Appunti di Meccanica applicata alle macchine 2 [MAM2]

U M

M U →

c = < 0 > PUNTO STABILE

I dω dω

• Se il coefficiente c è positivo, allora la perturbazione aumenta incontrollabilmente in

ampiezza 0 0

−

C C dC dC

U M

M U → PUNTO INSTABILE

c = > 0 <

I dω dω

17

In maniera del tutto generale quindi è possibile affermare che affinché un punto di equilibrio

sia stabile deve risultare che: dC dC

U M

> (2.4)

dω ω

La stabilità di un sistema è una caratteristica intrinseca del sistema stesso e pertanto non

dipende dal fenomeno perturbativo che lo disturba. Tale dimostrazione, si ribadisce, è valida

solo sotto l’ipotesi di piccole perturbazioni, infatti è intuibile che perturbazioni molto grandi

possono portare il sistema direttamente in instabilità. Nel caso in cui le due derivate siano

uguali, e quindi non si riesca a definire se il punto di equilibrio sia stabile o meno, è necessario

troncare l’espansione di Taylor delle coppie ad un ordine superiore (come già accennato in

riferimento alla costante di proporzionalità c).

2.2.3 Accoppiamento con trasmissione

Figura 2.11: Schema con trasmissione

L’accoppiamento con trasmissione permette, a parità di potenza tra ingresso e uscita, di

variare le caratteristiche del moto in termini di coppia e velocità angolare (trascurando sia

l’inerzia della trasmissione, ipotesi sempre valida se la progettazione della trasmissione è ben

fatta, e ridurremo la potenza in ingresso per η , per tener conto della quota parte persa per

T

dissipazione nella trasmissione).

Figura 2.12: Diagrammi di corpo libero

Effettuando lo schema di corpo libero come riportato in figura 2.12, si ottengono le

seguenti equazioni:  −

1) C C = I ω̇

M 1 M M



 −

2) C C = I ω̇

2 U U U

 −

3) η C ω C ω = 0

 T 1 M 2 U

18

Motore Facendo l’equilibrio rispetto al motore: τ

−

1) C (C + I ω̇ ) = I ω̇

M U U U M M

η T

2

τ

τ

 2) C = C + I ω̇ −

− I ω̇ = I ω̇

C C

2 U U U U M M M

M U

 η η

→ T T

ω C

C U 2

2 = τ

3) C = 2

τ τ

1

 η ω η −

C C = I + I ω̇

T M T M U M U M

η η

T T

| {z } | {z }

eq eq

C I

U M

eq eq

−

C C = I ω̇ (2.5)

M M

U M

Figura 2.13: Schema del motore equivalente

dove si ricorda che: ω ω̇

U U →

= τ = ω̇ = τ ω̇

U M

ω ω̇

M M

eq eq

e i termini C e I sono rispettivamente la coppia e l’inerzia equivalenti viste dal

U M

motore.

Utilizzatore Facendo l’equilibrio rispetto all’utilizzatore:

η

T − −

2) (C I ω̇ ) C = I ω̇

M M M U U U

τ η

η

 − T

T

1) C = C I ω̇ −

C C = I ω̇ I ω̇

1 M M M M U U U M U

 2

τ τ

→

ω η

T

M η η

3) C = η C = C

T T

2 T 1 1 −C

C = I + I ω̇

 ω τ M U U M U

U 2

τ τ

| {z } | {z }

eq eq

C I

M U

eq eq

− C = I ω̇

C (2.6)

U U

U

M

Figura 2.14: Schema dell’utilizzatore equivalente

eq eq

dove i termini C e I sono rispettivamente la coppia e l’inerzia equivalenti viste

M U

dall’utilizzatore. 19

Figura 2.15: Caratteristiche equivalenti

Dalle equazioni equivalenti 2.5 e 2.6 ricavate è possibile estrapolare i due grafici riportati

in figura 2.15 riguardanti le caratteristiche: Ognuno dei grafici presenta un proprio punto di

funzionamento a regime, ma sono entrambi legati dal rapporto di trasmissione. Ricordando

che: ( EQ

C = tan α ω

M M

U

C = tan α ω

U U U

e dato che τ deve necessariamente rimanere costante sia in condizione di transitorio che a

regime, allora varrà sicuramente che: η

eq EQ

eq C

ω C / tan α tan α C /ω̇ C τ ω ω

C η

M

RU U M M U U U

T

M U

M τ

= =

τ = = = =

ω C / tan α C tan α C C /ω τ η ω C ω

RM M M M U M U U T M U M

ω ω

RU U

= = τ (2.7)

ω ω

RM M

2.2.4 Accoppiamento con frizione

La frizione è un organo meccanico che (sfruttando l’attrito) ha lo scopo di modulare la

trasmissione di una coppia motrice tra due alberi che ruotano a velocità angolari diverse.

