Appunti Modelli statistici con applicazioni finanziarie

R

X è il processo di volatilità, definito come X = √α + . Per costruzione, X è un processo non negativo. W ,

t t t t

indipendente da X , è un WNP assunto come Gaussiano, per cui ha il 50% di valori positivi e il 50% di valori

t

negativi. Quindi, una volta su due, X subisce un cambio di segno. R rappresenta la variabile risposta dei

t t

rendimenti, il cui quadrato viene chiamato volatilità osservata. Tale processo è riscrivibile nella forma R =

t

t-12

R

√α + * W , dalla quale risulta chiaro che la volatilità attinge informazioni dal rendimenti del periodo

t

precedente (Markovianità), che sono pesati con il parametro (come fa φ in AR(1)). Anche se W è

1 t

Gaussiano, il processo R ha una distribuzione con code pesanti per via della sua struttura moltiplicativa; nei

t

modelli ARMA, invece, la linearità permette di ottenere un modello Gaussiano a fronte di W Gaussiano.

t

Tuttavia, in ARCH(1) la struttura della densità congiunta (da cui si ricava la verosimiglianza, da sottoporre a

2

,

ottimizzazione per la stima di ML dei parametri θ = (α, σ )) ricorda molto quella di una Gaussiana, per via

della Gaussianità del termine di disturbo. t2

Analogamente al modello AR(1), l’ACF di R presenta un tail – off lento per diversi lag (persistenza della ACF):

t2

ciò significa che R ha una struttura di memoria lunga. L’ACF di R , invece, mostra una memoria debole:

t t2

ARCH(1) è serialmente incorrelato per R (WN in senso debole), mentre è autocorrelato per R , quindi R non

t t

è indipendente. In generale, possono essere implementate trasformazioni che implichino esattamente la

t2

stessa struttura nella ACF: utilizzare ARCH(1) su R comporta la possibilità di impiegare AR(1) su R . Anche se

t

questo dualismo tiene, conviene sempre implementare il modello per cui si è nativamente impostato il

problema.

Modelli statistici con applicazioni finanziarie Domenico Laviano

7. Le proprietà del valore atteso condizionato ed il suo utilizzo nei modelli ARMA e GARCH.

Le proprietà del valore atteso condizionato, immaginando che Y e Z siano v.c. con valore atteso finito, sono:

• misurabilità: E [Y|F] = Y se Y è F-misurabile

• linearità: E [Y + Z|F] = E [Y|F] + E [Z|F]

• iterazione del valore atteso condizionato

• estrarre ciò che è noto: E [ZY|F] = Z * E [Y|F] quando Z è F-misurabile

• indipendenza: E [Y|F] = E [Y] se σ(Y) e F sono indipendenti.

Nel modello AR(1), la previsione a 1 istante temporale in avanti è la seguente: E [Y |F ] = φ + φ Y grazie

t+1 t 0 1 t

all’uso delle proprietà di linearità (il valore atteso condizionato di una somma è la somma dei valori attesi

condizionati), estrarre ciò che è noto (φ e φ ), misurabilità (E [Y |F ] = Y perché Y è F -misurabile) e

0 1 t t t t t

indipendenza (E [W |F ] = E [W ] perché W non dipende da F ). Il modello AR(1) ha struttura ricorsiva,

t+1 t t+1 t+1 t

quindi l’equazione può essere utilizzata per effettuare previsioni anche con orizzonti temporali

potenzialmente illimitati. Per n->∞ si ha ergodicità, cioè la media fatta in un istante temporale coincide con

le medie fatte per tanti istanti temporali. Il valore atteso della distribuzione previsionale, quindi, converge a

0

quello marginale ( ). Tale fenomeno è detto mean reversion: qualunque sia la previsione nel breve

1 − φ 1

periodo, allungando l’orizzonte temporale AR(1) prevede il suo valore medio.

Un altro modello lineare analizzato è il modello MA(1). Il suo valore atteso condizionato è definito come

segue: E[Y |F ] = μ + η W sfruttando le proprietà di linearità, estrarre ciò che è noto (μ e η ), misurabilità (E

t+1 t 1 t 1

[W |F ] = W perché W è F -misurabile) e indipendenza (E [W |F ] = E [W ] perché W non dipende da F ).

t t t t t t+1 t t+1 t+1 t

Tale valore atteso condizionato ha il problema di dipendere da una grandezza non osservabile (W ), a

t

differenza di quanto avviene in AR(1). Immaginando di fare estrapolazione con orizzonti temporali > 1, il

modello MA(1) presenta il seguente valore atteso condizionato: E[Y |F ] = μ. Questo dimostra che anche in

t+2 t

MA(1) c’è mean reversion, ma avviene dopo un istante. Ciò è intuitivo perché MA(1) dipende da variabili non

osservabili, quindi non ha molte informazioni da portare con sé. Si dice, quindi, che il processo MA(1) fornisce

previsioni non banali solo allo sfasamento 1, dopodiché banalmente prevede il valore atteso. Questo è il

motivo per cui MA(1) è scarsamente utilizzato per fare previsioni: si parla a tal proposito di capacità

previsionale miope.

