Che materia stai cercando?

Appunti di Meccanica applicata alle macchine 2 [MAM2]

Di seguito potete trovare l'anteprima della mia dispensa di Meccanica Applicata alle Macchine 2 (lezioni sostenute dalla Prof. Carbone nel corso 2017/2018) di circa 60 pagine completamente riorganizzato, ampliato, commentato e riscritto interamente a macchina da me. Il testo è anche interattivo e quindi potrete navigare velocemente tra le varie sezioni.

Gli appunti non hanno bisogno... Vedi di più

Esame di Meccanica applicata alle macchine 2 docente Prof. G. Carbone

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Appunti di Meccanica

Applicata alle Macchine 2

Autore

Gaudio Giovanni

20 aprile 2018

Premessa

La copia, la modifica, la distribuzione e l’uso non autorizzato è fortemente

proibito senza autorizzazione. Per qualsiasi informazione contattare l’autore.

1

Indice

1 Dinamica 3D 4

1.1 Tensore di inerzia e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Teorema di Huygens-Steiner generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Matrice di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Dinamica dei rotori 11

2.1 Bilanciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Bilanciamento statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Bilanciamento dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Accoppiamenti motore-carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Accoppiamento diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Equilibrio dell’accoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Accoppiamento con trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Accoppiamento con frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5 Accoppiamento con volano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 La lubrificazione 26

3.1 L’usura superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Diagramma di Stribeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Equazione di Raynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Pattino a gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Cuscinetto Michell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Caso reale di pattino qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Cuscinetto portante completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Materiali viscoelastici 46

4.1 Caso semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1 Analisi del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.2 Risposta del materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Caso reale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Modulo viscoelastico complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.2 Influenza della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.3 Rilevamento di E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliografia 54

2

Elenco Figure 55

Elenco Tabelle 57

3

Capitolo 1

Dinamica 3D

1.1 Tensore di inerzia e proprietà ×

Il tensore di inerzia è un’applicazione lineare rappresentabile attraverso una matrice 3 3

(tensore del secondo ordine). Adottando due sistemi di riferimento uno inerziale Σ (

u

¯ , u

¯ , u

¯ )

1 2 3

S

di centro Ω, ed uno solidale al corpo rigido ( e

¯ , e

¯ , e

¯ ) di centro O, il tensore d’inerzia può

1 2 3

essere facilmente ricavato dalla definizione di momento della quantità di moto :

X − ×

K̄ (P O) m v̄

= k k k

k

X − × × −

(P O) m [v̄(O) + ω̄ (P O)]

= k k k

k

X X

− × − × × −

= (P O) m v̄(O) + (P O) m [ω̄ (P O)]

k k k k k

k k

 

C

}| {

z

X 2

− × | − | − − ⊗ −

= (G O) mv̄(O) + m P O I [(P O) (P O)] ω̄

 

k k k k

 

k

| {z }

σ(O)

Pertanto risulta che σ(O) : n punti

 h i

X 2

  | | − − ⊗ −

Punti : σ = r

~ I (P O) (P O) m

σ σ σ  ij k k k k

11 12 13 

σ σ σ

σ(O) = k

21 22 23

  Z

σ σ σ h i

 2

31 32 33  | | − − ⊗ −

Rigidi : σ = ~r I (P O) (P O) ρdW

 ij

 W

Per esempio considerando n punti materiali di posizione r

¯ = (r , r , r ) :

k 1 2 3

     

2

1 0 0 r r r r r

n corpi 1 2 1 3

1

X 2 2

| | −

0 1 0 r r r r r

σ = r

¯ 2 1 2 3

12 k

     

2 2

0 0 1 r r r r r

k 3 1 3 2 3

n corpi

X 2

| | −

= r

¯ I r r

k 12 1 2

k

n corpi

X

= (−r r )

1 2

k 4

Il tensore d’inerzia presenta le seguenti caratteristiche :

Simmetrico le sue componenti sono simmetriche (σ = σ ) anche perché σ(O) è somma di

ij ji

I C

tensori simmetrici quali e rispettivamente matrice identità e matrice dei momenti

centrifughi (dove quest’ultima rappresenta le proprietà del materiale). Tale caratteristica

permette di affermare che σ(O) è diagonalizzabile.

Diagonalizzabile per la proprietà di simmetricità esiste un sistema di riferimento in cui tutti

gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli, la cosiddetta terna principale

d’inerzia. Il calcolo parte dalla scelta di una terna qualsiasi solidale al corpo e si calcola

σ(O) rispetto ad essa, quindi si procede risolvendo un problema agli autovalori dove

questi ultimi rappresenteranno proprio i momenti di inerzia massimo, intermedio e

minimo all’interno della terna principale d’inerzia definita dagli autovettori trovati (è

comunque sufficiente che σ(O) presenti almeno due dei termini tra σ ,σ e σ nulli

12 13 23

per affermare che ci troviamo in una terna principale d’inerzia).

Semidefinito positivo presenta tutti i propri autovalori non negativi. In generale può

presentare componenti positive o nulle sulla diagonale principale, e positive negative o

nulle nelle altre posizioni.

Dipendente dalla distribuzione delle masse gli elementi fuori da diagonale principale

vengono chiamati momenti deviatori e sono fonte di sollecitazioni sui supporti degli

organi meccanici. Per questo motivo è fondamentale che il centro di massa del sistema

giaccia sull’asse di rotazione del corpo e che quest’ultimo sia un asse principale d’inerzia,

in maniera tale da evitare l’insorgere di vibrazioni non previste e dannose.

