Appunti presi a lezione di modellistica numerica avanzata

Scuola di Ingegneria

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

Modellistica numerica avanzata

nella progettazione meccanica

Alessio Fortunato

Anno 2019/2020

1 – Algoritmi di Time-Stepping ......................................................................................................................... 1

1.1 – Discretizzazione temporale .................................................................................................................. 1

1.2 – Stabilità ................................................................................................................................................. 2

1.3 – Algoritmi espliciti .................................................................................................................................. 7

2 – Analisi non lineare ...................................................................................................................................... 9

2.1 – Solutore esplicito .................................................................................................................................. 9

2.2 – Time step ............................................................................................................................................ 10

3 – Modello FE ................................................................................................................................................. 11

3.1 – Formulazione elementi ....................................................................................................................... 11

3.2 – Interfacce ............................................................................................................................................ 12

4 – Time step e time step nodale ................................................................................................................... 14

5 – Contatti ...................................................................................................................................................... 19

5.1 – Contatto TYPE 3 e 5 ............................................................................................................................ 20

5.2 – Contatto TYPE 6 .................................................................................................................................. 22

5.3 – Contatto TYPE 7 .................................................................................................................................. 23

5.3.1 - Compenetrazioni .......................................................................................................................... 23

5.3.2 – Controllo del time step ................................................................................................................ 24

5.3.3 – Rigidezza ...................................................................................................................................... 25

5.4 – Contatto TYPE 11 ................................................................................................................................ 29

5.5 – Contatto TYPE 10 ................................................................................................................................ 29

5.6 – Contatto TYPE 16 e 17 ........................................................................................................................ 29

6 – Teoria degli elementi: stabilizzazione dell’energia di Hourglass ............................................................. 33

6.1 – Solid elements .................................................................................................................................... 33

6.1.1 – Stabilizzazione viscosa ................................................................................................................. 33

6.1.2 – Stabilizzazione fisica .................................................................................................................... 35

6.2 – Shell elements .................................................................................................................................... 37

6.2.1 – Stabilizzazione viscosa ................................................................................................................. 38

6.2.2 – Stabilizzazione elasto-plastica ..................................................................................................... 38

7 – Condizioni cinematiche ............................................................................................................................. 40

8 – Basi sulla mesh ALE in Radioss ................................................................................................................. 41

8.1 – Concetti di base della mesh ALE ......................................................................................................... 42

8.2 – Movimento della griglia ...................................................................................................................... 42

8.3 – Creazione della mesh .......................................................................................................................... 45

8.4 – Interfacce della mesh ALE ................................................................................................................... 45

8.5 – Condizioni al contorno ........................................................................................................................ 45

8.6 – Materiali ............................................................................................................................................. 46

[i]

9 – XFEM .......................................................................................................................................................... 48

9.1 – Formulazione base .............................................................................................................................. 49

9.2 – Modellazione della discontinuità forte ............................................................................................... 51

9.2 – Modellazione della discontinuità debole ........................................................................................... 52

9.3 – Equazioni che governano il sistema.................................................................................................... 53

9.4 – XFEM: implementazione in Radioss .................................................................................................... 59

10 – Plasticità .................................................................................................................................................. 63

10.1 – Contesto generale ............................................................................................................................ 63

10.2 - Plasticità ............................................................................................................................................ 64

10.2.1 – Caso di plasticità 1D ................................................................................................................... 64

10.3 – Implementazione in Radioss ............................................................................................................. 67

10.4 – Plasticità, caso generale ................................................................................................................... 69

10.4.1 – Algoritmi di aggiornamento degli stress .................................................................................... 69

11 – Element locking ....................................................................................................................................... 74

11.1 – Volume locking ................................................................................................................................. 74

11.1.1 – Integrazione selettiva ................................................................................................................ 74

11.2 – Shear Locking .................................................................................................................................... 77

[ii]

1 – Algoritmi di Time-Stepping

1.1 – Discretizzazione temporale

Gli algoritmi di time stepping sono algoritmi che spiegano come affrontare la discretizzazione di un

problema dipendente dallo spazio e dal tempo. Si utilizzano per analisi di dinamica veloce.

