Appunti Metodi matematici

NCWIFIPIDW{ {I IpldwM' MZIPIR 142FC )Inoltre )) = =, 2 142Quindi Var 2 _ nnn, n 'IPC Mdato tsV'In SIabbiamo edNEINNEINOvvero o>coni nn ., , ngzi. , indica/ lav. B effettuare piccolostima didxla prendiamo che 88di precisionefa approssimazione)µ(per ): un= ''DIprobabilità dialla IR Med sbagliarelimite MperciòSI daimponiamo ✗ cuic- ✗ nun n , 2✗ gHSZcalcolo didella stimaal e)( ugualeragionamento . lautilizza poichédistribuzionelail rispettoMontecarlo adrisoluzioneN.B. metodo (integrali unasi di: per "IRrisoluzione inefficiente )Lebesgue grandedimensionerisultare diquando la èpuòcon .( diEs )approssimazione IT :È È1 dichesappiamo arcsinix O)= == -° 21- ✗ È //1 dx 1/" 1 I(" di8✗Possiamo '( 2 'scrivere × '' ✗ ✗pero = .=p× È 2paIR È 2a ,21- a.01- ,☐ ✗ ×a.✗ 0 × ,,moltiplichiamo dividiamoe densitaottenere

'2per unaper intervallo)( densita ( )dove della U ]sull'× la distribuzione [' 0.1-a' uniforme-1gix ) e .È0 , // 3Perciò VI1 dxdi8it ;-)0' t' ✗, ,pa2IR6 2a 1-a. ✗✗ dxl/f- µ( )× Pxi VI?Quindi consideriamo distribuzioned. ed{di ilapplichiamoi. ;-)i.famiglia } 0con✗una a.v. i = ,, ,,Montecarlo allametodo di funzione f- )( × attesovalore." 'PC1 limitedove3 dellaed ) Mchiamiamo ilS rappresentaMIT fcxcui funzione )i peri=~ n= .ni NSZ2 ,1- ✗ max3 }{ X2È ) crescente InoltreOvvero f- 3×11M ZVJf' edcioèI( )funzione0 )(E f- (G)flo✗Max ( =3i 0-✗= = =, , . ,,a. }× ,a. ×12PCQuindi SIda14=2 V5 ITcui n, ngz precedentiNedv. B ragionamentiSsceglie stessiglisi: con .l'metodo( alternativo diEs )approssimazione ITper : ( '0 ( YIEIRl' })rappresenta {del C-dicentratocerchioche ' yzinit raggio 1sappiamo 1area ix.ovveroe ✗ +/Quindi f1- (C) IdxdyIT DX dy( )Y=

✗" = =, ,gpyz' ✗ iii. i [• (Xiii caratteristica( ) funzione dobbiamo dividere 2del perpercerchio11- densitatrasformarle in 'Qquadratonotiamo cerchioche contenutotale _ nele = Èii :].→ pitPossiamo didy quadratoquindi moltiplicare caratteristica dellac' in qlx✗ )funzione yper , ./:* (/'(dxdy )dxdy × dxdyOvvero TI 1( )(YÈ)(Y Y){ ): ✗{ ) 2.2-1× ( ) -1×y× /, , . ., .z zQChiamiamo intervallo UCdella )sull'distribuzionedensitàla)) uniformee giygcx ./Quindi dadxdy cui1T -11=44 -1181×18141 fcx ix.jx YI=p , ,, ! ÈConsideriamo le di { Pye} Pxed UC ){famiglie / distribuzionei. d.✗V. i.Yia uniformei con = =. -, ., , -1,11,1-N N rappresenta la probabilità il punto YIIEQche ( ✗ i.(Definiamo )ed (f )()2- ( ) 4 YiZN(inoltre Yi ) ✗YiYi 44 ✗✗Xi dentroi.i trovi alloraal cerchioneli. cerchioi.= si ( cascase=, ,, , (i( ( i1 1 ildivide= = vale 0altrimenti si1)( e numeroper✗ yii. = ,di

' ancheinvece uniformeconvergenza enon, ., UnInfatti " IN"FIN limite1 C- il èc'0( quindifnlx -0 )) sup sup 'sup uniformeconvergenza× ×= non e non- -, , .)[E E[ ✗E ✗1✗ ] 0,10,1 estremo superiore•µ di 1×4 9SUCCESSIONI ESTRATTE• {consideriamo consideriamo }{ strettamente monotona} ulterioresuccessione un' successione nnuna eun µneµneKEINcrescente ha( )si nnnkovvero +1, . {{Chiamiamo { }da/ ESTRATTASUCCESSIONEbr } una UnOunr= new µ .new ne, , KE INfingon { limitedaTeorema } alloallora estratta stessose Unsuccessione convergeogni: µ .ne, FissiamoPxÈ t.IRSia { d. distribuzionedi/)IP sia ✗ i. i.( E successioner auna v. eeav.una su coni =. .,. ,. t1{ se il "rappresentaconsideriamo borelianala ( particolare( l'chefunzione ) in) iiwiilw v. auna unaiiwi =. , ese icwo ,1- tco ,distribuzione di BernoulliV. )a. con . =P=Pparametro della (=P )(Calcoliamo )distribuzione 1) t(il t

(ovvero tip p i., VarDa attesovalore mentre'il lait ') varianza Plisaracui )sara p-,, ," 114PLYNEIN )¥ Sadlegge quindihaApplichiamo deila grandi numeri avremo itsi )ovvero e=n n, hfzvalida ed EIRV-nEIN.US Tt0> . -suppl ) V-nc.INQuindi tsS ed 0it ) >n, ,qngTEIR di tvelocitavalore 'atteso rispettoal uniformeprobabilità convergenzaOvvero in conYn aconverge, .Sia grandidei{ / dueladi numerileggevalga deiSn cuiD)negative ( (successioneuna v. r E. persua. unoconnonnein , nSiaPerciòset esistedi ildi atteso Tniwiipotesi valore inoltre Skinfinito WEI) Snsicuro av.) unacon, , .. . " ,=dei Pensiamo dell'{di Tniwmentretrovarciad allaipotizziamo delintervallo trascorso}Snstazione tra eddibus ilbus( tempo il passaggioesempio come )n -1 passaggio bus nne., ,)Sndeltrascorsotempo totale ililrappresenta buspassaggioper . V'NEINIPfinito Infatti alloraed (ad allorauguale E)Sn a) fossepoiché esistevalorev. B il atteso sn( =D se così+

non=: , ,., E-{ n se Pldwio+ { NIPISla / )considerare semplice Kiwicuipossiamo Kiwifunzione iii. toion per -== = -altrimenti .{ o,rfsiwipldwlnlpls-twlv-nc.INtlwerSiwMa quindiHwi ) e .Si verificare casi2possono :rfsiwilpldwIPIS )allora snquindi 00se ) 0• + io == , rfsiwilpldwPIS Perciò)colSe doveallora alloracostante positiva0 Cn+ +cc cone +ioè nseuna• = ., .Siwil