Indipendente dall’atto di moto e non influenzato dal orientazione del SDR infatti

il calcolo di σ(O) avviene preferibilmente all’interno di un sistema di riferimento solidale

al corpo rigido in maniera tale che sia indipendente dal tempo (componenti costan-

ti istante per istante). Solo successivamente può essere proiettato su un sistema di

riferimento inerziale attraverso la relazione :

T

R

σ (O) = σ (O)R

S

Σ T

R R

dove rappresenta la matrice di rotazione e la sua trasposta. Tale operazione però

comporta la perdità dell’indipendenza temporale.

1.2 Teorema di Huygens-Steiner generalizzato

Il seguente teorema permette il calcolo del tensore d’inerzia rispetto ad un punto B

qualsiasi, quando è noto quello calcolato nel centro di massa G nel sistema solidale al corpo

S

rigido : Z h i

2

− − − ⊗ −

σ(B) = (P B) I (P B) (P B) ρdW =

W

Z Z

h i

2

− − − − − ⊗ − −

= (P G + G B) I ρdW [(P G + G B) (P G + G B)] ρdW

W

W {z } | {z }

| H H

1 2

5

Gli integrali risultano essere rispettivamente :

Z 2

− −

[(P G) + (G B)]

H = IρdW

1 W

Z 2

− − − −

= (P G) + 2(P G)(G B) + (G B) IρdW

W

Z Z 2

2 −

− − · − +m(G B)

= (P G) IρdW + 2 (P G)ρdW (G B)I I

W W {z }

| =0

Z

− {[(P − − ⊗ − −

H = G) + (G B)] [(P G) + (G B)]} ρdW

2 W

Z {[(P − ⊗ − − − ⊗ −

− G) [(P G)]} ρdW m(G B) (G B)

= W

Pertanto il tensore d’inerzia σ(B) per il teorema di Huygens-Steiner è pari a :

o

n 2

− − − ⊗ −

σ(B) = σ(G) + m (G B) I (G B) (G B) (1.1)

1.3 Equazioni cardinali della dinamica

Si definisce sitema inerziale un sistema che vede i corpi muoversi di moto rettilineo

uniforme. Adottando due sistemi di riferimento uno inerziale Σ ( u

¯ , u

¯ , u

¯ ) di centro Ω, ed

1 2 3

S

uno solidale al corpo rigido (

e

¯ , e

¯ , e

¯ ) di centro O, per un insieme di punti materiali

1 2 3

risulta che :

Prima equazione cardinale della dinamica

d d X

X X

E

F̄ m v̄ )

(v̄ ) = (

= m ā = m k k

k

k k k dt dt k

k k ! 2

d d

d d ˙

X

= m r̄ ) =

( (mr̄(G)) = ( Q̄(G)) = Q̄

k k 2

dt dt dt dt

k ˙

E

F̄ = Q̄ (1.2)

Seconda equazione cardinale della dinamica

X

K̄(O) − ×

= (P O) m v̄

k k k

k " #

d

˙ X

K̄(O) − ×

= (P O) m v̄

k k k

dt k

X X

− × − ×

= (P O) m ā + [v̄ v̄(O)] m v̄

k k k k k k

k k E

− × − × M̄ − ×

= (G O) mā(G) v̄(O) Q̄ = (O) v̄(O) Q̄

˙

E

M̄ K̄(O) ×

(O) = + v̄(O) Q̄ (1.3)

6 × −

Per i corpi rigidi, ricordando che vale la relazione v̄(P ) = v̄(O) + ω̄ (P O), la prima

equazione cardinale continua a valere, mentre per la seconda possiamo scrivere che :

X

K̄(O) − ×

= (P O) m v̄

k k k

k

X − × × −

= (P O) m [v̄(O) + ω̄ (P O)]

k k k

k

X X

− × − × × −

= (P O) m v̄(O) + (P O) m [ω̄ (P O)]

k k k k k

k k

h i

X 2

− × | − | − − ⊗ −

= (G O) mv̄(O) + m P O I [(P O) (P O)] ω̄

k k k k

k

− ×

= (G O) mv̄(O) + σ(O)ω̄

d

˙

K̄(O) − ×

= (G O) mv̄(O) + σ(O)ω̄

dt d

− × − ×

= (G O) mā(O) + [v̄(G) mv̄(O)] mv̄(O) + [σ (O)]

Σ

dt

d

− × × ×

= (G O) mā(O) + v̄(G) mv̄(O) + [σ (O)ω̄] + ω̄ σ (O)

S S

dt

d ×

− × − × σ (O) (ω̄) + ω̄ σ (O)

= (G O) mā(O) v̄(O) mv̄(G) + S S

dt

˙

− × − × ×

= (G O) mā(O) v̄(G) Q̄ + σ(O) ω̄ + ω̄ [σ(O)ω̄]

Allora riscrivendo l’equazione 1.3 risulta che :

E ˙

M̄ × − ×

(O) = σ(O)

ω̄ + ω̄ [σ(O)ω̄] + (G O) mā(O) (1.4)

Volendo generalizzare ulteriormente assumendo polo B qualsiasi :

( E E E

M̄ M̄ − × F̄

(B) = (G) + (G B) Trasposizione dei momenti

E ˙

M̄ ×

(G) = σ(G)

ω̄ + ω̄ [σ(G)ω̄] dalla eq. 1.4

E ˙

M̄ × − ×

(B) = σ(G)

ω̄ + ω̄ [σ(G)ω̄] + (G B) mā(G)

7

1.4 Teorema dell’energia cinetica

T

L’espressione dell’energia cinetica è pari a :

1 1

X X

2

T = m v

¯ = m v

¯ v

¯

j j j j j

2 2

j j

1

X × −

m [v̄(O) + ω̄ (P O)] v

¯

= j j j

2

j 1 1

X X × −

= m v̄(O)

v

¯ + m [ω̄ (P O)] v

¯

j j j j j

2 2

j j 1

1 X

X · − × ·

m v

¯ v̄(O) + [(P O) m v

¯ ] ω̄

= j j j j j

2 2

j

j

1 1

· K̄(O) ·

= Q̄ v̄(O) + ω̄

2 2

1 1 1

2 2 2

· ·

= mv (G) + [σ(G)ω̄] ω̄ = mv̄ (G) + [σ(G)ê ê ] ω

ω ω

2 2 2

1 2 2

= mv (G) + [σ(G) : ê ê ] ω

ω ω

2 1 1

2 2

T = mv (G) + I ω (1.5)

ωω

2 2

da cui si può notare che i contributi di energia cinetica non vengono mai dai momenti

deviatorici.

