Appunti per l’esame “Geometria”, prof. Bartoli, con l’integrazione delle lezioni svolte dal professore.

Definizioni esame geometria

Altezza e figure che la possiedono

L’altezza è la distanza che unisce un vertice alla retta contenente il lato opposto. L’altezza non è definita per tutti i poligoni, soltanto per i quadrilateri aventi almeno una coppia di lati paralleli e per i triangoli. L’altezza di un triangolo è il segmento che ha come estremi un vertice del triangolo e l’intersezione tra la retta dove giace il lato opposto e la perpendicolare ad essa passante per il vertice stesso. Ogni triangolo possiede tre altezze, in quello rettangolo due coincidono con i cateti. L’altezza può essere contenuta nel triangolo o può essere esterna come nel triangolo ottusangolo.

L’altezza di un trapezio è il segmento di perpendicolare che congiunge i due lati paralleli. Per i trapezi, che non siano anche parallelogrammi, hanno una sola altezza. I parallelogrammi ne hanno due, avendo due coppie di lati paralleli. In un rombo le altezze sono congruenti.

Angoloide convesso

Un angoloide convesso è la parte di spazio delimitata da angoli piani con lo stesso vertice e aventi entrambi i due lati in comune con due altri angoli piani.

Angolo

Un angolo è una parte di piano compresa tra due semirette che hanno l’origine in comune, incluse le semirette. L’origine delle semirette viene detta vertice, le semirette invece sono dette lati. Quando un angolo è individuato da due semirette sovrapposte viene detto nullo, se è costituito solo dalle due semirette. Se individua l’intero piano viene detto giro. Un angolo delimitato da due semirette opposte si dice piatto. Un angolo è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati, se invece li contiene è detto concavo. Un angolo è retto se è formato da due rette incidenti quando formano quattro angoli congruenti.

Angolo Hilbert

Definiamo angolo l’insieme di due semirette AB e AC (entrambe con la freccia) aventi vertici in comune A e non giacenti sulla medesima retta. Ovvero BAC:=AB ∪ AC (freccia sopra).

Angolo interno Hilbert

Dato un angolo BAC definiamo il suo interno come l’insieme di tutti i punti D che giacciono simultaneamente dalla stessa parte di B rispetto alla retta AC, e dalla stessa parte di C rispetto alla retta AB.

Angolo esterno poligono convesso

Un angolo esterno è un angolo individuato da un lato del poligono e dal prolungamento di un suo consecutivo.

Angoli complementari

Se due angoli hanno come somma un angolo retto, sono detti complementari.

Angolo maggiore

Un angolo alfa è maggiore di un angolo beta se, quando sovrapponiamo i due vertici e le due semirette, l’angolo alfa è contenuto nell’angolo beta.

Angolo al centro

Data una circonferenza, un angolo al centro è un angolo il cui vertice coincide con il centro della circonferenza stessa.

Angolo alla circonferenza

Data una circonferenza, un angolo alla circonferenza è un angolo che ha come vertice un punto della circonferenza e i suoi lati sono entrambi secanti o uno secante e uno tangente alla circonferenza. Dati due angoli, uno al centro e uno alla circonferenza, che insistono sullo stesso arco, essi si dicono corrispondenti e sono uno il doppio dell’altro.

Apotema

Un apotema è un segmento di perpendicolare che congiunge l’incentro con un lato.

Area e formule

La misura della superficie del piano che costituisce il poligono si chiama area del poligono. Se due poligoni hanno la stessa area, si dicono equivalenti. L’area del quadrato si trova moltiplicando la misura del lato per se stessa. L’area del rettangolo si trova moltiplicando la misura della sua base per la misura della sua altezza. L’area del rombo si trova sia con il prodotto tra la sua base e la sua altezza, ma anche con il prodotto tra le diagonali diviso per due, perché le diagonali sono perpendicolari. L’area del parallelogramma si trova moltiplicando la misura di un lato per l’altezza relativa a quel lato. L’area del trapezio si trova facendo la metà del prodotto tra l’altezza e la somma delle sue basi. L’area del triangolo si trova facendo il prodotto della misura della base per la misura della sua altezza, diviso due.

Asse di simmetria

Dato un qualsiasi sottoinsieme di punti del piano, un suo asse di simmetria è una retta r tale che la corrispondente simmetria assiale di asse r lascia inalterato il sottoinsieme stesso.

Asse di simmetria: esempi

• Triangolo isoscele (è l’asse della base)
• Triangolo equilatero (sono tre, sono gli assi della base)
• Trapezio isoscele (è l’asse della base)
• Rombo (due, rette che contengono le diagonali)
• Rettangolo (due, assi dei lati)
• Quadrato (quattro, rette che contengono le diagonali e gli assi dei lati)
• Tutti i poligoni regolari (assi di simmetria pari al numero dei loro lati)
• Cerchio (infiniti assi di simmetria, rette passanti per il suo centro)

Asse di un segmento

L’asse di un segmento è l’insieme dei punti equidistanti dagli estremi.

Assioma delle parallele

Dato una retta r e un punto A, non appartenente ad r, esiste un'unica retta parallela ad r e passante per A.

Assiomi di congruenza

• Dati un segmento AB ed una semiretta r, la quale ha origine in un punto C, esiste ed è unico il punto D su r tale che AB è congruente a CD.
• Ogni segmento è congruente a se stesso.
• Se due segmenti sono congruenti ad un terzo, allora sono congruenti tra di loro.
• Dati tre punti allineati A, B e C tali che A*B*C e altri tre punti allineati D, E e F tali che D*E*F, se AB è congruente a DE e BC è congruente a EF, allora AC è congruente a DF.
• Siano dati un angolo ABC ed una semiretta DE. Fissato un semipiano individuato da DE, esiste ed è unica la semiretta DF giacente tutta in un semipiano tale che l’angolo ABC è congruente con l’angolo EDF.
• Ogni angolo è congruente a se stesso.
• Se due angoli sono congruenti ad un terzo, allora sono congruenti fra loro.
• Dati due triangoli ABC e DEF tali che AB sia congruente con DE, AC sia congruente a DF, l’angolo BAC sia congruente all’angolo EDF, si ha l’angolo ABC congruente con l’angolo DEF e l’angolo BCA congruente all’angolo EFD.

Assiomi di continuità

Sono l’assioma di Archimede: dati due segmenti AB e CD qualunque, esiste un numero naturale n tale che n per AB > CD. Assioma di continuità: sia data una qualsiasi retta r nel piano e sia fissato un suo verso di percorrenza. Sia (s, t) una partizione di r tale che S maggiore uguale a T per ogni S che appartiene a s e per ogni T che appartiene a t, allora esiste ed è unico il punto P che appartiene r, tale che P è maggiore uguale a S per ogni S che appartiene a s e P maggiore uguale a T per ogni T che appartiene a t.

Assiomi di incidenza

Sono tre: Per due punti A, B passa una ed un’unica retta.