Appunti prima parte Modelli statistici per l'impresa

GENERALIZZANDO:

Quando testiamo un'ipotesi, possiamo commettere due tipi di errori:

- Errore di Tipo I (α): Ri utare H0 quando è vera (falso positivo).

- Errore di Tipo II (β): Accettare H0 quando è falsa (falso negativo).

Decisione \ Realtà H Vera H Falsa

0 0

Accettare H Decisione corretta Errore di Tipo II (β)

0

Ri utare H Errore di Tipo I (α) Decisione corretta

0

α è detto LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA’ e solitamente è ssato molto piccolo (0.05 o anche 0.01)

perchè è ritenuto più grave come errore.

Bisogna dire che se si riduce α, β aumenta e viceversa.

1 - β è la POTENZA DEL TEST, cioè la probabilità di ri utare correttamente l’ipotesi nulla.

Come già detto, poiché l’errore di tipo 1 (H vera, ma ri utata) è considerato più importante,

0

quindi si preferisce tenere sotto controllo il corrispondente rischio.

Ciò che si fa quindi, di solito, è ssare anticipatamente il valore di α, quindi l’errore massimo che

sei disposto a rischiare di fare nel ri utare H , e poi si cerca di ridurre β, cioè il rischio dell’errore di

0

tipo 2.

—> si controlla α e si cerca di minimizzare β.

β dipende dalla dimensione campionaria —> maggiore dimensione campionaria —> maggiori

è meno probabile sbagliare accettando H

informazioni —> il test statistico è più forte —> 0

quando è falsa —> β più piccolo.

Non si può sempre controllare β, ma si può ridurre aumentando il numero di osservazioni, quindi

usando campioni più grandi.

Problema: Dobbiamo trovare un modo per de nire la regione critica (dove ri utiamo H ) e la

0

regione di accettazione (dove accettiamo H .

0

Soluzione proposta: Usare il Lemma di Neyman-Pearson.

L'idea è: ssiamo α (probabilità di ri utare H quando è vera) e costruiamo la regione critica di

0

conseguenza.

Caso speci co: Media di una popolazione normale, con varianza incognita (il caso più comune

nella realtà).

Consideriamo due ipotesi semplici (entrambe speci cano un valore esatto):

H : μ = μ (es.: fatturato medio = 3)

0 0

H : μ = μ μ > μ

(es.: fatturato medio = 3.5), con

1 1 1 0

Esempio concreto: Un'azienda vuole aprire negozi. Campione di 400 negozi, fatturato per mq

segue una distribuzione normale. Si testa se il fatturato medio è 3 o 3.5 (migliaia di €).

X̄

Usiamo la media campionaria come indicatore. Pagina 11 di 70

fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi

μ > μ

- Se 1 0 X̄

Valori alti di supportano H 1

X̄

Valori bassi di supportano H 0

x̄*

- Obiettivo: Trovare una soglia (valore critico) tale che:

X̄ ≥ x̄* →

Se ri utiamo H0

X̄ < x̄* →

Se accettiamo H 0

Come trovare la soglia?

Standardizziamo la statistica:

Poiché la varianza è incognita, usiamo la distribuzione t di Student:

X̄ − μ 0

T = ∼ t

n−1

s / n

Colleghiamo ad α:

Per de nizione: | |

α = P( H H ) = P( X̄ ≥ x̄* H )

ri utare vera

0 0 0

Sostituendo:

( )

x̄* − μ 0

α = P T ≥ s / n

x̄*

Ricaviamo s

x̄* = μ + t ⋅

0 n−1;α n

t è il valore critico della distribuzione t (tabulato o da software).

n−1;α

Osservazione cruciale:

x̄* μ μ

La formula per dipende solo da (il valore sotto H0), non da .

0 1

Implicazione: μ μ > μ

Anche se cambiamo (es.: invece di 3.5 usiamo 4.0), purché , la stessa regione critica è

1 1 0

valida.

Conclusione:

Questo test funziona non solo per ipotesi semplici (μ=3.5), ma anche per ipotesi composte come

H : μ > μ .

1 0

Test unilaterale (a una coda):

Direzione dell'alternativa determina la coda:

μ > μ

L’unica cosa importante è la relazione poiché da questa condizione dipende la forma

1 0

della regione critica:

H : μ > μ →

Se regione critica a destra

1 0

H : μ < μ →

Se regione critica a sinistra

1 0

Quindi la direzione dell’alternativa determina la forma della regione critica.

Il corrispondente test è detto TEST UNILATERALE o A UNA CODA.

Esempio azienda:

X̄ = 3.2 μ > 3

Se osserviamo , è su ciente per concludere che ?

x̄*

Dipende se supera la soglia

Test bilaterale (a due code):

Quando usarlo:

H : μ ≠ μ

Se (es.: "il fatturato è diverso da 3, ma non so se maggiore o minore").

1 0

Regione critica:

Ri utiamo H se:

0 Pagina 12 di 70

fi

fi fi fi ffi

s s

X̄ ≤ μ − t X̄ ≥ μ + t

oppure

0 α/2 0 α/2

n n

Nota: Qui α si divide in due code (α/2 a sinistra + α/2 a destra).

La regione di accettazione per H nel test bilaterale è:

0

s s

μ − t ≤ X̄ ≤ μ + t

0 α/2 0 α/2

n n

Riorganizzando i termini, otteniamo:

s s

X̄ − t ≤ μ ≤ X̄ + t

α/2 0 α/2

n n 1 − α

Questa è esattamente la formula dell'intervallo di con denza per μ al livello

Interpretazione:

H : μ = μ μ

Accettiamo se e solo se

0 0 0 (1 − α) μ

è contenuto nell'intervallo di con denza per .