1.5 Matrice di rotazione

R

Il tensore del secondo ordine è una matrice antissimetrica che consente di esplicitare il

legame esistente tra diverse terne di riferimento. Dati, per esempio, due sistemi di riferimento

S

uno inerziale Σ (

u

¯ , u

¯ , u

¯ ), ed uno solidale al corpo rigido (

e

¯ , e

¯ , e

¯ ), risulta che le proiezioni

1 2 3 1 2 3

S

di su Σ sono :  

R R R

11 12 13

R R R

û = ê + ê + ê R R R

1 11 1 12 2 13 3 21 22 23

  

  

R R R → R

û = ê + ê + ê R R R

=

2 21 1 22 2 23 3 31 32 33

 

 

↑ ↑ ↑

R R R

û = ê + ê + ê   

3 31 1 32 2 33 3 ê ê ê

1 2 3

S)

si può dimostrare anche che nel caso opposto (passaggio da Σ a la matrice di rotazione

ΣS

R R

è proprio la trasposta di . S, L)

Nel caso più generale a più sistemi di riferimento (Σ, e supponendo di voler ricavare

L,

le componenti di un generico vettore w̄ nel sistema Σ, che sia però noto nel sistema si

osserva che : LΣ

R

S LS L

R

w̄ = w̄ z }| {

SΣ S SΣ LS L LΣ L

Σ

→ R R R

w̄ = w̄ = (R w̄ ) = w̄

SΣ S

Σ R

w̄ = w̄ LΣ

R

ottenendo cosı̀ una nuova matrice di rotazione che permette di ricavare direttamente le

componenti di w̄ in Σ. Le rotazioni finite devono essere moltiplicate tra loro necessariamente

8

nell’ordine stabilito, infatti godono della proprietà associativa, ma non di quella commuta-

tiva (una successione diversa delle stesse rotazioni finite non conduce il corpo nella stessa

configurazione), al contrario delle rotazioni infinitesime che possono essere sommate tra loro

senza problemi (godono della proprietà commutativa).

Nota la matrice di rotazione, è possibile, effettuare la ricerca di un asse di rotazione

fisso per il corpo, risolvendo un problema agli autovalori. Dalla risoluzione dell’equazione di

terzo grado in λ, si ricaveranno tre autovalori di cui uno sicuramente reale il cui autovettore

rappresenta l’asse ricercato, e due complessi coniugati.

1.6 Teorema di Poisson S

Dato un vettore qualsiasi w̄ con Σ (

u

¯ , u

¯ , u

¯ ) e ( e

¯ , e

¯ , e

¯ ) :

1 2 3 1 2 3

(

w̄ = w û + w û + w û rispetto a Σ

1 1 2 2 3 3

00 00 00 S

w̄ = w ê + w ê + w ê rispetto a

1 1 3

1 2 3

S

ricordando che le proiezioni dei versori su Σ possono essere determinati con l’ausilio della

R,

matrice di rotazione ed effettuando le derivate delle espressioni precedenti :

dw̄ dw̄

 = ẇ û + ẇ û + ẇ û =

 1 1 2 1 3 3

 dt dt

 Σ

d w̄ dê dê dê dw̄

1 2 3

00 00 00 00 00 00

 ×

= ẇ ê + w + ẇ ê + w + ẇ ê + w = + ω̄ w̄

 1 2 3

1 1 2 2 3 3

 dt dt dt dt dt S

possiamo ricavare il teorema di Poisson generalizzato :

dw̄

dw̄ × Th. Generalizzato (1.6)

= + ω̄ w̄

dt dt S

Σ

R

La matrice di rotazione cambia continuamente le sue componenti nel tempo, e quindi

risulta necessario capire come essa evolva, al fine di conoscere il moto del corpo note le

condizioni iniziali. A tal proposito si sfrutta il teorema di Poisson congiuntamente alla

definizione di derivata di un vettore :

dê d

 j ˙

Ṙ R Ṙ

û + û

= (R û ) = û =

 ij i ij i ij i ij i

 dt dt dê

 j

Σ → Ṙ ×

= û = ω̄ ê

ij i j

dt

dê j Σ

 ×

= ω̄ ê

 j

 dt Σ ×

Risolvendo il prodotto vettoriale ω̄ ê osserviamo che il vettore colonna ottenuto può essere

j

pensato come prodotto tra una matrice Ω di rotazione antisimmetrica a traccia nulla (le cui

componenti rappresentano in questo caso le velocità angolari del corpo nella terna Σ), ed il

versore ê :

j  

−ω

0 ω

3 2

−ω

× ω 0

Ωê = ω̄ ê = ê

3 1

j j j

 

−ω ω 0

2 1

9

Pertanto risulta che :

dê j Ṙ × × ×

= û = ω̄ ê = ω̄ (R û ) = (ω̄ û )R

ij i j ij i i ij

dt Σ

Ṙ û = (Ωû )R moltiplicando entrambi i membri per û

ij i i ij k

Ṙ · ·

û û = [(Ωû ) û ]R

ij i k i k ij

Ṙ R

δ = Ω

ij ik ki ij

Ṙ R

= Ω espandendo a tutti i versori ê

ki ki ij j

Ṙ R

= Ω I Espr. Matriciale (1.7)

Σ T

R

moltiplicando entrambi i membri per :

T T T

ṘR RR → ṘR

= Ω Ω =

Σ Σ

Per proiettare le equazioni del moto sono necessarie sia Ω che σ (G) riferite entrambe al

Σ

Σ

sistema di riferimento inerziale Σ. Spesso però σ(G) è calcolato nel sistema di riferimento

S per questioni di comodità computazionale, pertanto possiamo procedere in due modi

differenti.

