Appunti meccanica razionale

Vettori liberi

Allora lo spazio in cui si suppone che avvengano fenomeni descritti nell'ambito della meccanica classica è uno spazio euclideo affine tridimensionale che indichiamo con E i cui elementi P,Q... sono punti P ∈ E.

A E è possibile associare lo spazio V di tutte le traslazioni su E cioè di tutte le trasformazioni t: E → E tali che ∀(P,Q) ∈ E segmenti orientati PQ e P'Q' ove P' = t(P) e Q' = t(Q') sono equipollenti cioè hanno stessa lunghezza, direzione e verso. W = t'∘'t'(R)∘t(E = P'Q'), sono equipoll. ∨

Giusto poiché la traslazione vettoriale è la stessa, cioè t, quindi V punto... ∨

Pensato ogni elemento di V può essere individuato mediante un segmento orientato poiché la trasformazione U(.) non fa che traslare tutti punti di E di uno stesso segmento orientato U, V sono dei vettori.

Preciso meglio la relazione tra E e V assumendo che V coppia di punti P,Q ∈ E esistono un vettore U ∈ V: U(P)=Q cioè il vettore U corrisponde alla traslazione individuata dal segmento PQ dado origine.

Fissato un punto O ∈ E è un'applicazione che ad ogni punto P∈E fa corrispondere un vettore u ∈ V: U(O)=P da qui vettori si possono indicare anche come: u(P=0)

Definiamo adesso modulo di un vettore (u) l'intensità dell'estremo rispetto all'origine, che è nulla solo quando (u)

Infatti è necessario isolare una posizione ed una dimensione generica in uno spazio R₃.

Ciò comporta l'esistenza di una base di tre vettori {e₁, e₂, e₃} non complanari tra loro, tale che ogni vettore u di tale spazio può sempre sensale in un solo modo come combinazione lineare di base

u = u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃

dove u₁, u₂, u₃ sono le componenti di u rispetto alla base

Infine definiamo il vettori con norma euclidea unitaira

detti versori |v| = 1

Un qualsiasi vettore u = l/|u|

Op invarianti relatori.

1) Dati due vettori u ∈ V ∈ V:

Chiamiamo somma di u e v una nuova vettore u + vintuitivo del seguente orientato Q = O

e che la somma è commutativa infatti

u + v = v + u

Ed è associativa Consideriamo

Si nota banalmente che

(u₁ + u₂) u₃ = u₂(u₂ + u₃)

2) Se m è uno scalare e u un vettore, la moltiplicazione di m per u è un vettore mu il modulo m|u| e la direzione

e uguale a quella di u versa cercando m meno a u

u = (-1)u

3) Chiamanza di differenza fra due vettori u v E V la somma

di un vettore con il contrario dell'altro

u - v = (u + ( - v)

u + ( - v) = P = Q

Ricorda: i vettori dicono tra indipendenti s c 1 in cerioni

Vettori applicati

Grandezze fisiche come le forze e le quantità di moto...

1. Chiamiamo vettore applicato la coppia _(A,v) di un punto...

2. Otteremo un momento del vettore applicato _(A,v) rispetto a un punto O...

M_o = v∧(O−A)

3. Poichè un momento assiale del vettore applicato _(A,v) rispetto di un'asse orientata...

M_v = v∧(O−A)₁⋅û = v_∧(O−O1)+(O₁−A).

∎

∀A (O−O₁)∧û...

Û = (O₁−A)⋅û alleggerà ... sostituendo da t_o = 0...

∎ = 0 se v⋅û = 0 oppure se i vettori applicati...

Adesso ci limiteremo a considerare sistemi...

1. S₁ = Σ sistemi di N vettori applicati:

Σ_i=1^N v_i

Chiamiamo risultante del sistema S_i...

R = Σ_i=1^N v_i

Mo = Σ_i=1^N v_i∧(O−A_i).

Chiamiamo momento assiale risultante rispetto a un asse û...

M_v = Σ_i=1^N v_i∧(O−A_i)⋅û.

L’immagine di P in ℝ è definisco la traiettoria del punto X

relativo al moto P(t).

L’abbinando con l’asse fissi curvilineo ovvero la lunghezza

dell’arcale considerato si ottende (avendo supposta una unità non nuda).

