Meccanica razionale e statistica - Appunti ed esercizi

P O.

⃗⃗⃗

/

Se cerchiamo un punto del corpo che in quell’istante non si muove lungo la direzione

C

perpendicolare all’asse, ma ha velocità parallela all’asse stesso, otteniamo l’asse di Mozzi.

L’asse di Mozzi è una retta nello spazio lungo la quale i punti del corpo si muovono solo

traslando (senza quindi ruotare localmente), mentre tutti gli altri punti ruotano attorno ad essa.

Velocità assoluta di un punto è la sua velocità rispetto a un sistema di riferimento fisso

→

(assoluto), cioè un sistema che non si muove nello spazio.

Velocità relativa la velocità del punto rispetto a un sistema di riferimento mobile (che si

→

muove rispetto a quello fisso).

Accelerazione assoluta di un punto è la sua accelerazione rispetto a un sistema di

→

riferimento fisso (assoluto), cioè un sistema che non si muove nello spazio.

Accelerazione relativa l’accelerazione del punto rispetto a un sistema di riferimento mobile

→

(che si muove rispetto a quello fisso).

Moto assoluto il moto che un punto compie rispetto a un sistema di riferimento fisso nello

→

spazio (detto sistema assoluto o inerziale).

Moto relativo il moto che un punto rispetto al sistema mobile.

→

Moto di trascinamento è il moto che un punto compie a causa del movimento del sistema

→

di riferimento mobile rispetto al sistema fisso (assoluto).

Appunti presi a lezione -pag. 11- Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale e Statistica 2025

Appunti presi a lezione -pag. 12- Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale e Statistica 2025

Appunti presi a lezione -pag. 13- Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale e Statistica 2025

Appunti presi a lezione -pag. 14- Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale e Statistica 2025

4 13/10/2025

LEZIONE DEL

Parametri Lagrangiani (Lagrange) sono le coordinate (x,y) o variabili che identificano la

→

posizione di un punto (o di un corpo continuo) nel tempo, seguendolo lungo il suo moto. Nel

metodo lagrangiano, si studia il moto seguendo ogni singola particella del fluido.

Per farlo, si assegna a ciascuna particella un insieme di parametri lagrangiani, detti anche

coordinate materiali o etichette delle particelle, che la identificano in modo univoco.

Il moto del sistema è noto una volta che siano assegnate le leggi orarie.

Sia dato un sistema a gradi di libertà e di parametri lagrangiani .

→

DEFINIZIONE n q , q , …, q

1 2 n

Ogni relazione del tipo:

SCLERONOMO (indipendente dal tempo)



f (q , q , …, q ) = 0

1 2 n REONOMO (dipendente dal tempo)



f (q , q , …, q it) = 0

1 2 n →

È vincolo di posizione e ha l’effetto di ridurre il numero n di gradi di libertà n n – 1

In un sistema a gradi di libertà è soggetto solo a

→

PROPRIETA’ GENERALE (P , s = 1, …n) n

s

vincoli di posizione scleronomi allora: P = P (q , …, q ) s = 1, …, n.

s s 1 n

Se invece almeno un vincolo di posizione è reonomo allora: P = P (q , …, q it) s = 1, …, n.

s s 1 n

Assegnate le leggi orarie allora il moto del sistema è dato da:

q = q (t), h = 1, 2, …, n.

h r

P (t) = P [q (t), q (t), …, q (t)] s = 1, …, n. SCLERONOMI

s s 1 2 n

P (t) = P [q (t), q (t), …, q (t) it] s = 1, …, n. REONOMI

s s 1 2 n

Spostamento (infinitesimo) virtuale è un qualunque spostamento infinitesimo compatibile con

→

la natura dei vincoli pensati all’istante considerando come fissati. È invertibile se lo spostamento

opposto è ammesso alla natura dei vincoli.

Primo principio della meccanica è uno dei principi fondamentali della meccanica classica

→

formulati da Isaac Newton.

Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, se non è costretto a mutare tale

stato da forze applicate ad esso.

Se su un corpo non agiscono forze (o se le forze si compensano, cioè la loro somma

vettoriale è nulla), allora:

• rimane fermo se era fermo;

Appunti presi a lezione -pag. 15- Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale e Statistica 2025

• continua a muoversi di moto rettilineo uniforme (cioè con velocità costante) se era in

moto. ∑⃗ = 0 ⇒ ⃗ =

Forze assolute o vere sono quelle forze reali che derivano da interazioni fisiche effettive tra

→

i corpi. Sono chiamate anche forze reali per distinguerle dalle forze apparenti o fittizie, che

invece non derivano da interazioni fisiche, ma appaiono solo quando si osserva il moto da un

sistema di riferimento accelerato.

Una forza assoluta (o vera) è una forza che ha origine da un’interazione fisica reale tra due corpi, come la

gravità, l’attrito, la tensione di una corda o la reazione normale.

⃗

Secondo principio della meccanica  = ⋅ ⃗

La forza risultante che agisce su un corpo è uguale al prodotto della sua massa per l’accelerazione che essa

produce.

