Appunti - algebra lineare numerica

Algebra lineare numerica

Norme vettoriali sopra campo R oppure C

Definizione: Date uno spazio vettoriale V sopra il campo R oppure C, la funzione ||·||: V → R è una norma vettoriale se:

1. ∀_α ∈ R, ∀_v ∈ V ||αv|| = |α| ||v||
2. ∀_v ∈ V, ||v|| = 0 ⇔ v = 0_vec
3. ∀_{u, v} ∈ V, ||u+v|| ≤ ||u||+||v||

Norme

1. ||x||₁ = ∑|x_j|ⁿ_j=1
2. ||x||₂ = √∑|x_j|²
3. ||x||_∞ = max |x_i|

Norme particolari - vettoriali indotte

Sia A matrice quadrata di campo C = (a_ij)_1≤i,j≤n, ||A||₁ = sup_1≤j≤n ||A||

Definizione: Detto le immagini spettrali, ρ(A) = max_λ∈λ(A) |λ|, con λ autovalore

Norme Matriciali

1. ||A||₁ = max_1≤j≤n (∑|a_ij|_i=1)
2. ||A||_∞ = max_1≤i≤n (∑|a_ij|_j=1)

Esempi

Sia A = (1 -1 2)||A||₁ = max(sum|a_ij...

Theorema

Per A,B ∈ R^m×n, C ∈ R^n×r si ottiene:

1. ||A||₁ ≤ ||A||_∞ ||B||₁
2. ||AB||₁ ≤ n ||A||_∞ ||B||₁

Condizionamento di una matrice

Sia k la matrice del condizionamento della matrice A ∈ R^m×n, k = σ_max(A) / σ_min(A)

Norma vettoriale sopra campo R oppure C

Definizione: Dato uno spazio vettoriale V sopra il campo R oppure C, la funzione ||.||: V → R è una norma vettoriale se:

1. ||x|| = 0 se e solo se x = 0
2. ||x|| = || ||x|| ∀ ∈ C, ∀x ∈ V
3. I triangolare: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x, y ∈ V

Norme

Norma : ||u||_ = ( Σ_i=1 to n |u_i|^ )^(1/)

Norma 2: ||u||_2= sqrt(x^2 + y^2 + z^2) (esempi: su ℝ^3, e = ^2 + y^2 ... )

Norma ∞: ||u||_∞ = max |u_i| per u, v ∈ ℝ^(n, m) distanza tra vettori

Norme matriciali - vettoriche indotte

Sia A matrice quadrata in campo C e ||.||_llora: ||A|| = sup |λ|

Definizione: _i massimo spettare: f() → 0_() ||A|| con ’autovalore ...

Norme

1. Norma m. 1: ||A||_m1 = max_j Σ_i=1 to m |a_ij|
2. Norma m. 2: ||A|| ...
3. Norma m. ∞: ||A||_m∞ = max_i Σ_i=1 to n |a_ij|

Esempi: se A = ( 1 -1 )Sigmo gamma_1, A = Bᵀ then A = ( 1e-3 )

Condizionamento di una matrice

Si dice indice di condizionamento della matrice A ∈ ℝ^(×) = k.: = √” limite

Stime dell'Indice di Condizionamento:

• Matrice di Hilbert: h() → nessuna inversione &8467;_compensazioni_lihe.
• Esempio: siano A = [6⁽⁰⁾ 5 7] e b = [5⁽⁰⁾], con b3,3⁽⁰⁾ , b⁽⁰⁰⁾, i sistemi hanno soluzione xk, (0): x + 5b2 - [9⁽⁰⁾ 115⁽⁰⁾]

quindi gli inversi calcolato LU[65,11] : b_LU viene calcolato: b(|b₂ - b₃) = b₃ - b₂ = 72.

per un sistema con anche molte incoerenze non inserere la stima LIBARRANTI [6L2LLL] [LIB

Metodo di eliminazione di Gauss

Esempio: consideriamo il sistema lineare: ( c₁₁ b₁₁ z₁₅ b₃)

