Appunti di Meccanica applicata alle macchine 2 [MAM2]

Appunti di Meccanica

Applicata alle Macchine 2

Autore

Gaudio Giovanni

20 aprile 2018

Premessa

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proibito senza autorizzazione. Per qualsiasi informazione contattare l’autore.

1

Indice

1 Dinamica 3D 4

1.1 Tensore di inerzia e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Teorema di Huygens-Steiner generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Matrice di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Dinamica dei rotori 11

2.1 Bilanciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Bilanciamento statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Bilanciamento dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Accoppiamenti motore-carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Accoppiamento diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Equilibrio dell’accoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Accoppiamento con trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Accoppiamento con frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5 Accoppiamento con volano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 La lubrificazione 26

3.1 L’usura superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Diagramma di Stribeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Equazione di Raynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Pattino a gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Cuscinetto Michell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Caso reale di pattino qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Cuscinetto portante completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Materiali viscoelastici 46

4.1 Caso semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1 Analisi del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.2 Risposta del materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Caso reale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Modulo viscoelastico complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.2 Influenza della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.3 Rilevamento di E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliografia 54

2

Elenco Figure 55

Elenco Tabelle 57

3

Capitolo 1

Dinamica 3D

1.1 Tensore di inerzia e proprietà ×

Il tensore di inerzia è un’applicazione lineare rappresentabile attraverso una matrice 3 3

(tensore del secondo ordine). Adottando due sistemi di riferimento uno inerziale Σ (

u

¯ , u

¯ , u

¯ )

1 2 3

S

di centro Ω, ed uno solidale al corpo rigido ( e

¯ , e

¯ , e

¯ ) di centro O, il tensore d’inerzia può

1 2 3

K̄

essere facilmente ricavato dalla definizione di momento della quantità di moto :

X − ×

K̄ (P O) m v̄

= k k k

k

X − × × −

(P O) m [v̄(O) + ω̄ (P O)]

= k k k

k

X X

− × − × × −

= (P O) m v̄(O) + (P O) m [ω̄ (P O)]

k k k k k

k k

 

C

}| {

z

X 2

− × | − | − − ⊗ −

= (G O) mv̄(O) + m P O I [(P O) (P O)] ω̄

 

k k k k

 

k

| {z }

σ(O)

Pertanto risulta che σ(O) : n punti

 h i

X 2



  | | − − ⊗ −

Punti : σ = r

~ I (P O) (P O) m

σ σ σ  ij k k k k

11 12 13 



σ σ σ

σ(O) = k

21 22 23

  Z

σ σ σ h i

 2

31 32 33  | | − − ⊗ −

Rigidi : σ = ~r I (P O) (P O) ρdW

 ij

 W

Per esempio considerando n punti materiali di posizione r

¯ = (r , r , r ) :

k 1 2 3

     

2

1 0 0 r r r r r

n corpi 1 2 1 3

1

X 2 2

| | −

0 1 0 r r r r r

σ = r

¯ 2 1 2 3

12 k

     

2 2

0 0 1 r r r r r

k 3 1 3 2 3

n corpi

X 2

| | −

= r

¯ I r r

k 12 1 2

k

n corpi

X

= (−r r )

1 2

k 4

Il tensore d’inerzia presenta le seguenti caratteristiche :

Simmetrico le sue componenti sono simmetriche (σ = σ ) anche perché σ(O) è somma di

ij ji

I C

tensori simmetrici quali e rispettivamente matrice identità e matrice dei momenti

centrifughi (dove quest’ultima rappresenta le proprietà del materiale). Tale caratteristica

permette di affermare che σ(O) è diagonalizzabile.

Diagonalizzabile per la proprietà di simmetricità esiste un sistema di riferimento in cui tutti

gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli, la cosiddetta terna principale

d’inerzia. Il calcolo parte dalla scelta di una terna qualsiasi solidale al corpo e si calcola

σ(O) rispetto ad essa, quindi si procede risolvendo un problema agli autovalori dove

questi ultimi rappresenteranno proprio i momenti di inerzia massimo, intermedio e

minimo all’interno della terna principale d’inerzia definita dagli autovettori trovati (è

comunque sufficiente che σ(O) presenti almeno due dei termini tra σ ,σ e σ nulli

12 13 23

per affermare che ci troviamo in una terna principale d’inerzia).

