Appunti meccanica razionale

Vettori liberi

Allora lo spazio in cui si suppone che avvengano fenomeni descritti nell'ambito della meccanica abissica è uno "spazio euclideo affine tridimensionale" che indichiamo con E e in cui elementi P, Q, ... sono punti P ∈ E.

A E è possibile associare lo spazio V dei vettori (o traslazioni su E), cioè: di tutte le trasformazioni u:E→E tali che ∀ (P, α) ∈ E - segmenti orientati P&tail;PQ o v=u(P) e q=u(α) sono equipollenti, cioè hanno stessa lunghezza, direzione e verso.

Giusto poiché la traslazione vettoriale è lo stesso, cioè u quindi v punta...

Perciò ogni elemento di V può essere individuato tramite un segmento orientato &head; anche la trasformazione u(.) non fa che traslare tutti punti di E di uno stesso segmento orientato, U, y sono dei vettori.

Preciso meglio la relazione tra E e V osserviamo che ∀ coppia di punti P(α) ∈ E esiste un vettore u ∈ V: u(P)=Q cioè il vettore u corrispondente alla traslazione individuato dal segmento PQ detta origine.

Fissato un punto O ∈ E la mapplicazione che sim di ogni punto P ∈ E la corrispondente un vettore u ∈ V: u(0)=P da qui vettori si possono indicare anche come u(P)(O).

Spazio euclideo e vettori

Allora lo spazio in cui si suppone che avvengano fenomeni descritti nell'ambito della meccanica classica è uno "spazio euclideo affine tridimensionale" che indichiamo con E i cui elementi P, Q, R sono punti P ∈ E.

A E è possibile associare la concezione dello spazio V di tutte le traslazioni su E, cioè di tutte le trasformazioni u: E → E tali che ∀ (P, Q, A) ∈ E segmenti orientati PQ = QR ove il u(P) e q = u(Q) sono equipollenti, cioè hanno stessa lunghezza, direzione, e verso.

Giusto poiché la traslazione r vettori è lo stesso, cioè u quindi y punta.

Perfino ogni elemento di V può essere individuato mediante un segmento orientato poiché la trasformazione (U; ∃) non fa che traslare tutti i punti di E di uno stesso segmento orientato u e y sono dei vettori.

Preciso meglio la relazione tra E e V: osserviamo che V coppia di punti P, Q, E, E si associa un vettore uv ∈ V: u(P) − Q cioè il vettore u ¬ corrisponde alla traslazione individuoso dal segmento PQ.

Fissato un punto o ∈ E: ∃: un'applicazione che ad ogni punto P ∈ E fa corrispondere un vettore ∈ V (U(Q) − P) da qui vettori possono indicare anche come v = P O.

Modulo di un vettore

Definiamo adesso modulo di un vettore (u⃗ individualunghezza) dell'estremamente segno orientato che è nulla, solo quando u = il vettore nullo.

|u⃗| = ([u₁]² + [u₂]² + [u₃]²)^1/2

Inoltre per necessaria rotazione non perderemo di una dimensione generati da un V di dim = 3.

Perciò campionat l'esistenza di una base di Rⁿ vettori, e₁⃗, e₂⃗, e₃⃗ i non campionabili tale solo per tale ogni valore con possibilità per senso in via in se il modocome cambia la zona (inseriti dei basi vecchi)

u⃗ = u₁e₁⃗ + u₂e₂⃗ + u₃e₃⃗

dove u₁, u₂, u₃ sono i campionabili di u⃗ rispetto alla base infine abbiamo i vettori con norma euclidea unitariodetti versori |u⃗| = 1.

u⇾d_s inf sulla direzione e verso di un qualsi som valutore u⃗ = 1/u⃗|u⃗|× modulo per d = a = 3L = alto diagonale di un prisma a base rettangolare (per la geon c = a = 3).

Operazioni con vettori

1. Dati due vettori u⃗, v⃗ ∈ V:

Chiami con somma di u⃗ e v⃗ il nuovo vettore u⃗ + v⃗ individua dal segmento orientato Q − 0⃗u⃗ + v⃗ = baik-Q⇝Q⃗⇝O=Q⃗iciprograficalere la regola del parallelogramma.

Inoltre somma è commutativa infatti u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗

Ed è associativa. Consideriamo: si nota banalmente che possiamo (u⃗ + (u⃗ + v⃗))

u₁=P-0 Vettore risultante

u₂=P₂-P₁ coda del primo e dire Nto dell'ultimo

u₃=P₃ − P₂

Se m è uno scalare e u⃗ un vettore. La moltiplicazione dim per u⃗ è un vettore m×u⃗ di modulo il modillo il direzione equivale a quello di un e verso contrario di nena a u⃗ secondo n se m > 0 negativo ndiv~eq₹r:u⃗=1×r×u⃗

Distan?>ananza di differenza fra due vettori u e v l ≤ l'/0 la somma di un vettori con il capovesto dell'altro.

u⃗ − v⃗ = (u⃗ = (v⃗ = (u⃗ + (−) ⇔⇝ v⃗ = v⃗ e P − Q P = 0 ⇔ v⃗ = 0 = Q

Ricorda: i vettori si dicano in indipendenti se i n costandisono tali nulla tale