Essa permette sostanzialmente di creare una fase di transitorio che consente ai due alberi

di raggiungere gradualmente la condizione a regime, ovvero stessa velocità angolare. Tale

caratteristica è essenziale per esempio per quelle macchine motrici che non possono essere

spente quando l’utilizzatore è in quiete (innesto della frizione), o richiede di essere avviato

(disinnesto della frizione). Figura 2.16: Schema con frizione

È sostanzialmente costituito da due dischi, uno solidale all’albero motore ed uno all’albero

utilizzatore, normalmente in condizioni di aderenza grazie ad apposite molle che se azionate

permettono il distacco dei due dischi, rendendo cosı̀ il moto dell’utilizzatore indipendente da

quello del motore. 20

Ipotizzando di avere una coppia motrice costante e minore della coppia massima tra-

smissibile dalla frizione (cosı̀ da evitare situazioni indesiderate di passaggio da condizione di

aderenza a slittamento fra i dischi quando C > C ) e supponendo di analizzare il caso di

M F

disinnesto della frizione (partendo da ω = 0, superando il transitorio fino alla condizione di

U

aderenza), effettuiamo lo schema di corpo libero:

Figura 2.17: Schemi di corpo libero: motore, utilizzatore e frizione

I rispettivi equilibri alla rotazione sono:

 −

C C = I ω̇

M F M M



 −

C C = I ω̇

F U U U

 C = µ F

 F D rm

dove C e la coppia frenante della frizione nella fase di strisciamento (transitorio).

F

Diagrammando, come in figura 2.18, l’andamento delle varie coppie e delle velocità angolari

in funzione del tempo fino alla condizione a regime (aderenza):

− →

1. C C = I ω̇ > 0 poiché C > C ω̇ > 0 l’accelerazione angolare decresce

M F M M M F

linearmente con C (ipotesi lineare su C ), pertanto il suo integrale sarà parabolico

F F

con origine in ω a t = 0. Contemporaneamente si osserva che fino a quando C <

M F

C (coppia della frizione insufficiente) ω è nulla. Quando C > C al ω cresce

U U F U U

parabolicamente fino a t .

3

− →

2. C C = I ω̇ < 0 poiché C < C ω̇ < 0 la decelerazione cresce linearmente

M F M M M F M

con C ed ω è ancora parabolica.

F M

−

3. C C = I ω̇ < 0 = cost la frizione è stata completamente rilasciara e la C

M F M M F

si stabilizza al valore massimo raggiungibile. Essendo sia ω̇ che ω̇ costanti i loro

M U

integrali avranno andamento lineare fino a t , rispettivamente decrescente e crescente.

A

−C

4. C = I ω̇ = cost velocità ω lineare. Nell’istante t la frizione termina di strisciare

M F M A

e si passa in condizione di aderenza. Tale transizione provoca anche un cambio repentino

21 − −

Figura 2.18: Andamento C t e ω t

della tipologia di attrito da dinamico a statico, che si traduce in una variazione della

coppia C della frizione e delle velocità angolari. Le equazioni del moto continuano a

F

valere, ma si ha un cambio di incognite da ω̇ e ω̇ (condizioni di attrito dinamico) a

M U

ω̇ e C (condizione di attrito statico). Infatti in t si può osservare (figura 2.18) un

F A

punto angoloso per le velocità angolari degli alberi che iniziano a ruotare solidalmente

con inerzia totale I = I + I e stessa velocità angolare ω (crescente linearmente e di

M U

pendenza dipendente da I), mentre C subisce una discontinuità da C = µ F r a

F F D N m

≤

C µ F r .

F S N m

Dopo la fase di transitorio, nella condizione di aderenza, risulta:

( −

C C = I ω̇ I C + I C

M F M U M M U

→ ≤

C = µ F r in aderenza

F S N m

− I + I

C C = I ω̇ M U

F U U

comportandosi pertanto come un sistema ad accoppiamento diretto.

Oltre il transitorio e la zona ad ω lineare (figura 2.19) la coppia resistente cresce più che

linearmente con ω (aumentano le resistenze) fino a raggiungere un punto di equilibrio stabile

che dipende dalla caratteristica del motore.

2.2.5 Accoppiamento con volano

Quando la coppia motrice non ha un andamento costante, ma periodico con θ (caso

evidente nei motori a due tempi), essa può non essere sufficiente a mantenere il sistema in

moto provocando perciò l’arresto. 22

Figura 2.19: Fasi successive al transitorio d’avvio

Analizzando un accoppiamento diretto nel quale C = cost e C non nulla e costante

U M

solo tra θ = [0, α], l’equazione del moto può riscriversi come:

−

C (θ) C = I θ̈ (2.8)

M U

Figura 2.20: Grafico della coppia e della velocità angolare

Per evitare che l’accoppiamento si arresti completamente è necessario imporre la periodicità

di ω, che equivale ad imporre ω = cost

med

1 1

2 2

− − →

∆T = Iω Iω = 0 = L L L = L

M U M U

(t=T ) (t=0)

2 2

dove ω = ω = ω e I = I + I , da cui:

M U

(t=T ) (t=0) 2π 2π max

→

int C dθ = int C dθ C α = C 2π

M U U

0 0 M

ma sapendo che la coppia motrice media è pari a:

2π

Z 1 α

1

med max max

C dθ = C α = C

C = M

M M M

2π 2π 2π

0

allora risulta che:

α

max med

→

C = C C = C CONDIZIONE DI PERIODICITÀ (2.9)

U U

M M

2π

dove la condizione di periodicità è valida in condizioni a regime.

23

La relazione 2.9 permette di mantenere la velocità angolare media dell’accoppiamento

costante, oltre ad essere una utilissima informazione in fase di progettazione durante la

1

scelta del gruppo motore . L’applicazione di coppie motrici massime al