La soluzione a livello di elemento è data dalla somma degli spostamenti

= � (, )

(, ) → nodali moltiplicati per le funzioni interpolanti dipendenti dalla variabile

=1 spazia le e stavolta anche da quella temporale.

L’approssimazione può essere effettuata anche nel seguente modo:

Si tengono le stesse funzioni di forma di sempre e si associa, agli

spostamenti nodali, la dipendenza nel tempo. Questa formulazione è più

= � () ()

(, ) → semplice però non è detto che una combinazione lineare di funzioni nello

=1 spazio e nel tempo possa essere sempre trovata per descrivere in via

generale la variabilità della variabile primaria nel sistema reale.

La seconda formulazione tuttavia introduce un errore. Sperimentalmente si è visto che per anche se

∆ → 0

la formulazione è formalmente scorretta, l’errore è tollerabile, viene quindi usata di fatto nei codici di time

stepping.

Cosa sono i codici di time stepping?

Sono codici che procedono a scalini nel tempo, fanno una discretizzazione nel tempo.

La discretizzazione del tempo richiede:

- La definizione di un passo temporale Δ;

Le derivazioni di relazioni di ricorrenza che legano le variabili ad istanti diversi di tempo ( = +

- s+1 s

Δ). Sono relazioni per le quali data una soluzione in un certo istante è possibile calcolare la soluzione

dopo un time step; nota la soluzione al tempo si deve riuscire a trovare quella al tempo .

s s+1

Esistono diverse famiglie di algoritmi per la definizione delle relazioni di ricorrenza (come il metodo

del residuo, dove si linearizza il sistema).

Analizziamo un’equazione che descrive un problema di questo tipo:

̇ + = () 0 < <

con

Con: t ovviamente scelto dall’utente e si definisce in base alle conoscenze del fenomeno e all’esperienza,

max

f(t) carico dipendente dal tempo, a e b coefficienti dipendenti dalla geometria.

̇

Definiamo la derivata come mix di due derivate:

Introduciamo un parametro → 0 < < 1

Quindi: (è una definizione che introduciamo, non proviene da niente)

− Questa è la derivata di

+1

+ = →

̇ ̇

(1 − ) +1 quando

∆ ∆ → 0

+1 +1

Somma pesata di due derivate. Suppongo di conoscere i valori delle due derivate e li sommo pesandoli con il

,

̇

coefficiente Se la derivata coincide col valore di se invece è 0, coincide con il valore di

. = 1 ̇

+1

all’istante s. [1]

Questo è il punto di partenza dello schema che ci

permetterà di avanzare nel tempo e ci lega in modo

algebrico la nostra variabile primaria (lo spostamento) alle

sue derivate. (Tutta la stessa trattazione può essere risolta

utilizzando come variabile primaria l’accelerazione, che

integrata due volte ci dà gli spostamenti).

Se definiamo −

+1

(1 − )̇ + ̇ = ̇ =

+1 + ∆

+1

Possiamo riscrivere che: = ̇ ∆ +

+1 + +1

noto noto

Dalla mia equazione differenziale di partenza inoltre posso scrivere:

1 1

( ) ( )

̇ = − = −

→ ̇

+1 +1 +1

Sostituisco tutto e ottengo: (1 (1

− − )∆ + − )

+1 +1

= + ∆

+1 +1

+ ∆

+ ∆

+1 +1

Otteniamo un’equazione algebrica che ci permette di arrivare alla soluzione al tempo a partire dalla

+ 1

soluzione al tempo . Si ha un grande coefficiente che moltiplica la soluzione al tempo in cui è presente: ,

il , e (caratteristiche del sistema), più il termine in cui compare il carico sia al tempo che ad ,

∆ + 1

anche questo viene pesato. Si noti che per spariscono le informazioni al tempo tra cui il carico,

= 0 + 1

per spariscono, invece, i contributi all’istante s (i contributi di derivata e carico).

= 1

L’equazione ottenuta dipende dall’equazione differenziale di partenza ma è in generale sempre dipendente

dai parametri visti. Quindi, al variare del coefficiente di pesatura ci saranno varie famiglie di algoritmi, questa

trattata è la famiglia alpha.