Semidefinito positivo presenta tutti i propri autovalori non negativi. In generale può

presentare componenti positive o nulle sulla diagonale principale, e positive negative o

nulle nelle altre posizioni.

Dipendente dalla distribuzione delle masse gli elementi fuori da diagonale principale

vengono chiamati momenti deviatori e sono fonte di sollecitazioni sui supporti degli

organi meccanici. Per questo motivo è fondamentale che il centro di massa del sistema

giaccia sull’asse di rotazione del corpo e che quest’ultimo sia un asse principale d’inerzia,

in maniera tale da evitare l’insorgere di vibrazioni non previste e dannose.

Indipendente dall’atto di moto e non influenzato dal orientazione del SDR infatti

il calcolo di σ(O) avviene preferibilmente all’interno di un sistema di riferimento solidale

al corpo rigido in maniera tale che sia indipendente dal tempo (componenti costan-

ti istante per istante). Solo successivamente può essere proiettato su un sistema di

riferimento inerziale attraverso la relazione :

T

R

σ (O) = σ (O)R

S

Σ T

R R

dove rappresenta la matrice di rotazione e la sua trasposta. Tale operazione però

comporta la perdità dell’indipendenza temporale.

1.2 Teorema di Huygens-Steiner generalizzato

Il seguente teorema permette il calcolo del tensore d’inerzia rispetto ad un punto B

qualsiasi, quando è noto quello calcolato nel centro di massa G nel sistema solidale al corpo

S

rigido : Z h i

2

− − − ⊗ −

σ(B) = (P B) I (P B) (P B) ρdW =

W

Z Z

h i

2

− − − − − ⊗ − −

= (P G + G B) I ρdW [(P G + G B) (P G + G B)] ρdW

W

W {z } | {z }

| H H

1 2

5

Gli integrali risultano essere rispettivamente :

Z 2

− −

[(P G) + (G B)]

H = IρdW

1 W

Z 2

− − − −

= (P G) + 2(P G)(G B) + (G B) IρdW

W

Z Z 2

2 −

− − · − +m(G B)

= (P G) IρdW + 2 (P G)ρdW (G B)I I

W W {z }

| =0

Z

− {[(P − − ⊗ − −

H = G) + (G B)] [(P G) + (G B)]} ρdW

2 W

Z {[(P − ⊗ − − − ⊗ −

− G) [(P G)]} ρdW m(G B) (G B)

= W

Pertanto il tensore d’inerzia σ(B) per il teorema di Huygens-Steiner è pari a :

o

n 2

− − − ⊗ −

σ(B) = σ(G) + m (G B) I (G B) (G B) (1.1)

1.3 Equazioni cardinali della dinamica

Si definisce sitema inerziale un sistema che vede i corpi muoversi di moto rettilineo

uniforme. Adottando due sistemi di riferimento uno inerziale Σ ( u

¯ , u

¯ , u

¯ ) di centro Ω, ed

1 2 3

S

uno solidale al corpo rigido (

e

¯ , e

¯ , e

¯ ) di centro O, per un insieme di punti materiali

1 2 3

risulta che :

Prima equazione cardinale della dinamica

d d X

X X

E

F̄ m v̄ )

(v̄ ) = (

= m ā = m k k

k

k k k dt dt k

k k ! 2

d d

d d ˙

X

= m r̄ ) =

( (mr̄(G)) = ( Q̄(G)) = Q̄

k k 2

dt dt dt dt

k ˙

E

F̄ = Q̄ (1.2)

Seconda equazione cardinale della dinamica

X

K̄(O) − ×

= (P O) m v̄

k k k

k " #

d

˙ X

K̄(O) − ×

= (P O) m v̄

k k k

dt k

X X

− × − ×

= (P O) m ā + [v̄ v̄(O)] m v̄

k k k k k k

k k E

− × − × M̄ − ×

= (G O) mā(G) v̄(O) Q̄ = (O) v̄(O) Q̄

˙

E

M̄ K̄(O) ×

(O) = + v̄(O) Q̄ (1.3)

6 × −

Per i corpi rigidi, ricordando che vale la relazione v̄(P ) = v̄(O) + ω̄ (P O), la prima

equazione cardinale continua a valere, mentre per la seconda possiamo scrivere che :

