Appunti Meccanica applicata alle macchine II (MAM2)

MAM2

1. Sistemi di riferimento, vettori base, matrice di rotazione e sue proprietà .............................................2
2. Definizione di tensore, prodotto scalare tra tensori, componente di un tensore in un sistema di riferimento ....................................................4
3. Regole di trasformazione delle componenti di un vettore e di un tensore ...............................................6
4. Matrice di rotazione e sue proprietà e legame tra matrice di rotazione e velocità di rotazione di un corpo rigido .....................................................8
5. Matrice di rotazione e composizione delle rotazioni finite ......................................10
6. Angoli di Eulero .........................................................................12
7. Teorema di Poisson per vettori e tensori ............................................................14
8. ECD ..................................................................................16
9. Tensore di inerzia di un corpo rigido: studio delle proprietà .................................................................18
10. Determinazione assi principali centrali di inerzia ...............................................20
11. Equilibramento dei rotori ..........................................................22
12. Giroscopi e moti di precessione ..................................................25
13. Momento della quantità ed energia cinetica di un corpo rigido ....................................................27
14. Stabilità delle rotazioni di un corpo rigido nello spazio .....................................................29
15. Ellissoide di inerzia .............................................................31
16. Stabilità dei punti di equilibrio per sistemi a più gradi di libertà ............................33
17. Giunto di Cardano e doppio giunto di Cardano ..................................................35
18. Curva di Stribeck e regimi di lubrificazione ............................................38
19. Equazioni di Reynolds ..............................................40
20. Pattino lubrificato a gradino ......................................43
21. Cuscinetto Mitchell ..........................................45
22. Cuscinetto rotoidale completo ........................................48
23. Cuscinetto idrostatico .................................................51
24. Modelli di materiali viscoelastici e corrispondenti funzioni di rilassamento e creep .....................................53
25. Relazione tra forze e spostamenti in un materiale viscoelastico lineare, tempo invariante, causale ..................55
26. Rigidezza viscoelastica complessa e funzione di rilassamento ....................................57
27. Modello di Maxwell di un fluido viscoelastico lineare, modello lineare generale di un materiale viscoelastico lineare ..............................................................................59

Per poter definire un sistema di riferimento è necessario

partire col definire una terna ortogonale eugenea. Consideriamo

una terna ordinata di vettori (\overline{u},\overline{v},\overline{w}) facendo ruotare u su v

in senso antiorario, quando l'angolo più piccolo fra i due

vettori si definisce la parte di semipiano positivo identificata

dal versore m_o. Se il vettore w sarà contenuto in π⁺ allora

la terna sarà eugenea vice se \overline{w}^Tm_o > 0 → |w|cosβ > 0

con β < π/2 e se w sarà ortogonale a π⁺ allora la terna

(\overline{u},\overline{v},\overline{w}) si dirà ortogonale eugena.

term eugena|u v| . w > 0

Quindi è possibile definire il sistema di riferimento fisso Σ

ortogonale eugeneo (\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3) di origine \Omega_1 e base

(\xi₁,\xi₂,\xi₃) con (\overline{e}_1, \overline{e}_2, \overline{e}_3) versori degli assi.

Considero ora un corpo rigido S, ossia un corpo per cui presi 3

punti qualsiasi le distanze mutue fra loro non cambia nel

tempo e prendo un sistema di riferimento solidale al corpo

seguendo lo stesso ragionamento fatto precedentemente:

fissato l'origine O posso fissare una terna ortogonale

eugenea (\overline{\upsilon}_1,\overline{\upsilon}_2,\overline{\upsilon}_3) tale da definire il sistema di riferimento

S ortogonale eugeno, solidale al corpo rigido, di base

(x_1,x_2,x_3)

S = (\Theta_1,x_2,x_3)

Definiti due sistemi di riferimento uno fisso _Σ e uno libero di rotore S e def le relazioni che ci sono tra i due esprimibili tramite la matrice di rotazione R è possibile sfruttare R anche per esprimere lo stesso vettore o tensore nei due riferimenti; infatti per ogni quantita definiti tali vettore e tensore devono essere rappresentati nello stesso modo nei due rif e quindi deve esistere una relazione tra le rappresentazioni nei due sistemi Considero un generico vettore

¹⁄_ν= &sub1;ν¹⁄&sub2;ν&sub3;ν

&sub3;ν¹⁄&sub1;ν⁄&sub2;ν³ν

&sub1;⁄&sub2;ν=V^&_P&_RLH + &sub3;¹&strpos;&&_RHL

Rissultato dei risvolti Tico quindi posso scrivere ^{&&sub2;&frbas;&sub2;&sub1;=&sub1;&sub1;¹⁄&sub1;ν⁄&sub1;&frab&sub2;&sub2;DS&sup&sub1CR&S}