Appunti di meccanica delle strutture

PUNTO MATERIALE

punto dotato di una massa, chiamato così per distinguerlo dagli altri punti del piano

CONFIGURAZIONI

• iniziale
• durante
• finale

P_i: configurazione iniziale

P_f: configurazione finale

OP_i: x_pi i + y_pj

OP_f: x_pf i + y_pf j

μ_f - μ_i: vettero spostamento

...se il punto è vincolato

y_p = a + bz

z_p: z_p i + (a + bz) j

*in questo caso il punto ha 1 SOLO grado di libertà

VELOCITÀ

V(t) = dx/dt, ż, ẏ = ù → derivata rispetto al tempo

lim_Δt→0 [z(t+Δt)-z(t)]/Δt

parametri lagrangiani → parametri necessari e sufficienti per identificare in maniera univoca la posizione di un punto

_{(μ, V, θ)}

R₀ = configurazione iniziale

OP₀ = (x₀cosθ₀)i + (x₀sinθ₀)j

OR = (x₀cosθ₀ + v₀cosθ₀)i + (x₀sinθ₀ + v₀sinθ₀)j

_x0

μ₁(t) = Q_P1 = Q_a = Q_b - μ₀

μ₁(t) = (x₀cosθ₀ - R_{cosθ0)i + (x0sinθ0 - Rsinθ0)j}

Calcoliamo la VELOCITÀ

μ'(t) = (-2ωsinθ)i + (Rcosθ - v_P)j = (-yθ^°)i + (2ω)i

*La velocità è ortogonale al raggio e tangente alla traiettoria*

CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

Corpo rigido → insieme di punti vincolati a mantenere costanti le distanze relative

TRASLAZIONE

μ₀(t) = 5ωi + 8θ₀j

S(V_x) = x = 2δ

χ = x₀μ_K(x) = (2ω, 8) + (4ω, 2δ)

ROTTAZIONE

Cedimenti e Centri di Rotazione

1. Carrello
   • cedimento orizzontale
   • cedimento verticale
2. Cerniera
   • cedimento orizzontale
   • cedimento verticale
3. Patino

   quando si ha questo cedimento, il patino sottoposto a cedimento è equivalente ad un carrello

   il cedimento è ortogonale alla retta r

Risolvere con il Metodo Grafico

1. Determinare i centri di rotazione
• a
  • centro di rotazione in A
  • centro di rotazione sulla retta r
• b
  • centro di rotazione sulla retta r
  • centro di rotazione sulla retta s
  • centro di rotazione sulla retta r

RIPARTIZIONE DELLE FORZE

La considero come due forze distinte, una ripartita su tutta la base ed una triangolare

REAZIONI VINCOLARI

1. carrucola
2. cerniera
3. pattino
4. incastro

y_g = h/2

y_g2 = h/2

y_g = h

y_g2 = 0

I_y1 = (ah³) / 12

I_y = bh³ / 2

I_y = (2 ah³) / 12 + ah³ / 6

I_xx1 = (h³(h/2)) / 6

I_xz = (ah³) / 2 + ah³ / 2 2 ah³ / 3

y_g = (ah³) / 6

I_x1 = ah³ / 12

I_x1 = ah³ + ah³ / 2 ah³ / 3

I_x1 = (ah³) / 24

I_gx2 = (ah³) / 12

I_yx = (ah³) / 24 + (ah³) / 2 ah³ 2 ah³ / 12 ah³ / 48 ah³ / 48

CRITERI DI EQUIVALENZA

1. Due forze sono equivalenti se composte secondo la regola del parallelogramma
2. Due forze sono equivalenti a se stesse se vengono traslate lungo la retta d’azione

Coppie → sistema di forze a risultante nulla che agiscono sul polo

TRAVE DI EULERO-BERNOULLI

• Equazioni di congruenza
• Equilibrio
• Leggine

EQUAZIONE DI CONGRUENZA

Si formano i piani tra campo di spostamenti e deformazioni; si esclude che la struttura si rompa

^{K = \frac{1}{R} = -\frac{d^{2}z}{dx^{2}}}

• K = curvatura della asse nella configurazione deformata
• R = raggio del cerchio osculatore

EQUAZIONE INDETERMINATA DI EQUILIBRIO

• T - T_d + dT - p_d(d1) = 0

• M - M_d + dM - T_d + p_d = 0

• N + N_d + dN + q(d1, x) = 0

EQUAZIONE COSTITUTIVA

Si permette di unire l’equazione di equilibrio e quella di congruenza

^{M = εI K}

• N_c caratteristica della traslazione
• Q_c coefficiente di proporzionalità (il modulo di Young)
• I momento d’inerzia
• K_c caratteristica della deformazione

LINEA ELASTICA

^{M - EI \frac{d^{2}z}{dz^{2}}}