Nel primo caso è possibile proiettare σ (G) in Σ attraverso la relazione :

S T

R

σ (G) = σ (G)R

S

Σ S

Nel secondo invece possiamo proiettare Ω in con una relazione simile alla precedente :

Σ

T T

R R R Ṙ

Ω = Ω =

S Σ

R

moltiplicandola membro a membro per si ottiene :

T Ṙ

RΩ RR

=

S

Ṙ RΩ

= II Espr. Matriciale (1.8)

S T

R

moltiplicando membro a membro per :

T T T

R Ṙ R RΩ → ṘR

= Ω =

S Σ Ṙ,

Entrambe le espressioni matriciali del teorema di Poisson forniscono la stessa ed in

particolare, equivalgono a nove equazioni differenziali per le quali conosco posizione e atto di

moto iniziale (R , Ω ).

0 0 10

Capitolo 2

Dinamica dei rotori

2.1 Bilanciamento

quando il baricentro di un rotore non coincide con l’asse di rotazione possono insorgere

fenomeni vibratori di entità rilevante, talvolta tali, in condizioni prossime alla velocità critica,

da compromettere il funzionamento della macchina. Per limitare il fenomeno e comunque per

ridurre le forze centrifughe si deve effettuare il bilanciamento della macchina, ossia disporne

le masse in modo da generare un minimo (al limite zero) di forze e coppie di inerzia.

2.1.1 Bilanciamento statico

Quando un corpo di massa M ruota con velocità ω attorno ad un asse fisso ed il suo

baricentro non coincide con l’asse di rotazione, ma è a distanza e dall’asse, nasce una forza

2

centrifuga pari a F c = M ω e. La figura 2.1.a visualizza il movimento di un rotore (ruota di

autoveicolo) dovuto allo sbilanciamento statico.

Figura 2.1: Sbilanciamento statico (a) e dinamico (b)

Il bilanciamento statico di un rotore consiste nel portarne il baricentro sull’asse di rotazione,

in modo da annullare il valore dell’eccentricità e ( quindi la forza centrifuga). Un rotore su cui

è stato effettuato il bilanciamento statico è detto staticamente bilanciato. Il bilanciamento

statico può essere effettuato collegando rigidamente al rotore una massa bilanciante m tale da

portare sull’asse di rotazione il baricentro del sistema rotore + massa bilanciante, disposta

da parte opposta rispetto alla posizione del baricentro (figura 2.2). Detta r la distanza tra la

massa bilanciante m e l’asse di rotazione, la forza centrifuga del rotore sbilanciato di massa

11

M e quella prodotta dalla massa bilanciante dovranno essere in equilibrio

2 2

mω r = M ω e

Pertanto, noti la massa M del rotore e il suo sbilanciamento iniziale e, si potrà scegliere

la posizione r e calcolare la massa m, ovvero scegliere m e calcolare la posizione r in cui

applicarla. Detto in altri termini, per avere bilanciamento statico il baricentro dell’insieme

rotore + massa bilanciante deve stare sull’asse di rotazione.

Figura 2.2: Bilanciamento di un rotore staticamente sbilanciato

La presenza dello sbilanciamento statico è facilmente osservabile con una prova statica

(questo è il motivo per cui si chiama sbilanciamento statico). È sufficiente appoggiare l’albero

del rotore a due guide orizzontali a coltello. Il rotore ruoterà fino a disporsi con il baricentro

nel punto più basso possibile. Se il rotore è bilanciato (per cui il baricentro è sull’asse di

rotazione) il rotore resterà fermo comunque lo si collochi sulle guide.

2.1.2 Bilanciamento dinamico

Quando un corpo di massa M ruota con velocità ω attorno ad un asse fisso è possibile che

nascano forze di inerzia che provochino una coppia di inerzia non nulla ortogonale all’asse di

rotazione: questa situazione si verifica quando nessun asse principale di inerzia del corpo è

parallelo all’asse di rotazione. La figura 2.1.b visualizza il movimento di un rotore (ruota

di autoveicolo) dovuto allo sbilanciamento dinamico. Lo sbilanciamento dinamico non è

rilevabile con una prova statica, come quella citata per verificare lo sbilanciamento statico,

ma deve essere misurato ponendo in rotazione il rotore. Le condizioni di bilanciamento statico

e dinamico possono essere presenti alternativamente o contemporaneamente, dando luogo

alle diverse possibilità riportate in tabella.

Per fissare le idee sul problema del bilanciamento dinamico si consideri un rotore costituito

da un albero rigido sul quale sono fissati due dischi di uguali masse M i cui baricentri siano

alla medesima distanza e dall’asse di rotazione, ma disposti da parti opposte (figura2.3).

2

Le due forze di inerzia uguali ed opposte (F = F 2 = M ω e) si equilibrano, il baricentro

1 2

del rotore è sull’asse di rotazione e il rotore risulta bilanciato staticamente. D’altra parte

le due forze di inerzia, avendo linee di azione diverse, formano una coppia non equilibrata,

perpendicolare all’asse di rotazione, e il rotore risulta sbilanciato dinamicamente.