• La forza è la causa che cambia lo stato di moto di un corpo (cioè ne provoca

un’accelerazione);

• La massa misura la resistenza che il corpo oppone alla variazione del suo moto (cioè la

sua inerzia);

• L’accelerazione indica quanto e in che direzione cambia la velocità del corpo.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Terzo principio della meccanica  = −

A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. In altre parole, se un corpo A esercita una forza

su un corpo B, allora il corpo B esercita su A una forza uguale in modulo, opposta in direzione e di verso

contrario.

Forze fittizie sono forze che non derivano da un’interazione reale tra corpi, ma appaiono

→

solo quando si osserva il moto da un sistema di riferimento non inerziale, cioè, accelerato o in

rotazione.

• Non ha un corpo che la esercita → non è una forza vera;

• Serve solo a “correggere” la descrizione del moto in un sistema non inerziale;

• È proporzionale alla massa del corpo (), proprio come una forza reale. È proporzionale

alla massa del corpo (), proprio come una forza reale.

Moto assoluto è un concetto della meccanica razionale che serve a descrivere il movimento

→

di un punto (o corpo) rispetto a un sistema di riferimento fisso, cioè non in movimento.

Terne inerziali o galileiane sono sistemi di riferimento fondamentali in meccanica, usati per

→

descrivere il moto dei corpi senza introdurre forze fittizie. Un corpo libero rimane in quiete o si

muove di moto rettilineo uniforme se non agiscono forze su di esso.

Appunti presi a lezione -pag. 16- Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale e Statistica 2025

5 20/10/2025

LEZIONE DEL

Forza di Coriolis è una forza apparente (o fittizia) che compare quando si osserva il moto di

→

un corpo in un sistema di riferimento in rotazione (come la Terra). La forza di Coriolis agisce su

un corpo in movimento all’interno di un sistema rotante e devia la traiettoria del corpo rispetto a

quella che avrebbe in un sistema inerziale. ⃗ ➢ forza di Coriolis

➢ massa del corpo

⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗)

= −( ⋅

➢ vettore velocità angolare del sistema rotante

⃗

⃗ ➢ velocità del corpo rispetto al sistema rotante

⃗

⃗

Prodotto vettoriale all’interno della parentesi

• La forza di Coriolis non esiste realmente: appare solo perché il sistema di riferimento ruota;

• Essa non compie lavoro, poiché è sempre perpendicolare alla velocità del corpo.

Reazioni vincolari sono le forze (e/o momenti) che un vincolo esercita su un corpo per

→

impedirgli di compiere un certo movimento. Ogni vincolo limita parte della libertà di moto del corpo

e, in cambio, esercita una reazione che “mantiene” quella condizione. se appoggi un libro

ESEMPIO:

sul tavolo: il tavolo è il vincolo, la gravità spinge il libro verso il basso, e la reazione vincolare è la

forza con cui il tavolo spinge verso l’alto, impedendo al libro di cadere.

Postulato: Le reazioni vincolari sono le forze necessarie e sufficienti affinché il vincolo sia rispettato, e non

compiono lavoro virtuale per spostamenti compatibili con il vincolo.

Quindi, un vincolo reagisce solo quanto serve per far rispettare la condizione imposta (né più né

meno). Nei movimenti ammessi (compatibili) dal vincolo, la reazione non compie lavoro → è

sempre perpendicolare agli spostamenti ammessi.

Direzioni delle reazioni vincolari 

Postulato: Le reazioni vincolari sono le forze (o momenti) che i vincoli esercitano sui corpi, tali da impedire

i movimenti vietati e non compiere lavoro virtuale per spostamenti compatibili con il vincolo.

La reazione vincolare è diretta perpendicolarmente alla direzione del moto impedito. Per cui, la

reazione è ortogonale allo spostamento ammesso. Quindi non compie lavoro virtuale (perché la

forza è perpendicolare allo spostamento virtuale).

Equilibrio di un punto materiale si dice che un punto materiale è in equilibrio, o che le forze

→

che lo sollecitano si fanno equilibrio, quando l’azione complessiva di queste forze è tale da

mantenere in quiete il punto; cioè, non determina sul punto, a partire dalla quiete, alcuna variazione

di velocità.

Un punto materiale è in equilibrio quando la risultante di tutte le forze applicate è nulla.

∑ = 0

⃗⃗ ⃗⃗⃗ oppure, scomponendo lungo gli assi cartesiani: ∑ = 0

{

= ∑ = 0

∑ = 0

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale è che esista un sistema di reazioni

vincolari , compatibili con la natura dei vincoli, tale da equilibrare le forze attive.

Forza posizionale è una forza che dipende solo dalla posizione del punto materiale rispetto

→ ⃗ ⃗

a un certo riferimento, e non dipende dal tempo né dalla velocità. (⃗)

=

• conservativa: se il lavoro lungo il percorso chiuso è nullo;

• potenziale

Appunti presi a lezione -pag. 17- Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale e Statistica 2025

Forza conservativa è una forza posizionale per la quale il lavoro compiuto dipende solo dai

→

punti iniziale e finale, e non dal percorso seguito.

Lavoro è