1.2 – Stabilità

Trattiamo un problema abbastanza fastidioso. Parliamo della stabilità. Cosa succede con l’avanzare nel

tempo? )

= ( +

+1 ,+1

Data la soluzione ad un dato tempo troviamo quella ad che avrà un certo errore dato

+ 1

dall’approssimazione di e amplificato del coefficiente A, (a differenza degli algoritmi di Newton-Rapson

ecc. in cui potevo controllare l’errore (il residuo) ad ogni iterazione, qui non lo riesco a controllare). Al passo

temporale successivo (s+2) la condizione iniziale sarà trovata al passo precedente e già affetto da errore

+1

che sarà a sua volta amplificato. Quindi succede che ad ogni passo mi porto dietro un errore sempre più

grande con conseguente perdita della soluzione reale. Vogliamo quindi che:

CONDIZIONE DI STABILITÀ

• || ≤ 1 (−1 ≤ ≤ 1)

Condizione di smorzamento di tipo numerico. Non mi interessa quanto sia l’errore ma voglio che sia sotto

controllo. ( dipende da: e da a e b che rappresentano il tipo di problema che affrontiamo).

, ∆ [2]

Ci possiamo trovare di fronte a 2 situazioni: STABILE

- Se la condizione di stabilità è soddisfatta per ogni time step ( ) lo schema è detto

∆

(incondizionatamente stabile). Se la condizione è soddisfatta, per un specifico e un qualsiasi, lo

∆

schema è stabile. CONDIZIONATAMENTE

- Se dato un la condizione è soddisfatta per alcuni valori di lo schema è

∆

STABILE.

Nel primo caso la condizione non pone nessuna specifica ulteriore alla soluzione del problema, nel secondo

caso, invece, non si può scegliere il a piacere, si deve scegliere in un certo campo di valori, altrimenti lo

∆

schema, che non è sbagliato, non è più stabile, cioè non porta più a trovare la soluzione.

Abbiamo al variare di vari schemi con diversi ordini di errore:

L’accuratezza va con l’ordine del (Ovviamente bisogna considerare anche l’accuratezza sulla variabile

∆.

spaziale, ma per ora concentriamoci su quella temporale).

DIAGRAMMA DI STABILITÀ:

è un autovalore del sistema, in analogia a quello di un’analisi di dinamica lineare, dipende dalle

caratteristiche del sistema, nel nostro problema dipenderà da a e da b. Sulle ascisse quindi abbiamo il

parametro che contiene tutte le variabili note (a, b e sulle ordinate abbiamo l’andamento di A al

∆ ∆),

variare del parametro Possiamo identificare una serie di curve. Quando si va ad utilizzare un software,

.

questo teoricamente implementa un algoritmo ricorsivo nel tempo per un certo valore di Per un dato

.

software si hanno una di queste curve. Nella pratica si fa il modello, si va a definire un valore di e prima di

lanciare la soluzione si sceglie il così facendo abbiamo un valore alla variabile indipendente

∆, ∆.

Supponiamo che scelgo per esempio Tiro la verticale e noto che sto lavorando con un

∆ = 3, = 1. ≅

che rappresenta il punto di funzionamento del mio software, trovandosi nel campo tra -1 e 1 si soddisfa

0.2 [3]

la condizione di stabilità. Se invece scelgo ci si ritrova fuori dal campo di stabilità, lo posso fare, ma

= 0

1

avrei un problema di instabilità. Per , A è asintotico verso il valore -1 quando

= ∆ → ∞.

2

Per qualsiasi avendo scelto ½ mi trovo sempre in condizione di stabilità. Per questo valore si hanno dei

∆,

punti sopra lo 0 e dei punti sotto lo 0; nonostante soddisfi sempre la condizione di stabilità, se sono sotto lo

0 o sopra lo 0 si hanno delle differenze: in particolare lo schema ricorsivo introduce un disturbo nella

soluzione cioè una sorta di rumore numerico. Per A è asintotico verso il valore 0, di conseguenza

= 0.878,

non viene introdotto il rumore numerico per quindi per gli schemi sono

∄ ∆; 0.878 < ≤