ESEMPIO μ : [2.8,3.4]

Costruiamo un intervallo di con denza 95% per

H : μ = 3.2 →

Se accettiamo H (3.2 è nell'intervallo)

0 0

H : μ = 3.6 →

Se ri utiamo H (3.6 non è nell'intervallo)

0 0

Conclusione:

Test d'ipotesi e intervalli di con denza sono due facce della stessa medaglia.

μ

- L’intervallo di con denza ci dice quali valori di sono plausibili

μ

- Il test veri ca se un valore speci co è plausibile

0

ESEMPIO: (SI CAPISCE BENE COSI’)

x̄ = 3.167 H : μ = μ H : μ = μ

Con , s=2, n=400, vs ma visto che la condizione è che

0 0 1 1

μ > μ H : μ1 > μ

quindi è come se fosse

1 0 1 0

μ = 3

Ricordiamo che :

0

x̄ − μ 3.167 − 3

0

T = = = 1.6738

s / n 2/ 400

Test Unilaterale Destro: Vogliamo vedere se la media è signi cativamente maggiore di un certo

valore ipotizzato (sotto l'ipotesi nulla H₀). La "regione critica" (dove ri utiamo H₀) è tutta nella coda

destra della distribuzione.

Approssimazione alla Normale Standard: Quando i gradi di libertà sono su cientemente grandi

(in genere n ≥ 30), la distribuzione t di Student è molto simile alla distribuzione Normale Standard

(quella con media 0 e deviazione standard 1). Questo permette di usare i valori critici (z) della

normale invece di quelli (t) della t di Student.

Livello di Signi catività (α): È la probabilità di ri utare erroneamente l'ipotesi nulla H₀ quando è

vera. È ssato a priori dal ricercatore (es. α = 5% = 0.05 o α = 2.5% = 0.025).

Valore Critico (z o t ): È il valore sulla distribuzione (normale o t di Student) che delimita la

α α

regione critica. Per un test unilaterale destro, è il valore tale che l'area alla sua destra sotto la

curva è esattamente α.

Spiegazione Passo-Passo:

Il Dato:

1) Hai un valore standardizzato (statistica test) calcolato t = 1.6738. Questo valore

rappresenta "quanto la tua media campionaria si discosta dalla media ipotizzata sotto H₀", in

termini di errori standard.

La Regola Decisionale:

2) La regola dice: "Ri uta l'ipotesi nulla H₀ se il valore t osservato è

maggiore o uguale al valore critico t_{n-1,α} (o z_α nell'approssimazione)".

R = t : t ≥ t

n−1,α Pagina 13 di 70

fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi ffi

L'Approssimazione Normale:

3) Il testo dice che siccome i gradi di libertà (n-1) sono almeno

30, possiamo approssimare la distribuzione t di Student con una Normale Standard

(distribuzione Z).

• Conseguenza: Invece di cercare il valore critico t sulle tavole della t di Student (che

n-1,α

dipendono da n-1), possiamo usare il valore critico z dalle tavole della normale standard

α

(che è sso per un dato α).

4) Ricavare i Valori Critici z_α per la Normale Standard:

• Caso 1: α' = 5% = 0.05 (Test Unilaterale Destro)

• Cerchiamo il valore z tale che l'area alla sua destra sotto la curva normale standard sia

0.05.

• Per simmetria, questo corrisponde a trovare il valore z tale che l'area alla sua sinistra

sia (1 - 0.05) = 0.95.

• Dove si trova questo valore? Guardando una tavola standard:

• L'area 0.95 si trova tra z = 1.64 e z = 1.65.

Più precisamente, il valore z per cui l'area a sinistra è 0.95 è z ≈ 1.645.

• Signi cato: Se H₀ è vera, solo il 5% dei campioni casuali produrrebbe un valore t

maggiore di 1.645.

• Caso 2: α'' = 2.5% = 0.025 (Test Unilaterale Destro)

• Cerchiamo il valore z tale che l'area alla sua destra sotto la curva normale standard sia

0.025.

• Per simmetria, questo corrisponde a trovare il valore z tale che l'area alla sua sinistra

sia (1 - 0.025) = 0.975.

• Dove si trova questo valore? Guardando la tavola:

• L'area 0.975 si trova tra z = 1.96 e z = 1.97.

• Più precisamente, il valore z per cui l'area a sinistra è 0.975 è z ≈ 1.96.

• Signi cato: Se H₀ è vera, solo il 2.5% dei campioni casuali produrrebbe un valore t

maggiore di 1.96.

5) Confronto e Decisione:

• Caso α' = 5% (z ≈ 1.645):

α'

• Il tuo valore osservato è t = 1.6738.

• Confronto: 1.6738 > 1.645?

• Sì, 1.6738 è maggiore di 1.645.

• Conclusione: Il valore osservato cade nella regione critica (t ≥ 1.645). Quindi si

ri uta l'ipotesi nulla H₀ al livello di signi catività del 5%.

• Caso α'' = 2.5% (z ≈ 1.96):

α''

• Il tuo valore osservato è sempre t = 1.6738.

• Confronto: 1.6738 > 1.96?

• No, 1.6738 è minore di 1.96.

• Conclusione: Il valore osservato non cade nella regione critica (t ≥ 1.96).

Quindi non si ri uta (si accetta) l'ipotesi nulla H₀ al livello di signi catività del

2.5%.

Con &alph