Appunti di Meccanica delle Strutture

2020-2021

Appunti di MECCANICA DELLE

STRUTTURE E METODI

COMPUTAZIONALI

Vito DILEO

DOTT. in INGEGNERIA EDILE 1

Sommario

INTRODUZIONE ALL’ANALISI STRUTTURALE

1. .............................................................................. 5

2. TIPI DI ELEMENTI FINITI .................................................................................................................. 8

3. REQUISITI DELLE ANALISI STRUTTURALI.................................................................................. 10

4. INTRODUZIONE ALLA MODELLAZIONE ...................................................................................... 10

a. Connessioni e Vincoli .................................................................................................................... 10

b. Gradi di Libertà (Degree of Freedom) ........................................................................................... 11

c. Rigidezza Estensionale ................................................................................................................. 13

d. Effetti P-Delta (Non Linearità Geometriche delle strutture) ........................................................ 13

e. Sistema di riferimento degli elementi finiti .................................................................................. 14

f. Convenzione dei segni .................................................................................................................. 15

g. Gradi di Libertà .............................................................................................................................. 15

5. COMPOSIZIONE DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA ....................................................................... 19

6. RIGIDEZZA TORSIONALE ............................................................................................................. 25

7. RICHIAMI SULLA TEORIA TECNICA DELLA TRAVE ................................................................... 27

a. Cinematica di una trave piana ....................................................................................................... 28

b. Deformazioni generalizzate della Th. tecnica della trave ............................................................ 31

c. Hp. cinematiche di base ................................................................................................................ 32

8. LA TEORIA DI EULERO PER LA TRAVE SNELLA ....................................................................... 33

9. MATRICE DI RIGIDEZZA ALLA TIMOSHENKO ............................................................................. 34

a. Caso valido per 1 coeff. di rigidezza ............................................................................................. 34

b. Caso Generale ................................................................................................................................ 38

c. Effetti dovuti alla Rotazione .......................................................................................................... 39

10. MODELLO DELLA PIASTRA DI MINDLIN E KIRCHHOFF ............................................................ 41

a. Geometria del modello di piastra/lastra ....................................................................................... 41

b. Cinematica della piastra ................................................................................................................ 42

c. Statica della piastra ....................................................................................................................... 44

d. Equilibrio delle piastre ................................................................................................................... 45

e. Legami costitutivi per le piastre isotrope ..................................................................................... 47

Funzionale dell’energia potenziale

f. ............................................................................................... 49

g. Modello di Poisson-Kirchhoff ....................................................................................................... 50

h. Variazione dei momenti in funzione del piano di giacitura ......................................................... 52

i. Piani principali ............................................................................................................................... 53

j. Condizioni al contorno .................................................................................................................. 53

k. Forze di sostituzione sul contorno ............................................................................................... 56

effettive sul contorno

l. Forze di taglio ............................................................................................ 58

m. Forze di vertice ........................................................................................................................... 59

11. METODI APPROSSIMATI PER LE PIASTRE: METODO DI GRASHOF ........................................ 60

12. MODELLO DI LASTRA ................................................................................................................... 63

a. Equazioni costitutive ..................................................................................................................... 63

b. Risultanti nelle direzioni cartesiane ............................................................................................. 63

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c. Equazioni Indefinite di Equilibrio .................................................................................................. 64

13. ELEMENTI FINITI ............................................................................................................................ 65

Il problema dell’Equilibrio Elastico

a. ............................................................................................... 65

dell’energia potenziale

b. Il funzionale ............................................................................................. 66

c. Metodo di Rayleigh-Ritz ................................................................................................................ 68

L’interpolazione degli spostamenti sull’elemento finito

d. ............................................................. 71

14. GEOMETRIA DEGLI ELEMENTI FINITI E REGOLE DI INTEGRAZIONE ...................................... 72

a. Elementi finiti monodimensionali ................................................................................................. 72

b. Elementi finiti piani quadrangolari ................................................................................................ 75

c. Minimizzazione ............................................................................................................................... 76

L’ELEMENTO FINITO TRAVE

15. ........................................................................................................ 78

a. Modellazione della trave ad elementi finiti ................................................................................... 79

b. Calcolo della matrice di rigidezza globale .................................................................................... 83

16. TRAVE SU SUOLO ELASTICO ALLA WINKLER .......................................................................... 90

a. Caratterizzazione meccanica del suolo ........................................................................................ 90

b. Suolo elastico alla Winkler ............................................................................................................ 90

c. Caratteristiche della sollecitazione ............................................................................................... 91

d. Metodi variazionali approssimati .................................................................................................. 92

e. Matrice di rigidezza di una trave elastica poggiante su suolo alla Winkler ............................... 93

f. Metodo variazionale per il calcolo Matrice di rigidezza ............................................................... 95

g. Metodo std e Metodo assumed strain .......................................................................................... 96

h. Il funzionale di Hu-Washizu ........................................................................................................... 99

17. FORMULAZIONE ESTESA E FORMULAZIONE VARIAZIONALE DEL PROBLEMA

DELL’EQUILIBRIO ELASTICO ............................................................................................................... 103

a. L'elemento finito lastra con GdL alla rotazione intorno alla normale al piano medio ............. 105

18. GRADI DI LIBERTÀ E VINCOLI DI CORPI RIGIDI ....................................................................... 107

a. Connessioni rigide tra nodi ......................................................................................................... 108

b. Forze ............................................................................................................................................. 109

19. METODI DI RISOLUZIONE ITERATIVI DI SISTEMI NON LINEARI .............................................. 110

a. Metodo della secante o di Picard ................................................................................................ 110

b. Metodo della tangente o di Newton-Rhapson ............................................................................ 110

