Appunti per l’esame “Geometria”, prof. Bartoli, con l’integrazione delle lezioni svolte dal professore.

Asse di simmetria

Esempi:

• Triangolo isoscele (è l’asse della base)
• Triangolo equilatero (sono tre, sono gli assi della base)
• Trapezio isoscele (è l’asse della base)
• Rombo (due rette che contengono le diagonali)
• Rettangolo (due assi dei lati)
• Quadrato (quattro rette che contengono le diagonali e gli assi dei lati)
• Tutti i poligoni regolari (assi di simmetria pari al numero dei loro lati)
• Cerchio (infiniti assi di simmetria, rette passanti per il suo centro)

Asse di un segmento: L’asse di un segmento è l’insieme dei punti equidistanti dagli estremi.

Assioma delle parallele: Dati una retta r e un punto A, non appartenente ad r, esiste un'unica retta parallela ad r e passante per A.

Assiomi di congruenza: Sono 6: dati un segmento AB ed una semiretta r, la quale ha origine in un punto C, esiste ed è unico il punto D su r tale che AB è congruente a CD. Ogni segmento è congruente a se stesso. Se due segmenti sono congruenti ad

unterzo allora sono congruenti tra di loro. Dati tre punti allineati A,B e C tali che A*B*C ealtri tre punti allineati D,E e F tali che D*E*F, se AB è congruente a DE e BC ècongruente a EF allora AC è congruente a DF. Siano dati un angolo ABC ed unasemiretta DE. Fissato un semipiano individuato da DE esiste ed è unica la semiretta DFgiacente tutta in un semipiano tale che l’angolo ABC è congruente con l’angolo EDF.Ogni angolo è congruente a se stesso. Se due angoli sono congruenti ad un terzo,allora sono congruenti fra loro. Dati due triangoli ABC e DEF tali che AB sia congruentecon DE, AC sia congruente a DF, l’angolo BAC sia congruente all’angolo EDF si hal’angolo ABC congruente con l’angolo DEF e l’angolo BCA congruente all’angolo EFD.

Assiomi di continuità: sono l’assioma di Archimede: dati due segmenti AB e CDqualunque, esiste un numero naturale n tale che n per AB > CD.

Assioma di continuità: sia data una qualsiasi retta r nel piano e sia fissato un suo verso di percorrenza. Sia (s,t) una partizione di r tale che S ≥ T per ogni S che appartiene a s e per ogni T che appartiene a t, allora esiste ed è unico il punto P che appartiene a r, tale che P ≥ S per ogni S che appartiene a s e P ≥ T per ogni T che appartiene a t.

Assiomi di incidenza: Sono tre: Per due punti A,B passa una ed un’unica retta r. Ogni retta contiene almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono tutti sulla stessa retta.

Assiomi di ordinamento: sono quattro: se B giace tra A e C, allora A,B e C sono tre punti distinti su una retta e B giace tra A e C. 2) Per ogni coppia di punti A e B esiste un punto C tale che B giace tra A e C. 3) Dati tre punti distinti su una retta ce n’è al più uno che giace fra gli altri due. 4) Dati tre punti A,B e C non allineati e una retta r che non contiene

nessuno dei punti, se rpassa per un punto che tra A e B, allora contiene anche un punto che sta tra A e C manessuno che giace tra B e C o contiene un punto che sta tra B e C ma nessuno chegiace tra A e C.

Bisettrice: la bisettrice di un angolo è la semiretta con origine nel vertice dell'angolo e interna all'angolo stessso che lo divide in due parti congruenti.

Cerchio: il cerchio è la regione limitata di piano delimitata dalla circonferenza, inclusa la circonferenza stessa.

Circonferenza: una circonferenza è una linea continua i cui punti hanno tutti la stessa distanza da un punto fisso, che prende il nome di centro. Questa distanza fissa viene chiamata raggio.

Cilindro: Un cilindro è un solido di rotazione che si ottiene ruotando un rettangolo attorno ad un suo lato.

Corda, arco e settore circolare: una corda è un segmento che ha come estremi due punti della circonferenza e il diametro è la corda di massima lunghezza che passa per il centro.

della circonferenza. Un arco di una circonferenza è una delle due parti di circonferenza in cui essa viene divisa da due suoi punti. Un settore circolare è una delle due parti di cerchio in cui viene diviso da due raggi. Cono: un cono è un solido di rotazione che si ottiene ruotando un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto. Diedro: un diedro è la parte di spazio delimitata da due semipiani che hanno la stessa origine, ovvero la retta che viene detta spigolo del diedro. I due semipiani si dicono facce del diedro. Un diedro piatto è delimitato da due semipiani che formano un piano, coincide con un semispazio. Un diedro è retto se i due semipiani che lo individuano sono perpendicolari. Un diedro è concavo se contiene i semipiani opposti, invece è convesso se non li contiene. Distanza: La distanza tra due punti non è altro che la lunghezza del segmento che li congiunge. La distanza tra un punto e una retta è la distanza del

punto dal puntocomune tra la retta e la sua perpendicolare passante per il punto stesso. La distanza tra due rette parallele è la distanza tra un punto qualsiasi di una retta e l'altra retta.

Enti primitivi geo solida:

Enti primitivi geo piana:

Figure piane che hanno un centro: Presentno un centro tutte le figure che hanno di simmetria perpendicolari.