12

Baricentro coincidente Baricentro non coincidente

con l’asse di rotazione con l’asse di rotazione

Un asse principale Rotore bilanciato Rotore bilanciato

di inerzia parallelo staticamente e dinamicamente ma

all’asse di rotazione dinamicamente non staticamente

Nessun asse principale Rotore bilanciato Rotore sbilanciato

staticamente ma staticamente

di inerzia parallelo

all’asse di rotazione non dinamicamente e dinamicamente

Tabella 2.1: Tabella riassuntiva

Figura 2.3: Bilanciamento dinamico

Teoricamente sarebbe possibile bilanciare il rotore ponendo una massa bilanciante su

ogni disco, in modo da effettuare il bilanciamento statico di ciascuno di essi (figura 2.4).

Annullando cosı̀ le singole forze di inerzia e riportando i baricentri dei singoli dischi sull’asse

di rotazione, si avrebbe un completo bilanciamento (statico e dinamico).

Figura 2.4: Bilanciamento dinamico teorico

13

Quando si deve bilanciare un rotore reale è però quasi sempre impossibile riuscire a

collocare le masse bilancianti in posizioni qualunque (nel caso in esame in corrispondenza dei

dischi), ma è necessario porle in piani accessibili e assegnati. In figure 2.5 sono schematizzati

due piani assegnati A e B in cui vanno disposte le masse bilancianti. Per equilibrare i rotori

occorre produrre nei due piani due forza R e R tali da equilibrare la coppia data da F e

A B 1

F senza alterare il bilanciamento statico.

2 Figura 2.5: Bilanciamento dinamico reale

È facile verificare che le forze bilancianti R e R sono uguali ed opposte e che quindi

A B

anche il bilanciamento statico è garantito. Determinate R e R si possono poi trovare i

A B

valori delle masse bilancianti (m e m ) e delle loro distanze dall’asse di rotazione (r e r )

A B A B

imponendo che ciascuna massa generi una forza centrifuga pari alla forza cosı̀ calcolata:

2 2

R = m ω r R = m ω r

A A A B B B

Si vede che i risultati trovati sono indipendenti dalla velocità di rotazione e che quindi il

rotore è bilanciato a qualunque velocità angolare. Il procedimento descritto per bilanciare il

rotore con due dischi può essere facilmente esteso a casi più complessi:

• Rotore con due dischi con sbilanciamenti in direzioni differenti.

• Rotore lungo, con forma generica.

In ogni caso è possibile effettuare il bilanciamento ponendo due masse in piani assegnati.

2.2 Accoppiamenti motore-carico

2.2.1 Accoppiamento diretto

È il caso più semplice di accoppiamento. Analizzando una coppia motrice costante e una

coppia utilizzatrice resistente lineare in un diagramma C ω, è possibile definire tramite la

loro intersezione tutti i punti di funzionamento a regime o di equilibrio P . Osservando

14

Figura 2.6: Accoppiamento diretto

Figura 2.7: Caratteristica motrice e resistente

la figura 2.7 punto di equilibrio P l’accoppiamento è in condizione a regime, mentre in tutti

gli altri casi l’accoppiamento non è in equilibrio. Il sistema è comunque sempre definito

tramite l’equazione differenziale del primo ordine:

C C = I ω̇ dove I = I + I (2.1)

M U M U

Essendo la C lineare essa può riscriversi come C = tan αω e quindi risulta che:

U U

tan α C M

− → − → ω =

C C = I ω̇ C tan αω = I ω̇ ω̇ +

M U M I I

La soluzione è data dalla somma dell’integrale dell’omogenea associata più l’integrale

Figura 2.8: Accoppiamento diretto

particolare dato dalla condizione al contorno imposta in ω(t = 0) = 0: tan α

 

tan α − t

ω = Ae I

O

ω : λ + = 0

 

O

→ →

I

ω(t) = ω + ω tan α C

O P M

0 + ω =

ω : ω̇ = 0

  P

P I I

tan α

 − t

ω = Ae ( tan α

I − t

O ω(t) = Ae

 I

→ → → −ω

0 = A + ω A =

C 0 0

M ω(t = 0) = 0

ω = = ω

 P 0

tan α

Pertanto risulta che: I I

t

ω(t) = ω dove τ = = ω (2.2)

1 e τ 0

0 tan α C M

15

che per il limite di: lim ω(t) = ω

0

t→0

Il parametro τ è definito costante di tempo e rappresenta un utile indicatore sulla rapidità

con cui l’accoppiamento raggiunge la condizione a regime.

Ingegneristicamente si ritiene raggiunta la condizione a regime quando il sistema fornisce

un segnale in uscita pari al 90% della velocità angolare a regime di progetto. Essendo

Figura 2.9: Transitorio di avvio

la costante di tempo τ proporzionale all’inerzia totale, è facile intuire come per τ piccoli

si ottengano accelerazioni elevate e risposte pronte (inerzia piccola) e per τ grandi invece

accelerazioni lente e risposte tardive (inerzia elevata).

Considerate le caratteristiche riportate in figura 2.9 e la funzione velocità angolare ricavata

precedentemente (eq. 2.2), la condizione a regime (ingegneristica) per l’accoppiamento diretto

è raggiunta in un tempo t pari a:

ω

 = 0.9

 ω t

0 → −τ

→ − t = ln 0.1 = 2.3τ

0.9 = 1 e τ

t

ω(t) = ω 1 e

 τ

0

Pertanto più grande sarà τ e maggiore sarà il tempo richiesto per raggiungere la condizione a

regime, viceversa minore sarà τ e più pronta sarà la risposta dell’accoppiamento.