1. Si somma si ottiene: i 2 su moltiplica i numeri di ogni equazione si ottengono le stesse soluzioni
2. Si sottraendo una equazione usa il risultato
3. Si se si moltiplica la t-esima equazione per del R si sottrae mentre assembla con il sistema si ottiene un sistema con le proposte nuove con le stesse soluzioni

Si risolva il sistema:

1. Si moltiplica la prima per mx m b = z si sottrae a seconda:

b_x'1z₁₁y₁ 0^b₁c₁y₂^z₁₁0 x_{2y11 0} 0

Si forma strutturale: LU (^{2= b} 3⁰) LU b = HA2c LcX c = b LU_^c((9 NONE C0 0 0)(c = (0 primata A¹⁴ )per deci x₃= 1 sol vett | x₂ = b₁= x₀

Matrici e sistemi triangolari

Una matrice A(a_ij) si dice triangolare superiore se a_ij e inferiore se a_ij

e un teorema elementi invertibili a sin= consigente computazionali di circa 17% operaxione moltiplicazione

Metodo di eliminazione gaussiana senza pivoting

Posto A: a^(n-1)(n-1) ( algebra = b⁽⁰⁾ e possibile sistenre la matrice ascestata

Metodo

1. a supporto crescente x la detta: elevando righe per matrice b⁽ⁿ⁾⁽⁰⁾ si seleziona i inendo alla prima matrice accennata; prim a chi la prima colonna di A si fa a^(n-1) 0 per z₁₁
2. per un un vetocolonna se accoda nel caso un matrice tramite: b⁽ⁿ⁾( b⁽ⁿ⁾⁽⁰⁾0 per selezionare un ampiement ricorda screscente (aⁿ in somma all'iniziom lunga intersto

1^a gauss

1. si chiamate pivot A^(k)_kk per qualche k
2. eliminiamo A^(k)_ik per i > k, con k = 1, ..., n - 1
3. si moltiplica la prima riga per m_ik = A^(k)_ik / A^(k)_kk e si somma alla i-esima
4. si ottiene, successivamente, una matrice a scala L⁽ⁿ⁾, si giunge ad un sistema A^(k) (b) in cui A⁽ⁿ⁾ è triangolare superiore, e quindi il sistema si risolve con le sostituzioni all'indietro

Fattorizzazione A = LU

Un metodo A=LU → la fattorizzazione LU se:

• esiste la matrice quadrata triangolare inferiore con elementi diagonali l_ii = 1 tale che: A = LU
• se i pivot sono tutti non nulli, allora si ottiene, con adattazione di gauss U = A⁽ⁿ⁾ L_ii = 1 per n_{ik = mik ... mn,n-1}

Esempio

S₁ = [2 -3 1 | 5] at termine dell'algoritmo di gauss si giugi ad [1 -1.5 0.5 | 2.5]

m₂₁ = 2 ↴ → m₃1 = 2, m₃₂ = 0.67 ↔ ↴se il pivot algoritmico in posto coincide siamo ai pivot della matrice A_{123m3214230.-impossible}

Fattorizzazione PA=LU

Esempio si risolve il sistema:

1. si cerca il termine maggiore in modulo della prima colonna, indicato con ab si scambia la prima riga con la terza
2. si trova il termine maggiore in modulo dalla seconda riga e si moltiplica la 2a alla terza

n nel processo è stato opportuno sommare alcune righe e inizialmente corrisponde a moltiplicare la matrice dei coefficienti per una matrice di pivottamento.

Band matrix

\((4 \times 4)\) tale che le componenti siano \(0, 1\) e ogni riga e ogni colonna contengano un solo slot on sia 1.

Es. Sia \(P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to x= \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \to \(P_1Ax = \begin{pmatrix} |a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24}| \\ |a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}| \\ |a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}| \\ |a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44}| \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\)

Nel caso del sistema precedente, \(A^{(k)} = \begin{pmatrix} U_k & Y & Z \\ Y & L_k & B \\ Z & B & C \end{pmatrix} \to (n-k) \to L \), si imposta \(U_k = 0\), \(P^{(k)} = P_{\pi 1}P_xA = LU = P_{\pi 1}P_{\pi m}L^{(k)}\cdot\pi^{(k+1)} = \begin{pmatrix} 0 & \ldots \\ I & 0 \end{pmatrix} = R_m\)

Matrice a predominanza diagonale

Premiere per righe: Vol(pi), i termini diagonali in modulo maggiori o uguali alla somma degli altri termini: |a_{11}| ≥ ∑_j≠m|a_{ij}| (predominanza per righe)

∑_j |a_{ji}| \(aE \) è matrice a pd se tale è simmetrica e defini positva allora → mappa fattorizzabile LU.

