Appunti di Meccanica delle Strutture

2. TIPI DI ELEMENTI FINITI

Gli elementi finiti possono essere:

a. Monodimensionali

• elemento TRUSS: elementi finiti che non consentono di riprodurre il comportamento

flessionale, ma solo quello estensionale; I risultati che si possono ottenere da questi

elementi sono le forze o gli spostamenti nodali.

Mediante tali elementi è possibile modellare, per esempio, le capriate metalliche.

• elemento SPRING: elementi finiti che riproducono il comportamento di una molla lineare

(attraverso la relazione F=Ku) o non lineare; i risultati che si possono ottenere da questi

elementi sono le forze o gli spostamenti nodali.

• elemento BEAM: elementi finiti che riproducono il comportamento di molle di flessione, di

torsione e assiali lineari; i risultati che si possono ottenere da questi elementi sono le coppie,

le forze, gli spostamenti e le rotazioni ai nodi.

• elemento FRAME: elementi finiti costituiti da più elementi FRAME (i.e. portale, telaio)

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b. Bidimensionali Piani

• elementi triangolari lineari/quadratici, ed elementi quadrangolari lineari/quadratici;

Tramite essi è possibile esaminare lo stato di sforzo piano (plane stress), lo stato di deformazione

piana (plane strain), i problemi assialsimmetrici, e i problemi di piastre e lastre.

(“Brick”)

c. Tridimensionali

• Tetraedrici lineari a 4 nodi, tetraedrici quadratici a 10 nodi, esaedrici lineari a 8 nodi,

esaedrici quadratici a 20 nodi;

Gli elementi 3D sono utili quando la modellazione con elementi 2D può risultare

approssimativa (i.e. strutture di fondazione).

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3. REQUISITI DELLE ANALISI STRUTTURALI

Il progetto strutturale deve soddisfare i requisiti di:

a. Resistenza (Verifiche SLE,SLU);

b. Rigidezza (Piccole deformazioni);

c. Stabilità (verifica di instabilità e fessurazione);

d. Statici (Eq. di equilibrio);

e. Meccanici (sforzo-deformazione o forze-spostamenti);

f. Cinematici (compatibilità spostamenti);

4. INTRODUZIONE ALLA MODELLAZIONE

a. Connessioni e Vincoli

I problemi che sorgono in caso di modellazione di una qualsiasi modellazione sono notevoli: in

generale, non è necessario un unico modello per cogliere tutti gli aspetti di una struttura, a seconda

che si osservi un comportamento locale o globale.

Talvolta è necessario effettuare delle scelte di modellazione (i.e. 2D o 3D, tipo di elementi finiti da

assegnare, tipi di connessioni, etc), le quali definiscono la progettazione dei componenti.

In funzione del modello di calcolo sarà sempre necessario progettare una connessione congruente

che garantisca il grado di vincolo. In particolare, per le strutture in acciaio, il vincolo è imposto dal

progettista mediante i collegamenti (bulloni, saldatura): al nodo di fondazione si potrebbe avere

pertanto un profilato (i.e. IPE, HEA, HEB, HEM).

Per esempio, per la figura sopra, J >>J , pertanto lungo la direzione y presenta la maggiore inerzia;

x y

sarà possibile, pertanto, realizzare un attacco di fondazione con delle piastre. I bulloni sono

l’ancoraggio con la fondazione in C.A. avviene mediante uncini.

sottoposti a trazione e

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Il vincolo in direzione x sarà assimilabile ad una cerniera (poiché il braccio dei bulloni è molto

ridotto); in direzione y, ci sarà una coppia ripartita tra cls (compresso) e bulloni (tirati), e per via della

presenza di un braccio elevato , il grado di vincolo è maggiore (incastro).

b. Gradi di Libertà (Degree of Freedom)

Oramai pochissimi casi di progetto hanno un comportamento piano, pertanto si lavora quasi sempre

in un’ottica di telai spaziali (tridimensionali) costituiti da più telai piani.

La concezione del modello sarà globale, pertanto i GdL saranno diversi:

• nel piano, si avranno 3 GdL; il generico nodo può traslare nelle 2 direzioni (u , u )e ruotare

x y

(R);

• nello spazio, si avranno 6 GdL; il generico nodo può traslare i 3 direzioni (u , u , u ) e

x y z

ruotare attorno alle 3 dimensioni (R , R , R )

x y z

Rispettivamente in un software di calcolo, per ogni nodo, si assegna un valore numerico

(spostamento) o una spunta (grado di vincolo). Al valore 0 corrisponde uno spostamento/rotazione

libera; al valore 1 corrisponde uno spostamento/rotazione bloccata.

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Se si considera un capannone in struttura

metallica, se il singolo pilastro presenta

bulloni nella generica direzione, ha senso

considerare la stessa come direzione con

grado di vincolo di incastro.

Alla base dei profilati, lungo la direzione y, si

può prevedere la presenza di più bulloni

lungo tale direzione.

Tuttavia, il momento d’inerzia J è minimo,

x

perciò spesso nella direzione x, si realizzano

degli elementi di controventamento,

realizzando uno schema pendolare (R =0). Si

y

potranno ugualmente aggiungere ulteriori

chiavarde alla piastra di fondazione, ma lungo

y il grado di vincolo sarà comunque quello di

una cerniera.