A PLASTICITÀ DIFFUSA DELL’ELEMENTO FINITO TRAVE

20. MODELLO ................................... 111

a. Modellazione generale ................................................................................................................. 111

b. Modellazione con il funzionale di Hu-Washizu (caso monodimensionale) .............................. 113

21. PERCORSI DI EQUILIBRIO CON IL METODO PATH-FOLLOWING ........................................... 114

a. Il path following ............................................................................................................................ 114

22. TEORIA DEGLI ARCHI ................................................................................................................. 117

a. Premessa ...................................................................................................................................... 117

b. La struttura ad arco ..................................................................................................................... 118

c. Arco a tre cerniere ....................................................................................................................... 118

d. La spinta ....................................................................................................................................... 119

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3

e. Arco a tutto sesto ........................................................................................................................ 120

Verifica dell’arco

f. .......................................................................................................................... 121

g. Il metodo di Méry ......................................................................................................................... 122

h. Applicazione del metodo di Méry: Arco a tutto sesto ............................................................... 125

i. Arco circolare ribassato .............................................................................................................. 127

j. Arco parabolico

............................................................................................................................ 129

23. TRAVE AD ASSE CURVILINEO ................................................................................................... 131

a. Equazioni di equilibrio ................................................................................................................. 131

b. Cinematica .................................................................................................................................... 133

c. Legame costitutivo ...................................................................................................................... 135

Problema dell’equilibrio elastico

d. ................................................................................................ 135

24. STRUTTURE COSTITUITE DA FUNI ............................................................................................ 136

a. Caratteristiche delle funi ............................................................................................................. 136

b. Aspetti generali delle strutture funicolari ................................................................................... 136

c. Equazioni indefinite di equilibrio delle funi ................................................................................ 137

d. Cinematica delle funi: .................................................................................................................. 138

25. TEORIA DEI GUSCI ...................................................................................................................... 140

a. Gusci sottili assialsimmetrici ...................................................................................................... 140

b. Analisi dei carichi di pressione ................................................................................................... 142

c. Teoria membranale ...................................................................................................................... 143

d. Equazioni di equilibrio dei gusci membranali ............................................................................ 145

Resistenza dei gusci all’azione dei carichi esterni

e. .................................................................... 148

f. Gusci di rivoluzione ..................................................................................................................... 150

g. Gusci conici con carico assialsimmetrico ................................................................................. 152

h. Deformazioni dei gusci di rivoluzione caricati assialsimmetricamente ................................... 154

i. Gusci di rivoluzione con carico non assiassimmetrico ............................................................ 157

j. Cupole sottili sottoposte a peso proprio .................................................................................... 160

26. COMPORTAMENTO FLESSIONALE DEI GUSCI SOTTILI DI RIVOLUZIONE ............................ 163

a. Geometria ..................................................................................................................................... 163

b. Caratteristiche della sollecitazione ............................................................................................. 164

c. Relazioni tra sforzo e deformazione ........................................................................................... 166

d. Sollecitazioni composte agenti sul guscio ................................................................................ 168

e. Serbatoi cilindrici con carico a simmetria assiale ..................................................................... 169

f. «Cilindro infinito» con carico uniformememente distribuito .................................................... 173

Serbatoio cilindrico contenente un liquido di peso specifico γ

g. ............................................... 175

27. CONTROLLI E PROVE SUI MATERIALI DA COSTRUZIONE ..................................................... 178

a. Prove di resistenza meccanica sul CLS ..................................................................................... 178

Prove di resistenza meccanica sull’acciaio

b. ............................................................................... 181

c. Prove distruttive su cls ................................................................................................................ 183

d. Prove non distruttive su cls ........................................................................................................ 184

e. Prove non distruttive su murature .............................................................................................. 185

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4

f. Indagine pacometrica .................................................................................................................. 186

g. Prove di rilascio dello sforzo sulle barre di acciaio................................................................... 186

h. Il collaudo statico ......................................................................................................................... 186

i. Indagini dinamiche ...................................................................................................................... 190

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5

INTRODUZIONE ALL’ANALISI STRUTTURALE

1.

Un’analisi di calcolo di una struttura può essere distinta in base al modello di eccitazione:

a. Modello di eccitazione Statico: i carichi non variano nel tempo, o variano talmente lentamente da

essere considerati costanti;

b. Modello di eccitazione Dinamico: i carichi che incrementano gli effetti statici mediante moti

dinamici (i.e. azioni sismiche basati su spettri di risposta o accelerogrammi, strutture meccaniche

sottoposti a moti di rotazione, etc)

In base al modello strutturale utilizzato:

a. Geometria globale (hp. di SdC)

• Piccole deformazioni;

• Grandi spostamenti (i.e. effetti P-Delta);

b. Tipi di elementi strutturali

• Monodimensionali, con 1 dimensione preponderante rispetto alle altre 2 (i.e. aste, travi);

• Bidimensionali, con 1 dimensione più piccola rispetto alle altre 2 (i.e. piastre, diaframmi,

lastre);

c. Proprietà dei materiali (i.e. lineari, non lineari);

d. Proprietà delle sezioni (i.e. costante, variabile);

e. Connessioni strutturali (i.e. articolazioni semirigide e rigide);

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Per le strutture metalliche difatti sorge il problema della modellazione del collegamento: esso può

essere saldato con rinforzo diagonale, saldato con rinforzo orizzontale, bullonato, etc.

In funzione del tipo di collegamento, il modello di calcolo varia.

Difatti, le connessioni possono essere modellate mediante un