Appunti meccanica razionale con esercizi

Revisionato il 30/06/2026

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Cinematica: Cinematica del punto. Campo delle accelerazioni. Teorema di Coriolis. Composizione delle velocità angolari. Derivata di un vettore rispetto ad osservatori diversi. Moti rigidi …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Interfacoltà

Dal corso del Prof. Napoli Gaetano

Università Università del Salento

A.A. 2021-2022

232 pagine

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Calcolo vettoriale

vettore: ente geometrico caratter.I. da direz., verso e modulo

rett., attraz., per ins. vettore, direz. versi, intensità della forza

J V V

spazio vettoriale: struttura algebrica costituito da add. e moltip.

due vettori M, V. V
sono cat d. V, d. V, A scalare

M + V c V, somma
αΜ c V, moltiplicazione
∃ 0 t.c 0 + M – M, V

1. somma con reg. parallelogramma

2. moltiplicazione per uno scalare(vettore con stessa direzione)

0 < α < 1

d < -1

-1 < d < 0

CALCOLO VETTORIALE

Vettore: ente geometrico caratteriz da direz, verso e modulo

Asse verticale: struttura algebrica caratterizzata da add e molt

Due vettori: H, V V

a ε &mathbb{R}

1) H + ψ ε V somma

2) α H ε V molt.plis t.auc

3) ∃ 0 tc 0 + H - H κH

somma con reg parallelogramma

molt.plis per uno scalare (vettore con nessun cambiazione)

0 < α <1

d < -1

-1 < d < 0

consideriamo una base ortonorm. (3 vettori): mutuamente ortogonali di lung. 1)

ogni vettore si esprime in modo univoco come comb. lineare alla base (i.e. lett. in scrive in rel. alle sue coord.)

̅ = ̂ + ̂ + ̂

̅ = ℎ ̂ + ℎ ̂ + ℎ ̂

introducendo un altro vettore M — ricordiamo alle proprietà

+ ̅ = (ℎ + ) ̂ + ( + ) ̂ + (ℎ + ) ̂

( = ( ℎ) ̂ + ( ) ̂ + ( ℎ) ̂

0 = 0 ̂ + 0 ̂ + 0 ̂

quali altre operaz. si possono fare con i vettori?

PROD. SCALARE

̅ ⋅ ̅ → ℝ

̅, ̅ ∈

̅ ⋅ ̅ = ||̅|| ||̅|| cos

̅ ⋅ ̅ = ||̅|| ||̅|| cosa(2 - ) = ||̅|| |||| cos(-) = ||̅|| |||| cos = ̅ ⋅ ̅

se due vettori sono ⊥ (ortogonali), il loro prodotto scalare è 0.

poiché il cos è 0

propr.: ̅ ⋅ ̅ > 0

∀ ⋅ \= 0 → = 0

la dimostrazione del prod. scalare tra ̅ ⋅ ̅ utilizzando:

aj ̂ ĵ ̂ k̂

̅ ⋅ ̅ = ||̅ ||²

H^OO

il prod scalare fra due vettori antologici da M ⋅ M cos = ||²

H̅ ⋅ ̅ = ℎ + ℎ + ℎ = ̅ ⋅ ̅

̅ ⋅ ̅ = ℎ² + ℎ² + ℎ²

cosa si può fare col prodotto scalare?

Suppongo una retta con vettore l̂, e mi rode fare la proiez. di v̂ sul l̂

v·l̂ = |v|*|l̂|cos(θ)

|l̂| = 1

pro. direzione e il “l̂” suppongo θ =

|v|cosθl̂ = |v̂|cosθl̂ = (v̂·l̂)l̂

non cambia se moltip?

proiez. di v̂ lungo la retta del vettore l̂

v̂=_{v_x} l̂=_v̂·l̂

suppongo î è nel piano e voglio trovare la componente di v* sul piano

v̂*^v*̂-v̂

v*̂=_{v̂-(v̂·l̂)l̂}

proiezione sul piano <î·ĵ> di M

M – (M·î)î - M_yĵ + M_zk̂

PROD. VETTORIALE

H x V = W W=H x V

modulo |H x V| = |H| |V| sen θ
verso (regola di Lenz) 0 < θ < π quindi θ > 0

H // V ⇔ H x V = 0

poiché il prod. vett. gode dell'anticommutatività, se cambio l’ordine devo cambiare il segno

H x V = - V x H

in coord. cartesiane

W = H x V = W_x î + W_y ĵ + W_z k̂

per definire W_x W_y W

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