X

K̄(O) − ×

= (P O) m v̄

k k k

k

X − × × −

= (P O) m [v̄(O) + ω̄ (P O)]

k k k

k

X X

− × − × × −

= (P O) m v̄(O) + (P O) m [ω̄ (P O)]

k k k k k

k k

h i

X 2

− × | − | − − ⊗ −

= (G O) mv̄(O) + m P O I [(P O) (P O)] ω̄

k k k k

k

− ×

= (G O) mv̄(O) + σ(O)ω̄

d

˙

K̄(O) − ×

= (G O) mv̄(O) + σ(O)ω̄

dt d

− × − ×

= (G O) mā(O) + [v̄(G) mv̄(O)] mv̄(O) + [σ (O)]

Σ

dt

d

− × × ×

= (G O) mā(O) + v̄(G) mv̄(O) + [σ (O)ω̄] + ω̄ σ (O)

S S

dt

d ×

− × − × σ (O) (ω̄) + ω̄ σ (O)

= (G O) mā(O) v̄(O) mv̄(G) + S S

dt

˙

− × − × ×

= (G O) mā(O) v̄(G) Q̄ + σ(O) ω̄ + ω̄ [σ(O)ω̄]

Allora riscrivendo l’equazione 1.3 risulta che :

E ˙

M̄ × − ×

(O) = σ(O)

ω̄ + ω̄ [σ(O)ω̄] + (G O) mā(O) (1.4)

Volendo generalizzare ulteriormente assumendo polo B qualsiasi :

( E E E

M̄ M̄ − × F̄

(B) = (G) + (G B) Trasposizione dei momenti

E ˙

M̄ ×

(G) = σ(G)

ω̄ + ω̄ [σ(G)ω̄] dalla eq. 1.4

E ˙

M̄ × − ×

(B) = σ(G)

ω̄ + ω̄ [σ(G)ω̄] + (G B) mā(G)

7

1.4 Teorema dell’energia cinetica

T

L’espressione dell’energia cinetica è pari a :

1 1

X X

2

T = m v

¯ = m v

¯ v

¯

j j j j j

2 2

j j

1

X × −

m [v̄(O) + ω̄ (P O)] v

¯

= j j j

2

j 1 1

X X × −

= m v̄(O)

v

¯ + m [ω̄ (P O)] v

¯

j j j j j

2 2

j j 1

1 X

X · − × ·

m v

¯ v̄(O) + [(P O) m v

¯ ] ω̄

= j j j j j

2 2

j

j

1 1

· K̄(O) ·

= Q̄ v̄(O) + ω̄

2 2

1 1 1

2 2 2

· ·

= mv (G) + [σ(G)ω̄] ω̄ = mv̄ (G) + [σ(G)ê ê ] ω

ω ω

2 2 2

1 2 2

⊗

= mv (G) + [σ(G) : ê ê ] ω

ω ω

2 1 1

2 2

T = mv (G) + I ω (1.5)

ωω

2 2

da cui si può notare che i contributi di energia cinetica non vengono mai dai momenti

deviatorici.

1.5 Matrice di rotazione

R

Il tensore del secondo ordine è una matrice antissimetrica che consente di esplicitare il

legame esistente tra diverse terne di riferimento. Dati, per esempio, due sistemi di riferimento

S

uno inerziale Σ (

u

¯ , u

¯ , u

¯ ), ed uno solidale al corpo rigido (

e

¯ , e

¯ , e

¯ ), risulta che le proiezioni

1 2 3 1 2 3

S

di su Σ sono :  

R R R

11 12 13



R R R

û = ê + ê + ê R R R

1 11 1 12 2 13 3 21 22 23

  

SΣ

  

R R R → R

û = ê + ê + ê R R R

=

2 21 1 22 2 23 3 31 32 33

 

 

↑ ↑ ↑



R R R

û = ê + ê + ê   

3 31 1 32 2 33 3 ê ê ê

1 2 3

S)

si può dimostrare anche che nel caso opposto (passaggio da Σ a la matrice di rotazione

SΣ

ΣS

R R

è proprio la trasposta di . S, L)

Nel caso più generale a più sistemi di riferimento (Σ, e supponendo di voler ricavare