Un altro modello lineare è il modello ARMA (che cerca di combinare i benefici dei modelli AR(1) e MA(1)), la

cui previsione per orizzonti temporali lunghi mediante il valore atteso condizionato è non banale: E[Y |F ] =

t+1 t

+ + . Tale valore atteso condizionato coinvolge il termine di disturbo al tempo t: si tratta di un

0 1 1

problema già riscontrabile nel modello MA(1). Si può definire W = Y - E[Y |F ] come l’errore di previsione.

t t t t-1

GARCH (1,1) presenta un valore atteso pari a 0 in quanto prodotto di valori attesi, uno dei quali pari a 0

perché Gaussiano. Un valore atteso nullo non aiuta nella previsione, che è sempre banale.

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8. I modelli per serie storiche non lineari: aspetti salienti dei processi ARCH(1) e GARCH(1) con

termini di errore Gaussiano.

ARCH(1) e GARCH(1) sono modelli markoviani non lineari che permettono di catturare la dipendenza non

lineare tra rendimenti logaritmici utilizzando una struttura moltiplicativa. Tali modelli descrivono meglio di

quelli lineari le serie osservate, ma non migliorano le previsioni.

ARCH(1) è un modello Markoviano dotato della seguente struttura moltiplicativa:

R = X * W , t ≥ 1

t t t

t-12

R

X è il processo di volatilità, definito come X = √α + . Per costruzione, X è un processo non negativo. W ,

t t t t

indipendente da X , è un WNP assunto come Gaussiano, per cui ha il 50% di valori positivi e il 50% di valori

t

negativi. R rappresenta la variabile risposta dei rendimenti, il cui quadrato viene chiamato volatilità

t

osservata. Tale volatilità è diversa da quella implicita, inserita arbitrariamente nel modello di B-S. si dice,

infatti, che il modello ARCH migliori B-S nel senso che considera una volatilità non implicita, che impari dai

dati e sia variabile nel tempo. Con X così definito, la volatilità attinge informazioni dai rendimenti del periodo

t

precedente (Markovianità), pesati con il parametro (concettualmente simile a φ1 in AR(1)). Il processo R t

ha una distribuzione con code pesanti per via della sua struttura moltiplicativa; tuttavia, a causa della

Gaussianità del termine di disturbo, in ARCH(1) la struttura della densità congiunta (da cui si ricava la

2

,

verosimiglianza, da sottoporre a ottimizzazione per la stima di ML dei parametri θ = (α, σ )) ricorda molto

t2

quella di una Gaussiana. L’ACF di R presenta un tail – off lento per diversi lag (persistenza della ACF): ciò

t2

significa che R ha una struttura di memoria lunga. L’ACF di R , invece, mostra una memoria debole: ARCH(1)

t t2

è serialmente incorrelato per R (WN in senso debole), mentre è autocorrelato per R , quindi R non è

t t

indipendente. t2

Alla luce di ciò, ARCH(1) non è in grado di catturare la persistenza con cui l’ACF dei R resta significativa per

diversi lag temporali. La flessibilità del modello può essere migliorata senza incorrere in eccessiva complessità

t-12 t-12

ponendo Xt = √α + R + βX e mantenendo la struttura moltiplicativa di ARCH(1) in R . In questo modo,

t

il processo di volatilità attinge non solo dalla serie sfasata dei rendimenti, ma anche dalla serie sfasata della

volatilità stessa. Un processo con X così descritto prende il nome di modello ARCH(1) generalizzato di ordine

t

1 o GARCH(1,1). GARCH(1,1) diventa ARCH(1) se β = 0: ciò vuol dire che GARCH(1,1) annida ARCH(1).

GARCH(1,1), per via della sua struttura moltiplicativa, presenta code pesanti ed è serialmente incorrelato

t2

(WN in senso debole) per R , ma ha ACF lenta e persistente per R , quindi non è indipendente ma presenta

t

una maggiore flessibilità (a differenza di ARCH(1)). Nonostante le code pesanti, la densità di transizione

presenta, come per ARCH(1), una struttura simile a quella Gaussiana dovuta alla Gaussianità di W . Siccome

t

GARCH(1,1) è WN, ha valore atteso condizionato pari a 0 e non aiuta nella previsione (che è sempre banale).

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9. La funzione ACF per i principali processi stocastici conosciuti. Si evidenzi l’eventuale coerenza

tra l’andamento dell’ACF e l’equazione di previsione associata al modello.

In generale, in ogni modello analizzato una ACF lenta e persistente permette equazioni di previsione non

banali anche per sfasamenti distanti. Al contrario, se la ACF presenta subito un cut – off, l’equazione di

previsione sarà banale.

L’ACF di AR(1) ha andamento decrescente: in presenza di sfasamenti temporali abbastanza distanti, la

memoria del processo tende a diminuire. Tale andamento prende il nome di tail – off. Con una struttura di

memoria abbastanza lunga, è sensato aspettarsi un’equazione di previsione non banale anche per sfasamenti

> 1. Nel modello AR(1), la previsione a 1 istante in avanti è non banale e l’equazione ha struttura ricorsiva,

quindi può essere utilizzata per effettuare previsioni con orizzonti temporali potenzialmente illimitati.

Intuitivamente, la previsione più affidabile sarà quella di breve periodo.

Un altro modello lineare analizzato è il modello MA(1). Il suo valore atteso condizionato con sfasamento

unitario è statisticamente significativo. Immaginando di fare estrapolazione con orizzonti temporali > 1,

tuttavia, il modello MA(1) prevede banalmente il valore medio μ. Questo dimostra che in MA(1) come in

AR(1) c’è mean reversion, ma in questo caso avviene dopo un istante. Ciò è intuitivo perché MA(1) dipende

da variabili non osservabili, quindi non ha molte inf