Appunti Modelli statistici con applicazioni finanziarie

Modelli statistici con applicazioni finanziarie

Domenico Laviano

Domande di teoria

1. Concetti base dei modelli statistici parametrici

Riportare la simbologia chiave per definire in modo appropriato una famiglia parametrica. L’aspetto chiave di un modello statistico parametrico è che la variabilità dei risultati è rappresentata da distribuzioni di probabilità, intese come v.c. caratterizzate dalla presenza di parametri. La distribuzione di probabilità tiene conto degli aspetti casuali tipici della replica di un esperimento. In questo modo, è possibile trovare un compromesso tra la parte sistematica e la parte casuale del modello, al fine di formulare buone previsioni. La formalizzazione di un modello statistico deve essere snella, perché deve soddisfare la necessità di ripetere un esperimento.

L’insieme dei dati che si osservano viene detto campione, pari a y = (y₁, y₂, …, y_n). Occorre immaginare che il campione provenga dalla realizzazione di una certa v.c. Y*, la cui funzione di distribuzione è F_Y*. Il fatto che tutti i dati del campione provengano dalla stessa distribuzione prende il nome di “identica distribuzione” (I.D.). A volte, può capitare che il campione sia pensato come realizzazione di componenti indipendenti di Y* (I.I.D.), cioè la cui manifestazione di un componente non altera in alcun modo la realizzazione di un altro.

Con il termine “fare inferenza” s’intende l’insieme delle operazioni che, tramite l’utilizzo del campione, permette di trarre conclusioni riguardo F_Y*. La natura casuale della variabile Y* determina un’inevitabile incertezza su tali conclusioni; le tecniche di inferenza statistica sono generalmente costruite proprio per garantire che il grado di incertezza sia minimo e quantitativamente misurabile (stima dell’errore).

È naturale pensare che, oltre alla “vera” distribuzione di probabilità F_Y*, ne esistano altre alternative e compatibili con y, indicate con F_Y⁽¹⁾, F_Y⁽²⁾, …, la cui natura può essere molto diversa da quella di F_Y*. L’insieme delle possibili funzioni di distribuzione prende il nome di modello statistico, identificato con I (in corsivo maiuscolo). Il caso speciale in cui gli elementi di I sono tutte funzioni del medesimo tipo (cioè una famiglia di variabili), distinte tra loro solo dal valore di θ ∈ Ω, definisce un modello statistico parametrico come l’insieme:

• f = funzione di densità della v.c. Y
• θ = vettore dei parametri
• Ω = spazio parametrico

Il modo con cui viene costruito un modello statistico è tale per cui non c’è ambiguità: vi è un unico modo per trovare il θ ottimale (θ*), a cui è associata un’unica F_Y*(y; θ*).

2. La funzione di verosimiglianza

Principali proprietà della funzione di verosimiglianza e del suo utilizzo nei processi Markoviani. Per un modello statistico, di cui si dispone di un campione y = (y₁, y₂, …, y_n), si chiama funzione di verosimiglianza la seguente funzione da Ω → R ∪ {0}:

L(θ; y) = c(y)f_Y(y; θ)

dove c(y) = costante che non dipende da θ

L(θ; y), con y fissato, indica che la verosimiglianza dipende solo dal parametro: per questo motivo, L(θ) costituisce una scrittura alternativa della funzione. La verosimiglianza è una quantità non negativa, per cui ha senso introdurre il concetto di funzione di log-verosimiglianza, definita come il logaritmo naturale della precedente:

l(θ) = ln L(θ) = c + ln f_Y(y; θ)

Operare il logaritmo della funzione non altera la posizione in cui si trova il punto di massimo della funzione. Il vantaggio della log-verosimiglianza rispetto alla verosimiglianza consiste in una maggiore stabilità numerica in sede di ottimizzazione.

Si gode di notevoli semplificazioni quando la densità congiunta delle v.c. Y₁, Y₂, …, Y_N è continua: in tal caso si ha che L(θ) = f_Y1,Y2,…,YN(y₁, y₂,…,y_N; θ). Quando vale l’ulteriore assunzione che le v.c. sono tra loro indipendenti, allora la densità congiunta fattorizza e si ottiene che L(θ) = ∏ f_Yi(y_i; θ), generalizzando l’asserto secondo cui Pr(A ∩ B) = Pr(A) * Pr(B) se A e B sono indipendenti.

Per quanto riguarda le proprietà della ML nei processi Markoviani, occorre considerare la verosimiglianza come la densità congiunta di due o più v.c. Visto il caso più semplice in cui la densità congiunta è fattorizzabile come prodotto delle singole densità marginali quando le v.c. sono tra loro indipendenti, nei casi più complessi invece vi è solo indipendenza condizionata e non si può ricorrere al prodotto tra densità marginali. Tuttavia, quando due processi sono Markoviani, la densità congiunta può avvalersi di un tipo di fattorizzazione: la funzione di verosimiglianza diventa il prodotto di tante densità condizionate (non più marginali), considerando uno sfasamento unitario.