2.2.2 Equilibrio dell’accoppiamento

Considerando il caso più generale di caratteristica motrice e resistente qualsiasi come in

0 00

figura 2.10, è possibile identificare due punti di equilibrio P e P a cui corrispondono le

0 00

rispettive velocità angolari ω e ω .

0 0

Figura 2.10: Caratteristiche qualsiasi

16

0

Perturbando il punto P si osserva che se la coppia motrice diminuisce, la coppia

all’utilizzatore risulta più elevata (bassa) e pertanto la seguente relazione

C C = I ω̇ (2.3)

M U

fornisce ω̇ < 0: l’albero decelera fino ad arrestarsi del tutto. Al contrario un aumento di C M

fornisce una ω̇ > 0, l’albero accelera e l’accoppiamento si porta all’equilibrio nel punto di

00 0

funzionamento P . Per tale motivo P può essere definito punto di equilibrio instabile.

00 00

Perturbando il sistema in P se la coppia motrice aumenta (quindi la velocità è ω < ω ),

0

la differenza tra le coppie produce una ω̇ > 0 che accelera l’albero e lo riporta nelle condizioni

00

di P , analogamente una riduzione di C decelera l’albero riportandolo nelle condizioni in

M

00 00

P . Per tale motivo il punto P può essere definito punto di equilibrio stabile

00

Considerando un accoppiamento perturbato in P che assume di conseguenza una velocità

angolare ω = ω + ξ. Nelle ipotesi di piccole perturbazioni (ξ/ω 1) ed eseguendo

2 2

l’espansione di Taylor delle caratteristiche motrice e resistente:

( 0 0

− −

C (ω) C (ω ) + C (ω )(ω ω ) = C C ξ

=

M M 2 2 2 M

M M con C = C in P”

M U

∼ 0 0

− −

C (ω) C (ω ) + C (ω )(ω ω ) = C C ξ

=

U U 2 2 2 U

U U

Percui l’equilibrio alla rotazione dell’albero può riscriversi come:

0 0

C ξ C ξ = I ω̇

U

M ˙

Dato che la derivata di ω = ω + ξ è pari a ω̇ = ξ, allora:

2 0 0

C C

˙ ˙ ˙

0 0 M U

− → →

C ξ C ξ = I ξ ξ = ξ ξ = cξ

M U I

La costante di proporzionalità c cosı̀ ricavata deve essere necessariamente non nulla per

capire quale tipo di equilibrio è quello esaminato. In caso contrario è necessario troncare

l’espansione di Taylor ad un ordine superiore. La soluzione dell’equazione differenziale è

molto semplice dato che è omogenea. Ponendo come condizione iniziale che la perturbazione

in t = 0 è pari a ξ , risulta che:

0

( (

˙ ct

ξ = Ae

ξ = cξ → → →

λ = c A = ξ

0

ξ(t = 0) = ξ

ξ(t = 0) = ξ 0

0 ct

ξ = ξ e

0

Quindi l’ampiezza della perturbazione è funzione dell’esponenziale:

• Se il coefficiente c è negativo, allora la perturbazione tenderà ad un valore costante ξ

0

0 0

C C dC dC

U M

M U →

c = < 0 > PUNTO STABILE

I dω dω

• Se il coefficiente c è positivo, allora la perturbazione aumenta incontrollabilmente in

ampiezza 0 0

C C dC dC

U M

M U → PUNTO INSTABILE

c = > 0 <

I dω dω

17

In maniera del tutto generale quindi è possibile affermare che affinché un punto di equilibrio

sia stabile deve risultare che: dC dC

U M

> (2.4)

dω ω

La stabilità di un sistema è una caratteristica intrinseca del sistema stesso e pertanto non

dipende dal fenomeno perturbativo che lo disturba. Tale dimostrazione, si ribadisce, è valida

solo sotto l’ipotesi di piccole perturbazioni, infatti è intuibile che perturbazioni molto grandi

possono portare il sistema direttamente in instabilità. Nel caso in cui le due derivate siano

uguali, e quindi non si riesca a definire se il punto di equilibrio sia stabile o meno, è necessario

troncare l’espansione di Taylor delle coppie ad un ordine superiore (come già accennato in

riferimento alla costante di proporzionalità c).

2.2.3 Accoppiamento con trasmissione

Figura 2.11: Schema con trasmissione

L’accoppiamento con trasmissione permette, a parità di potenza tra ingresso e uscita, di

variare le caratteristiche del moto in termini di coppia e velocità angolare (trascurando sia

l’inerzia della trasmissione, ipotesi sempre valida se la progettazione della trasmissione è ben

fatta, e ridurremo la potenza in ingresso per η , per tener conto della quota parte persa per

T

dissipazione nella trasmissione).

Figura 2.12: Diagrammi di corpo libero

Effettuando lo schema di corpo libero come riportato in figura 2.12, si ottengono le

seguenti equazioni:  −

1) C C = I ω̇

M 1 M M

 −

2) C C = I ω̇

2 U U U

 −

3) η C ω C ω = 0

 T 1 M 2 U

18

Motore Facendo l’equilibrio rispetto al motore: τ

1) C (C + I ω̇ ) = I ω̇

M U U U M M

η T

2

τ

τ

 2) C = C + I ω̇ −

− I ω̇ = I ω̇

C C

2 U U U U M M M

M U

 η η

→ T T

ω C

C U 2

2 = τ

3) C = 2

τ τ

1

 η ω η −

C C = I + I ω̇

T M T M U M U M

η η

T T

| {z } | {z }

eq eq

C I

U M

eq eq

C C = I ω̇ (2.5)

M M

U M

Figura 2.13: Schema del motore equivalente

dove si ricorda che: ω ω̇

U U →

= τ = ω̇ = τ ω̇

U M

ω ω̇

M M

eq eq

e i termini C e I sono rispettivamente la coppia e l’inerzia equivalenti viste dal

U M

motore.