_{P(s)= ∫ P(ds) = ∫ P(s)} indispensammentente dipende da (t)

Infine l’ascissa curvilinea s risulta una funzione del tempo t che descriviamo → s = s(t) della lege orario del moto del P:

Pensarala restifirci la del posizone

Praticamente il punto geometrico P = p(x) est un vettore posizione

applato allo origine prende sistiena libro che indica la modo in cui si trova il punto materiale X sulla curva P(t)

_{P₁² = ∫ (1⁄2 Rt + Rt)} e una curva

→ est imagiare elo dela traiettoria (P(s)) clie oppinno →...

Velocità ed accelerazione

Suppo la traiettoria fissa P(s), qundco le studie del mode

diizzione dal sesso est

Si definisce velocità scalare del punto P lungo la traiettoria P(s)e derivato di s rispetta al tempo t.

v(t) = ds(t)/ dt

→ Se V(t) ≠ 0

t→ s’est il mole dello uniforme

Quando s > 0 e indiv e velo cirdolo, quando si e in mole c’a

ritrogado menite gilafisini in quosse con dello anlesia.

Ricordando che c e l’ascissa curvilinea, nel calcolazo quoalchevota in discussion nel tempo t1; P querendo in funcie del renisal di pertecrar, fresvere i rimi (veloci posizione) sulla traiettoria.

P(s) = v= |P(t)|= |P(s(t))| = velocità vellariodante scalor posi an i

V(t)= dc(P(t)) / dfly quando vaiazione dei veloci_razione

df rispetto al tempo

L̴Ͻ = ⅆ/ⅆ [ᵖ̂(t) - 0]

Ovviamente inscrie se i₁, i₂, i₃ sono i versori dello Terra ortegonale destro (Or, X₁+x₁-x₁), si hon in basse a x = P(t)-o =z₁uk

v(t) = x₁(t)i₁() + x₂(t)i₂() +x₃(t)i₃(x)

+ _{Velocità scalate dela proiezione di P lungo asse Considerato.}

Moto Uniformemente Varato e Periodico

Abbiamo già visto che un moto è uniforme se la sua velocità scalare è costante. Si ha v₀.

s(t)=v₀t ⇔ S₀

Moto di un punto P detto uniformemente vario se l'acc. tangenziale è cost. in modulo.

s(t)=a₀t²/2 + v₀t + S₀

Integrando 2 volte in t s(t) = a₀t²/2 + V₀t + S₀.

è rappresentato graficamente da una parabola in cui concavità è rivolta verso l'alto se a₀ > 0, verso il basso (se a₀ < 0=concava).

concava.

- moto def. - diretto sull'arco di parabola crescente - velocità crescente

- velocità decrescente

- Un punto si muove di moto periodico T quando il seg. orariosi dice una funzione periodica di t con periodo T, cioè

s(t + T) = s(t)

∀t ≥ 0 ∀k ∈ ℤ t, T ⇒ s(t) =S(t + #T)

Moto Circolare ed Uniforme

Il moto di un punto P è detto circolare se la sua traiettoria è una circonferenza ed un suo arco. Quando s(t) è cost. il moto è detto ciclo uniforme.

Velocità nulla non c'è variazione di v.

Tangenziale

Poiché s(t) = Rθ si pensa che

ω = cost

v(t) = s(t)

v = s(t) = sin θ

s(t) = s(t) = sin ω

ω = = a

v= Rωθ

cos e

dell'angolo

per con iop

Rωθ = v₀

Tangenziale ^vt_c(t)

ω² = ω

cos² per HP

∫θ(t)dθ :

dθ .

∫θ(t)dθ :

dR(t)dt .

moto e nel c

Piacere = m = ε₁

π(t) r(t) = π(t) =

dθ = v_t(t)

dθ = Rω

θ

Integrando si parte un

Per cui

ω₀ = Rω

Dalla formula s(t) = ωt + v₀. Si vede che il moto circolare è un moto periodico di periodo.

v^t(t + 2π/ω) = [ω(t + 2π/ω) . ω = ωt + 2π

ω

Quindi

ω = s(t)v_R / v ₀

= _θ(t)v0

=

v(t)v₀ ω

v(t)v₀

= ω₀

= ω / v₀ ω₀

- τ / 1 /_2π

= 2π / ω = v

Inverso diar_R

(frequenza) f = v₀v_c = ω / 2τ = [♠

Il periodo rappresenta il tempo impiegato dal punto a compiere un giro. - La frequenza quanti giri un secondo.