette probabilità bivariate.

Probabilità congiunte: Nel contesto delle probabilità bivariate sono le probabilità di intersezioni P(A ∩ B)

Probabilità marginali: le probabilità per i singoli eventi P(A) e P(B) si ottengono sommando le corrispondenti probabilità congiunte.

Teorema di Bayes: fornisce un modo per aggiornare le probabilità condizionate usando le informazioni disponibili; fornisce anche un metodo per modificare i giudizi probabilistici in presenza di nuove informazioni. Siano A e B due eventi con P(A)>0

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

A) P(A|B) = con P(B)>0 a posteriori: dopo che si verifica l'evento

Capitolo 5: Variabili aleatorie: è una variabile che assume i valori numerici in corrispondenza ai risultati di un esperimento aleatorio.

Discreta: assume al più un insieme numerabile di valori (numero pezzi difettosi, numero di errori rilevati)

Continua: assume un qualunque valore di un intervallo (reddito annuo, tempo intercorso)

Distribuzione di probabilità: di una variabile aleatoria è la rappresentazione delle probabilità di tutti i possibili valori che può assumere la variabile.

Funzione di probabilità: P(x) di una variabile aleatoria X esprime la probabilità che X assuma il valore x, come funzione di x. Si rappresenta graficamente con il diagramma a stele. P(x) = P(X=x) per ogni valore di x.

Proprietà della funzione di probabilità: Sia X una variabile aleatoria discreta con funzione di probabilità P(x)

1. 0 ≤ P(x) ≤ 1

probabilità non possono essere negative∑ ( )=1P x2. al variare dei possibili valori gli eventi sono semprexmutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi Funzione di ripartizione: esprime la probabilità che X non superi il valore x F(x ) =0 0P(X≤x )0 Valore atteso: è la corrispondente misura di tendenza centrale per una variabile aleatoria, è∑( )=μ=E X xP( X)la media dei possibili valori pesata con le rispettive probabilità. xÈ uno scalare (riduce la dimensione), è una costante ed è l’equivalente certo di una sommaaleatoria. Varianza di una variabile aleatoria discreta: il concetto di varianza è utile perconfrontare la variabilità di distribuzioni di probabilità diverse.∑2 2 2( ) ( ) ( )=E =σ X−μ x−μ f xx √ 2 Deviazione standard: =σ σ ∑ Valore atteso delle funzioni di una variabile aleatoria: Sia X ( ))= ( ) ( )E( g x g x P xuna variabile

aleatoria discreta con funzione di probabilità P(x) e sia xg(X) una qualunque funzione di X, allora il suo valore atteso, E(g(X))è definito come:

Proprietà del valore atteso: Per una variabile aleatoria degenere che certamente assume il valore a, ha come valore atteso a e varianza uguale a 0. Se b=0 in W=a+bX E(a)=ae Var(a)=0

Cambiamento di scala: sia a=0 in W=a+bX allora E(bX)= bE(X) e2Var(bX)=b Var(X) μ

Proprietà delle trasformazioni lineari: Sia X una variabile aleatoria con media eX2varianza e siano a e b due costanti assegnateσ X μ1. La media è: = E(a+bx) = a + bµ 3. La deviazione è: σ = |x YYb|σ x 2 2 2x2. La varianza è: = Var(a+bX) = b σσ Y

Distribuzione Bernoulli: è la famiglia parametrica per le variabili discrete che indicano se un certo evento A è vero o falso, se si verifica è detto successo se non si verifica è detto insuccesso. x 1-x

Successo: P(X=1)= p P(X=x)=p

(1-p)Insuccesso: P(X=0)= 1-p

La media della distribuzione di bernoulli è: µ= E(x)= x

La varianza della distribuzione di bernoulli è: σ = Var(x)= x

Distribuzione binomiale: è un modello per il numero di successi in n prove identiche e indipendenti, l'ordine in cui si presentano i successi è irrilevante e conta solo il totale e ogni prova ha come esito un successo o un insuccesso e quindi ha distribuzione di bernoulli.

Il numero di sequenze con x successi in n prove indipendenti è dato da:

n! (n-x)

x= (1-c p p)x ( )x ! n-x !

La media della distribuzione binomiale è: µ = np

La varianza della distribuzione binomiale è : σ = np(1-p)

Probabilità congiunta: viene utilizzata per esprimere la probabilità che X assuma il valore x e contemporaneamente Y assuma il valore y. P(x,y)=P(X=x ∩ Y=y)

Probabilità marginali: riguardano una

sola delle due variabili e ignorano l'altra. P(x)=∑ P( x , y)y ∑ P(x , y)P(y)= xProbabilità condizionate: esprimono la probabilità di una variabile condizionatamente adP(x , y) P(x , y)uno specifico valore dell'altra. P(y|x)= con p(x)>0 P(x|y)= con) (P(x P y)p(y)>0Indipendenza di variabili aleatorie discrete: Due variabile aleatorie X e Y sonoindipendenti se e solo se la loro distribzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delleloro distribuzioni di probabilità marginali quindi se e solo se P(x,y) = P(x)P(y) equindi P(y|x) = P(y) e P(x|y) = P(x)Covarianza: misura della variabilità congiunta di due variabili aleatorie, misura la forza dellarelazione lineare tra le due. È il valore atteso del prodotto degli scarti dei rispettivi valoriattesi. Cov(x,y)= E(x,y) -µxµySe due variabili sono statisticamente indipendenti la ρ = 0 non c'è relazione linearecovarianza è nulla.