3. Indicatori di analisi tecnica: pregi e difetti dei metodi conosciuti e loro collegamenti con modelli ARMA

I principali indicatori di analisi tecnica che sono stati analizzati sono le medie mobili, le medie mobili esponenziali e i metodi di Holt-Winters. Una media mobile (mm) media k osservazioni consecutive di una serie storica; in altre parole, essa è una media calcolata su una porzione di dati, che si evolve nel tempo. Formalmente, una mm è definita con la seguente espressione:

t* = (1/k) Σ y_i per i=t-k+1 a t

A fronte dei vantaggi di grande maneggevolezza e capacità di operare un livellamento delle oscillazioni, i maggiori limiti della mm sono:

• Non può essere usata per calcolare i valori inerenti agli estremi inferiori e superiori della serie storica. Ciò risulta particolarmente svantaggioso, soprattutto considerando che le osservazioni più recenti presentano spesso un contenuto informativo più elevato a fini previsivi, in quanto espressione della congiuntura attuale.
• Viene utilizzata per fare previsioni “ad hoc” quando si conosce la natura del processo che ha generato i dati. Questa assunzione non è realistica in finanza.
• Bassa reattività nel cogliere trend lineari.

In un primo momento, si è cercato di far fronte a tali svantaggi utilizzando le medie mobili esponenziali (MME o livellamento esponenziale):

MME = (1 – α) MME_t-1 + αy_t

Tale espressione indica che la previsione per domani è funzione della previsione per oggi e dell’effettiva osservazione odierna. A fronte dell’importante pregio di pesare l’errore di previsione effettuato, il livellamento esponenziale è lento a reagire quando ci sono forti trend, cioè soffre di un bias per un processo deterministico lineare. Tale distorsione, in particolare, consiste nel fatto che la MME di un processo con trend marcatamente lineare sta sempre sotto il trend stesso.

Tale difetto viene superato con i metodi di Holt-Winters. Considerando un processo Y_t = a_t + b_t + W_t, con a e b reali e W componente WN, la previsione a n istanti in avanti è definita come segue: ŷ_t+n = a_t + b_tn.

Assumendo b_t = 1 e scomponendo l’equazione si ottiene:

• Livello locale = m_t = a_t + b_t
• Pendenza unitaria locale = s_t = b_t

Allora la previsione per n = 1 è: ŷ_t+1 = m_t + s_t

Affinché si dia rilevanza alle ultime osservazioni, m_t e s_t devono essere aggiornati ogniqualvolta un nuovo dato diviene disponibile, considerando:

• Il livello m_t come una combinazione della struttura ricorsiva (m_t-1 + s_t-1) e dell’informazione campionaria più recente y_t.
• La pendenza unitaria s_t come una combinazione della vecchia pendenza s_t-1 e della nuova pendenza, data dalla differenza tra il livello al tempo t (appena aggiornato) e il livello al tempo t-1.

Anche se HW risulta più articolato rispetto alle mm e prevede un gap di un paio di osservazioni affinché sia inizializzato, permette di cogliere la tendenza in atto in maniera adeguata, in quanto non soffre di alcun bias in presenza di un trend locale. Applicando una trasformazione lineare indotta da una mm ad un processo White Noise, si ottiene un processo del tutto assimilabile a un MA con media nulla e varianza pari a σ². Questa trasformazione genera un processo correlato con correlazione spuria: effetto Slutsky - Yule.

Inoltre, un altro collegamento risiede nel fatto che una previsione fatta dal metodo Holt & Winters con livellamento esponenziale doppio coincide con la previsione fatta da un modello MA(2) sulle differenze seconde con particolari restrizioni sui parametri η₁ e η₂.

4. I modelli lineari per serie storiche: aspetti salienti dei processi AR(1) e MA(1) con termini di errore Gaussiani

Nei modelli lineari per serie storiche si assume che il WNP sia una sequenza di variabili i.i.d. con media 0 e varianza finita: in generale, si assume che W_t ~ N(0, σ²_w).

L’assunzione di Gaussianità in AR(1) implica due importanti conseguenze:

• Dai momenti della distribuzione condizionata si ha che E[Y_t+n |F_t] = φ₁ Y_t + φ₀(1 + φ₁ + … + φ₁^n-1) e che Var[Y_t+n |F_t] = σ²(1 + φ₁ + … + φ₁^n-1), da cui si evince che la rapidità della mean reversion dipende da φ₁: se è prossimo a 1, il processo converge lentamente al suo valore medio, mentre se è pari a 0 il processo è i.i.d. e converge in un solo passo. Si noti come con l’assunzione di Gaussianità di W_t il valore atteso della distribuzione previsionale dipenda da una v.c. e non sia più una costante.
• Nella stima dei parametri, assumendo Y₀ = N(0, 1 - φ₁^-1) e WNP Gaussiano, allora anche Y₁ sarà Gaussiana (v.c. chiusa rispetto alla somma). Poiché la distribuzione condizionata di un vettore Gaussiano è ancora Gaussiana, in generale si ha Y_t |Y_t-1 ~ N(φ₀ + φ₁Y_t-1, σ²). Per fare inferenza sul modello, quindi, occorre assumere W_t e Y_t-1 Gaussiane.

In MA(1), sotto l’ipotesi di un WNP Gaussiano, la distribuzione previsionale è Gaussiana e i suoi momenti sono dati dai momenti della distribuzione marginale del processo, per cui si ottiene che E[Y |F ] = μ + η W_t e Var[Y |F ] = σ².