Isometria: Una isometria è una trasformazione geometrica che conserva la distanza tra due punti, ovvero tale che: |PQ|= |cerchiosbarrato (P) cerchio sbarrato (Q)|

Mutue posizioni rette spazio: Due rette nel piano sono parallele se non hanno punti in comune, incidenti se hanno un punto in comune, coincidenti se sono la stessa retta.

Omotetia: Una omotetia di centro O e rapporto h diverso da 0 è una trasformazione del piano che a ogni punto P associa il punto Q sulla retta PQ tale che |OQ|= h|OP|

Parallelogramma: il parallelogramma è un

quadrilatero che ha due coppie di lati paralleli. Parallelepipedo: un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi. Un parallelepipedo retto è un prisma retto avente come basi due parallelogrammi. Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto avete come basi due rettangoli. Piramide: una piramide è un poliedro che è delimitato da un poligono e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, i quali concorrono tutti nel medesimo vertice, che si chiama vertice della piramide. I triangoli prendono il nome di facce laterali, l'altezza risulta essere la distanza tra il vertice e il piano che contiene la base. Una piramide retta è tale che il poligono di base è circoscrivibile ad una circonferenza e il piede dell'altezza della piramide deve coincidere con il centro dell circonferenza. Poligoni Hilb: Si definisce poligono una qualsiasi spezzata chiusa nel piano. I punti P1,...,Pn sono detti vertici del poligono.

poligono e i segmenti P1P2,P3P4,….Pn-1Pn (con i trattini sopra) sono detti lati del poligono.

Poligono semplice Hilb: Si definisce poligono semplice una qualsiasi spezzata chiusa semplice nel piano.

Poligono: Il poligono è definito come la parte di piano limitato da una poligonale inclusa, cioè una linea spezzata, chiusa, semplice. Il lato del poligono è un lato della spezzata che lo delimita. Un vertice è un estremo di un lato. Una diagonale è un segmento che ha come estremi due vertici non consecutivi.

Poligono convesso: un poligono è convesso se prendiamo due punti qualsiasi che gli appartengono, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nel poligono. Un angolo interno è un angolo delimitato da due lati consecutivi del poligono che contiene il poligono stesso.

Poligono regolare: Un poligono regolare è un poligono equiangolo ed equilatero.

Poligono inscritto: Un poligono è inscritto in una circonferenza se

tutti i vertici del poligono sono punti della circonferenza stessa. In questo caso la circonferenza è circoscritta al poligono, il raggio della circonferenza è il raggio del poligono e il suo centro è detto circocentro. Sono inscrivibili: il triangolo, i tre vertici sono i tre punti non allineati e per essi possiamo tracciare una circonferenza il cui centro è l'intersezione tra gli assi dei lati del triangolo. Non tutti i quadrilateri sono circoscrittibili, se e solo se la somma degli angoli interni opposti sia un angolo piatto. Poligono circoscritto: un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i lati del poligono le sono tangenti. I triangoli sono sempre circosrittibili ad una circonferenza perché le bisettrici dei tre angoli si intersecano in un unico punto che è chiamato incentro. Non tutti i quadrilateri sono circoscrittibili, devono essere convessi e le due somme delle lunghezze dei lati opposti devono essere uguali, come ad esempio il quadrato.

esempio ilrombo e il quadrato. Invece i parallelogrammi propri e i rettangoli propri non larispettano. Per i poligoni vale che se le bisettrici degli angoli interni si intersecano inun unico punto allora è circoscrivibile. Tutti i poligono regolari sono circoscrivibili aduna circonferenza.

Poliedro: Un poliedro è la parte di spazio limitata da poligoni che giacciono in pianidiversi e tali che ogni loro lato sia comune a due soli di essi. I diversi poligoni prendonoil nome di facce del poliedro, invece i lati e i vertici di ogni faccia si dicono spigoli evertici del poliedro. Una diagonale è un segmento i cui estremi sono i vertici nonappartenenti alla medesima faccia. Se presi due punti apparteniti al poliedro e ilsegmento che li congiunte è interamente contenuto nel poliedro allora è convesso,viceversa il poliedro sarà concavo. Il poliedro ha nomi differenti a seconda del numerodelle facce.

Poliedro regolare: Un poliedro è regolare se

tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti e tutti gli angoli sono congruenti. Sono cinque: - tetraedro regolare (formato da quattro triangoli equilateri) - esaedro regolare (o cubo, formato da sei quadrati) - ottaedro regolare (formato da otto triangoli equilateri) - dodecaedro regolare (formato da dodici pentagoni regolari) - isocaedro regolare (formato da venti triangoli equilateri). Punto medio di un segmento: Il punto medio del segmento DC (—) è il punto di DC (—) che è equidistante da D e C. Punti allineati: Dati n punti A1, A2, ..., An, sono detti allineati se esiste una retta r che li contiene. Posizione retta/piano: Un piano e una retta possono essere tra loro paralleli, incidenti o la retta può giacere sul piano. Sono paralleli quando non hanno nessun punto in comune, incidenti quando hanno un punto in comune e la retta giace sul piano quando hanno infiniti punti in comune. Posizione di due rette: Due rette possono essere tra di loro incidenti, sghembe e parallele. Sono incidenti se

hanno un punto in comune, sghembe se