Utilizzatore Facendo l’equilibrio rispetto all’utilizzatore:

η

T − −

2) (C I ω̇ ) C = I ω̇

M M M U U U

τ η

η

 − T

T

1) C = C I ω̇ −

C C = I ω̇ I ω̇

1 M M M M U U U M U

 2

τ τ

ω η

T

M η η

3) C = η C = C

T T

2 T 1 1 −C

C = I + I ω̇

 ω τ M U U M U

U 2

τ τ

| {z } | {z }

eq eq

C I

M U

eq eq

− C = I ω̇

C (2.6)

U U

U

M

Figura 2.14: Schema dell’utilizzatore equivalente

eq eq

dove i termini C e I sono rispettivamente la coppia e l’inerzia equivalenti viste

M U

dall’utilizzatore. 19

Figura 2.15: Caratteristiche equivalenti

Dalle equazioni equivalenti 2.5 e 2.6 ricavate è possibile estrapolare i due grafici riportati

in figura 2.15 riguardanti le caratteristiche: Ognuno dei grafici presenta un proprio punto di

funzionamento a regime, ma sono entrambi legati dal rapporto di trasmissione. Ricordando

che: ( EQ

C = tan α ω

M M

U

C = tan α ω

U U U

e dato che τ deve necessariamente rimanere costante sia in condizione di transitorio che a

regime, allora varrà sicuramente che: η

eq EQ

eq C

ω C / tan α tan α C /ω̇ C τ ω ω

C η

M

RU U M M U U U

T

M U

M τ

= =

τ = = = =

ω C / tan α C tan α C C /ω τ η ω C ω

RM M M M U M U U T M U M

ω ω

RU U

= = τ (2.7)

ω ω

RM M

2.2.4 Accoppiamento con frizione

La frizione è un organo meccanico che (sfruttando l’attrito) ha lo scopo di modulare la

trasmissione di una coppia motrice tra due alberi che ruotano a velocità angolari diverse.

Essa permette sostanzialmente di creare una fase di transitorio che consente ai due alberi

di raggiungere gradualmente la condizione a regime, ovvero stessa velocità angolare. Tale

caratteristica è essenziale per esempio per quelle macchine motrici che non possono essere

spente quando l’utilizzatore è in quiete (innesto della frizione), o richiede di essere avviato

(disinnesto della frizione). Figura 2.16: Schema con frizione

È sostanzialmente costituito da due dischi, uno solidale all’albero motore ed uno all’albero

utilizzatore, normalmente in condizioni di aderenza grazie ad apposite molle che se azionate

permettono il distacco dei due dischi, rendendo cosı̀ il moto dell’utilizzatore indipendente da

quello del motore. 20

Ipotizzando di avere una coppia motrice costante e minore della coppia massima tra-

smissibile dalla frizione (cosı̀ da evitare situazioni indesiderate di passaggio da condizione di

aderenza a slittamento fra i dischi quando C > C ) e supponendo di analizzare il caso di

M F

disinnesto della frizione (partendo da ω = 0, superando il transitorio fino alla condizione di

U

aderenza), effettuiamo lo schema di corpo libero:

Figura 2.17: Schemi di corpo libero: motore, utilizzatore e frizione

I rispettivi equilibri alla rotazione sono:

 −

C C = I ω̇

M F M M

 −

C C = I ω̇

F U U U

 C = µ F

 F D rm

dove C e la coppia frenante della frizione nella fase di strisciamento (transitorio).

F

Diagrammando, come in figura 2.18, l’andamento delle varie coppie e delle velocità angolari

in funzione del tempo fino alla condizione a regime (aderenza):

− →

1. C C = I ω̇ > 0 poiché C > C ω̇ > 0 l’accelerazione angolare decresce

M F M M M F

linearmente con C (ipotesi lineare su C ), pertanto il suo integrale sarà parabolico

F F

con origine in ω a t = 0. Contemporaneamente si osserva che fino a quando C <

M F

C (coppia della frizione insufficiente) ω è nulla. Quando C > C al ω cresce

U U F U U

parabolicamente fino a t .

3

− →

2. C C = I ω̇ < 0 poiché C < C ω̇ < 0 la decelerazione cresce linearmente

M F M M M F M

con C ed ω è ancora parabolica.

F M

3. C C = I ω̇ < 0 = cost la frizione è stata completamente rilasciara e la C

M F M M F

si stabilizza al valore massimo raggiungibile. Essendo sia ω̇ che ω̇ costanti i loro

M U

integrali avranno andamento lineare fino a t , rispettivamente decrescente e crescente.

A

−C

4. C = I ω̇ = cost velocità ω lineare. Nell’istante t la frizione termina di strisciare

M F M A

e si passa in condizione di aderenza. Tale transizione provoca anche un cambio repentino

21 − −

Figura 2.18: Andamento C t e ω t

della tipologia di attrito da dinamico a statico, che si traduce in una variazione della

coppia C della frizione e delle velocità angolari. Le equazioni del moto continuano a

F

valere, ma si ha un cambio di incognite da ω̇ e ω̇ (condizioni di attrito dinamico) a

M U

ω̇ e C (condizione di attrito statico). Infatti in t si può osservare (figura 2.18) un

F A

punto angoloso per le velocità angolari degli alberi che iniziano a ruotare solidalmente

con inerzia totale I = I + I e stessa velocità angolare ω (crescente linearmente e di

M U

pendenza dipendente da I), mentre C subisce una discontinuità da C = µ F r a

F F D N m

C µ F r .