ρ > 0 relazione lineare positiva

Correlazione: fornisce una misura dell'intensità della relazione lineare tra due variabili aleatorie, con valori limitati all'intervallo da -1 a +1.

Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie congiunte: E(g(X,Y))=∑ ∑ (g(x,y) P(x,y))

Combinazione lineare di variabili aleatorie: W= aX+ bY dove a e b sono costanti prefissate

1. La media di W è: µ = aµX + bµY
2. La varianza di W è: σ^2 = a^2σ^2X + b^2σ^2Y + 2ab Cov(X,Y)

Somme e differenze di variabili aleatorie: Siano X e Y due variabili aleatorie con medie µX e µY e varianze σ^2X e σ^2Y valgono le seguenti proprietà:

1. Il valore atteso della loro somma (differenza) è la somma (differenza) dei loro valori attesi
2. Se la covarianza è 0 la varianza della loro somma (differenza) è la somma delle loro varianze

in alternativa va aggiunto(tolto) il doppio prodotto. 3. Il valore atteso della loro somma è E(X +X +…X ) = µ +µ +…+µ 1 2 k 1 2 k 4. Se la covarianza tra ogni coppia di queste variabili aleatorie è 0, la varianza della loro somma è 2 2 2 Var(X + X +…X ) = σ +σ +…+σ 1 2 k 1 2 k Valutazione di portafoglio: i portafogli sono usati per ottenere un investimento combinato, la quotazione di mercato è data dalla combinazione lineare W= aX+ bY. Capitolo 6: Distribuzione di probabilità continue: Una variabile aleatoria continua è una variabile che può assumere qualunque valore in un intervallo. Funzione di ripartizione: È la probabilità che x sia minore o uguale ad un X0 per un valore X0 fissato. Variabili aleatorie continue: una variabile aleatoria continua è definita dal suo istogramma teorico, chiamato funzione di densità di probabilità. Funzioni di

densità: Normale o uniforme, f(x) > 0 per qualunque x nell'intervallo dei valori ammissibili e f(x) = 0 altrove, l'area sottesa alla funzione di densità di probabilità, f(x), su tutto l'intervallo di valori ammissibili di X vale 1

Media e varianza distribuzione uniforme: (Probabilità x compresa tra a e b )

Media: (a+b)/2

Varianza: (b-a)^2/12

Variabile normale standard (z): È la variabile più usata nelle applicazioni. È simmetrica rispetto allo zero, il suo dominio è da meno infinito a più infinito, ha un MAX per z=0, ha due flessi per z=-1 e z=+1, l'area per z maggiore di 3 e z minore di -3 è inferiore all'1%, E(z)= 0, Var(z)=1

Variabile normale generale: Sia z normale standard, la variabile normale generale x è σ^2 uguale a μ+ z, ed ha distribuzione normale con media μ varianza σ

Standardizzazione: z= (X-μ)/σ

Quantile: Un quantile è una soglia

prima della quale c'è una probabilità α (e dopo la quale c'è una probabilità 1-α) Bisogna utilizzare la tav. all'inverso.

Quantile di una normale qualsiasi: se q è un quantile di z allora μ+qσ è il corrispondente della normale x

La normale approssima la binomiale: se n è grande (n*p*(1-p) maggiore di 9) P(x minore di 50) = P(z minore di (x-n*p)/radq(n*p*(1-p))

Capitolo 7:

Campionamento casuale semplice: E' un processo di selezione della popolazione tale che: ogni unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere estratta, la selezione di un'unità è indipendente dalla selezione di un'altra, ogni possibile campione di dimensione n ha la stessa probabilità. I campioni casuali sono ideali e sono rappresentatitivi della popolazione

Distribuzione campionaria: La distribuzione campionaria di una statistica campionaria (per esempio la media) è la

distribuzione delle statistiche campionarie ottenute su tutti i possibili campioni, della stessa ampiezza, estratti dalla popolazione. Media campionaria: la media campionaria (x) è uguale (x + x + … + x) / n. Il valore atteso di x è uguale alla media della popolazione, qualunque essa sia. (E(x) = µ). La varianza di x è uguale alla varianza della popolazione divisa per la dimensione campionaria. (Var(x) = σ^2 / n). La deviazione standard di x è σ / √n (È usato per misurare l'errore di campionamento, c