L,

le componenti di un generico vettore w̄ nel sistema Σ, che sia però noto nel sistema si

osserva che : LΣ

R

S LS L

R

w̄ = w̄ z }| {

SΣ S SΣ LS L LΣ L

Σ

→ R R R

w̄ = w̄ = (R w̄ ) = w̄

SΣ S

Σ R

w̄ = w̄ LΣ

R

ottenendo cosı̀ una nuova matrice di rotazione che permette di ricavare direttamente le

componenti di w̄ in Σ. Le rotazioni finite devono essere moltiplicate tra loro necessariamente

8

nell’ordine stabilito, infatti godono della proprietà associativa, ma non di quella commuta-

tiva (una successione diversa delle stesse rotazioni finite non conduce il corpo nella stessa

configurazione), al contrario delle rotazioni infinitesime che possono essere sommate tra loro

senza problemi (godono della proprietà commutativa).

Nota la matrice di rotazione, è possibile, effettuare la ricerca di un asse di rotazione

fisso per il corpo, risolvendo un problema agli autovalori. Dalla risoluzione dell’equazione di

terzo grado in λ, si ricaveranno tre autovalori di cui uno sicuramente reale il cui autovettore

rappresenta l’asse ricercato, e due complessi coniugati.

1.6 Teorema di Poisson S

Dato un vettore qualsiasi w̄ con Σ (

u

¯ , u

¯ , u

¯ ) e ( e

¯ , e

¯ , e

¯ ) :

1 2 3 1 2 3

(

w̄ = w û + w û + w û rispetto a Σ

1 1 2 2 3 3

00 00 00 S

w̄ = w ê + w ê + w ê rispetto a

1 1 3

1 2 3

S

ricordando che le proiezioni dei versori su Σ possono essere determinati con l’ausilio della

R,

matrice di rotazione ed effettuando le derivate delle espressioni precedenti :

dw̄ dw̄

 = ẇ û + ẇ û + ẇ û =

 1 1 2 1 3 3

 dt dt

 Σ

d w̄ dê dê dê dw̄

1 2 3

00 00 00 00 00 00

 ×

= ẇ ê + w + ẇ ê + w + ẇ ê + w = + ω̄ w̄

 1 2 3

1 1 2 2 3 3

 dt dt dt dt dt S

possiamo ricavare il teorema di Poisson generalizzato :

dw̄

dw̄ × Th. Generalizzato (1.6)

= + ω̄ w̄

dt dt S

Σ

R

La matrice di rotazione cambia continuamente le sue componenti nel tempo, e quindi

risulta necessario capire come essa evolva, al fine di conoscere il moto del corpo note le

condizioni iniziali. A tal proposito si sfrutta il teorema di Poisson congiuntamente alla

definizione di derivata di un vettore :

dê d

 j ˙

Ṙ R Ṙ

û + û

= (R û ) = û =

 ij i ij i ij i ij i

 dt dt dê

 j

Σ → Ṙ ×

= û = ω̄ ê

ij i j

dt

dê j Σ

 ×

= ω̄ ê

 j

 dt Σ ×

Risolvendo il prodotto vettoriale ω̄ ê osserviamo che il vettore colonna ottenuto può essere

j

pensato come prodotto tra una matrice Ω di rotazione antisimmetrica a traccia nulla (le cui

componenti rappresentano in questo caso le velocità angolari del corpo nella terna Σ), ed il

versore ê :

j  

−ω

0 ω

3 2

−ω

× ω 0

Ωê = ω̄ ê = ê

3 1

j j j

 

−ω ω 0

2 1

9

Pertanto risulta che :

dê j Ṙ × × ×

= û = ω̄ ê = ω̄ (R û ) = (ω̄ û )R

ij i j ij i i ij

dt Σ

Ṙ û = (Ωû )R moltiplicando entrambi i membri per û

ij i i ij k

Ṙ · ·

û û = [(Ωû ) û ]R

ij i k i k ij

Ṙ R

δ = Ω

ij ik ki ij

Ṙ R

= Ω espandendo a tutti i versori ê

ki ki ij j

Ṙ R

= Ω I Espr. Matriciale (1.7)

Σ T

R

moltiplicando entrambi i membri per :

T T T

ṘR RR → ṘR

= Ω Ω =

Σ Σ

Per proiettare le equazioni del moto son