F S N m

Dopo la fase di transitorio, nella condizione di aderenza, risulta:

( −

C C = I ω̇ I C + I C

M F M U M M U

→ ≤

C = µ F r in aderenza

F S N m

− I + I

C C = I ω̇ M U

F U U

comportandosi pertanto come un sistema ad accoppiamento diretto.

Oltre il transitorio e la zona ad ω lineare (figura 2.19) la coppia resistente cresce più che

linearmente con ω (aumentano le resistenze) fino a raggiungere un punto di equilibrio stabile

che dipende dalla caratteristica del motore.

2.2.5 Accoppiamento con volano

Quando la coppia motrice non ha un andamento costante, ma periodico con θ (caso

evidente nei motori a due tempi), essa può non essere sufficiente a mantenere il sistema in

moto provocando perciò l’arresto. 22

Figura 2.19: Fasi successive al transitorio d’avvio

Analizzando un accoppiamento diretto nel quale C = cost e C non nulla e costante

U M

solo tra θ = [0, α], l’equazione del moto può riscriversi come:

C (θ) C = I θ̈ (2.8)

M U

Figura 2.20: Grafico della coppia e della velocità angolare

Per evitare che l’accoppiamento si arresti completamente è necessario imporre la periodicità

di ω, che equivale ad imporre ω = cost

med

1 1

2 2

− − →

∆T = Iω Iω = 0 = L L L = L

M U M U

(t=T ) (t=0)

2 2

dove ω = ω = ω e I = I + I , da cui:

M U

(t=T ) (t=0) 2π 2π max

int C dθ = int C dθ C α = C 2π

M U U

0 0 M

ma sapendo che la coppia motrice media è pari a:

Z 1 α

1

med max max

C dθ = C α = C

C = M

M M M

2π 2π 2π

0

allora risulta che:

α

max med

C = C C = C CONDIZIONE DI PERIODICITÀ (2.9)

U U

M M

dove la condizione di periodicità è valida in condizioni a regime.

23

La relazione 2.9 permette di mantenere la velocità angolare media dell’accoppiamento

costante, oltre ad essere una utilissima informazione in fase di progettazione durante la

1

scelta del gruppo motore . L’applicazione di coppie motrici massime all’albero in brevi

periodi di tempo, comportano drastiche variazioni della velocità angolare (

ω̇ elevata) nonché

sollecitazioni torsionali che possono essere distruttive per l’accoppiamento.

Per ridurre al minimo gli effetti dannosi di tali complicazioni si adotta il cosiddetto

volano, che è essenzialmente un disco avente elevata inerzia con la funzione di accumulare

energia cinetica quando viene erogata coppia motrice, e cederla all’utilizzatore, oltre che di

regolarizzare il moto.

Figura 2.21: Grafico della velocità angolare nel tempo

Per risalire all’inerzia del volano applichiamo il teorema delle forze vive al nuovo sistema

con volano, nell’intervallo θ = [0, α]: 1 1

2 2

− −

∆T = L L = Iω Iω

M U max min

2 2

1 2 2

max

− I ω ω

C α C α =

U max min

M 2

1 2 2

I ω ω

= max min

2

1 −

= I (ω ω ) (ω + ω )

max min max min

2 −

= I (ω ω ) ω

max min med

2

Dividendo tutto per ω :

med

max max

− − − −

(C C ) I (ω ω ) ω ω ω C C

U max min med max min U

M M

α = = α

2 2 2

ω ω ω Iω

med

med med med

max −

C C U

M

ε = α (2.10)

2

med

Il parametro ε è definito irregolarità periodica del moto ed è generalmente fissata tra

÷

1 3%. Da esso è possibile ricavare l’inerzia totale dell’accoppiamento e quindi l’inerzia del

12 2

volano, definita in generale come I = mR che consente una capacità di accumulo pari a

V

12 2

T = Iω . 2

È inoltre preferibile montare il volano prima di un eventuale riduttore in modo che il suo

effetto sull’albero condotto risulti amplificato dal rapporto di trasmissione.

1 Con regime periodico.

2 Questa osservazione vale anche per il montaggio della frizione.

24

A seconda della severità del processo in cui è utilizzato l’accoppiamento, è possibile

inserire anche una frizione in modo che la coppia massima all’utilizzatore sia limitata, per

questioni di sicurezza per esempio, dalla coppia massima esercitabile dalla frizione e permetta

lo slittamento quando vengano superate le condizioni di esercizio nominale.

25


ACQUISTATO

1 volte

PAGINE

58

PESO

5.50 MB

AUTORE

gaudio90

PUBBLICATO

4 mesi fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Di seguito potete trovare l'anteprima della mia dispensa di Meccanica Applicata alle Macchine 2 (lezioni sostenute dalla Prof. Carbone nel corso 2017/2018) di circa 60 pagine completamente riorganizzato, ampliato, commentato e riscritto interamente a macchina da me. Il testo è anche interattivo e quindi potrete navigare velocemente tra le varie sezioni.

Gli appunti non hanno bisogno di alcun materiale complementare, nè del prof, nè di altre persone e vi potranno far superare l'esame in sole due settimane con un voto Eccellente. Il testo accompagna il lettore ad una comprensione totale degli argomenti e delle dimostrazioni. Inoltre il testo risulterà valido anche per la preparazione in senso stretto all'esame dato che gli argomenti sono posti in maniera tale da rispondere in maniera ampia e precisa ai quesiti d'esame.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher gaudio90 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica applicata alle macchine 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Bari - Poliba o del prof Carbone Giuseppe.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Corso di laurea magistrale in ingegneria meccanica

Appunti di Macchine ed azionamenti elettrici [MAE]
Appunto
Appunti di Tecnologia Meccanica 2: Lavorazioni non convenzionali [TM2]
Appunto
Appunti di Controlli automatici
Appunto