Con l’aggiunta di nuovi bulloni, anche R =0,

z

perché essi hanno la facoltà di equilibrare

eventuali sollecitazioni torcenti.

In generale, quindi, per le strutture metalliche il vincolo può essere differenziato a seconda delle direzioni

quali l’armatura garantisce il vincolo perfetto).

(ciò non accade per le strutture in cls, per le Queste analisi

se non si esamina l’interazione

solo valide col suolo.

Inoltre, per strutture 3D, oltre le componenti principali (telai), si dovrà prevedere, durante la progettazione,

la possibilità di modellare gli elementi secondari (i.e. controventi orizzontali, verticali, etc).

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c. Rigidezza Estensionale Per strutture piane sottoposte a carichi distribuiti o concentrati, spesso si

ipotizza che la rigidezza estensionale EA infinita: questa hp. nei

programmi di calcolo decade. Esistono pertanto deli

Δl=NL/EA

spostamenti/allungamenti (con N forza verticale applicata e L

lunghezza/altezza), dipendenti dal fatto che EA sia finito o infinito.

Difatti, confrontando i momenti flettenti per un edificio monopiano e per un

edificio pluripiano, si nota che:

• per gli edifici a singolo piano, si hanno spostamenti differenziali piccoli,

poiché essi dipendono dall’altezza dell’edificio stesso;

• per gli edifici pluripiano, si verificano, per via dei cedimenti differenziati

dei pilastri, delle alterazioni (incrementi soprattutto) del diagramma del

momento flettente. Dunque, il rischio, in fase di progetto, è quello di

sottostimare o ignorare tali comportamenti.

d. Effetti P-Delta (Non Linearità Geometriche delle strutture)

Nelle analisi sismiche, dopo aver calcolato le sollecitazioni e gli spostamenti di impalcato in

combinazione sismica, potrebbe essere necessario portare in conto i cosiddetti effetti del II ordine:

essi possono determinare un incremento delle sollecitazioni sismiche che può essere compreso fra

l’11%÷25%.

Le NTC 2018, infatti, definiscono 2 tipologie di analisi:

• si esegue imponendo l’equilibrio sulla

analisi del I ordine: configurazione iniziale

indeformata della struttura; alla struttura vengono applicati i carichi agenti, e calcolate le

deformazioni, gli spostamenti e le sollecitazioni.

• si esegue imponendo l’equilibrio

analisi del II ordine: sulla configurazione deformata della

struttura, per effetto dei carichi applicati, poiché essi continuano ad esercitare la loro azione,

determinando, talvolta, un incremento delle sollecitazioni e degli spostamenti.

ordine possono essere trascurati se l’incremento delle sollecitazioni del

Gli effetti del II I ordine è

inferiore al 10%.

Per strutture particolarmente snelle e deformabili lateralmente, invece, potrebbe essere necessario

derivanti dall’azione

tener conto degli effetti del II ordine, amplificando le sollecitazioni di progetto,

parametro θ.

sismica, per un fattore di amplificazione calcolato in funzione del Tale approccio è

preferibile alle analisi numeriche, le quali comportano un grosso onere computazionale.

parametro θ

A seconda del valore assunto dal si possono trascurare oppure no gli effetti delle non

linearità geometriche. In particolare, gli effetti delle non linearità geometriche:

• θ<0,1;

sono trascurabili↔

• θ=0,1÷0,2; l’incremento degli effetti dell’azione

possono essere presi in considerazione↔

sismica orizzontale si ottiene tramite un fattore pari a 1/(1-θ). Ciò equivale ad un incremento

dovute all’azione sismica compreso fra l’11%÷25%.

delle sollecitazioni

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• un’analisi non

devono essere presi in considerazione(attraverso lineare↔θ=0,2÷0,3.

θ>0,3,

Se occorrerà riprogettare la struttura, in quanto troppo deformabile per le azioni orizzontali,

dimensionando le sezioni degli elementi strutturali in modo tale da renderla più rigida lateralmente.

e. Sistema di riferimento degli elementi finiti

Alcuni software consento di modellare l’elemento graticcio (Grid), caratterizzato da 2 rotazioni e 1

spostamento verticale.

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f. Convenzione dei segni

Il metodo degli elementi finiti o dell’analisi matriciale ha una convenzione dei segni legato agli assi

globali e locali, contraria alla classica convenzione dei segni di SdC.

g. Gradi di Libertà

Il grado di libertà è uno spostamento indipendente della struttura, che ci consente di costruire la

deformata.

A seconda dell’elemento e delle sue dimensioni, alcuni GdL sono soppressi automaticamente dal

software:

• Truss (2D): tale elemento (condizionato dal modulo elastico E, dalla lunghezza L e dal

momento d’inerzia può manifestare solo spostamenti lungo l’asse

J ) [GdL=1];

x

• Beam (2D): per tale elemento (condizionato dal modulo elastico E, dalla lunghezza L, e dal

momento d’inerzia J ), i GdL dei nodi sono 1 traslazione verticale (v ) e la rotazione nel piano

x i

(θ ) [GdL=2];

i

• Frame (2D): per tale elemento (condizionato dal modulo elastico E, dalla lunghezza L, dal

momento d’inerzia , e dall’area della sezione

J A), i GdL dei nodi sono 2 traslazioni, verticale

x

(v ) ed orizzontale (u ), e la rotazione nel piano (θ ) [GdL=3];

i i i

• Gri