Implementazione dell'algoritmo per risolvere sistemi lineari

1. calcula la determinante \( P = LU\) se det(\(p\)) è invertibile \(\sim Math\), \(\rightarrow \ \sim Math\)
2. calcola \(PA = LU\), il sistema \(Ax = b\) con \(y=Lb=PL\)
3. calcola incrementando, il ricambio sostituzione in \(y=B\)
4. calcola sostituzione per raggiere soluzione (uscite una almeno)

Decomposizione di Cholesky

Si applica a \( \to\) indefinito \((n+1)\) definite positivo \(A \geq X l 0 \to m = x\) (si e no)

Metodi iterativi

I metodi lineari sono convenzionali per calcolare in metodico… trovare… la soluzione di un sistema lineare.

Sono convenzionali dato che passare cambia in cui quando in rapporto testato poi si possibilità le fornici di caro computazionale. \( \to\) mantiene le soliti zero, questo non inibisce la predominanza dei metodi diretti.

L'intuizione guida si trova versando metotici iterativi, che non calcolano la soluzione esatta che se apparizione assolutamente base.

Questi metodo invite per în guerre inutile sono operazione multiplicativa

Splitting A = D+E-F

D = una anotto diagonale invertibile

E = triangolato superiorante con elementi diagonali nulli

F = triangolato superiorante con elementi diagonali nulli

Esempio \(A = \begin{pmatrix} \ldots \end{pmatrix}\) \( \to A = D - E + F \) e con \(D = \begin{pmatrix}\ldots \end{pmatrix}\) e \(F = \begin{pmatrix} \ldots \end{pmatrix}\)

Splitting A = P - N

P è detta matrice di precondizionamento, con det(P) ≠ 0

Sia Ax = b un sistema lineare: A = P - N per cui può essere riscritto come Px = Nx + b con x = P^-1Nx + P^-1b

Se ρ(P^-1N) < 1, il problema ammette un problema di punto fisso, altrimenti il problema diverge

f(x) = P^-1Nx + P^-1bx_k+1 = f(x_k) = P^-1Nx_k + P^-1b

Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel

Sia A = D - E - F con:

• D = matrice diagonale invertibile
• E = triangolare inferiore con elementi diagonali nulli
• F = triangolare superiore con elementi diagonali nulli

Metodo di Jacobi: P = D, N = E + F

Metodo di Gauss-Seidel: P = D - E, N = F

Iterazione

Sia A = (a_ij), det(a_ij) ≠ 0 valde che a_ii ≠ 0

∑_j=1^ma_ijx⁽ⁿ⁾_i = ∑_j=1^ma_ijx^(n-1)_i

Prendendo secondo metodo:

1. x₁⁽ⁿ⁺¹⁾ = (b₁ - ∑_j=2^ma_1jx_j⁽ⁿ⁾)/a₁₁
2. x₂⁽ⁿ⁺¹⁾ = (b₂ - ∑_j=1¹a_2jx_j⁽ⁿ⁺¹⁾ - ∑_j=3^ma_2jx_j⁽ⁿ⁾)/a₂₂

Convergenza globale dei metodi iterativi

Sia B D - C = (B^-1)N in cui x^* soluzione del sistema Ax = b

Allora ∃ x⁽⁰⁾, la successione definita da x_k+1 = Bx_k c + b converge a x solo se ρ(b) < 1

Altri teoremi

• Se A è a predominanza diagonale stretta per righe, i metodi Jacobi e Gauss-Seidel convergono
• Se A è simmetrica e definita positiva, allora il metodo di Gauss-Seidel converge