Appunti Meccanica Applicata alle Macchine completi

1.Introduzione

18 April 2020 11:46

Macchina: combinazione di corpi resistenti disposti in modo tale che attraverso di loro le forze della natura siano costrette a produrre

lavoro accompagnato da certi determinati movimenti

Meccanismo: l'assemblaggio di corpi resistenti, connessi da giunti mobili, per formare una catena cinematica chiusa con un corpo

fisso ed avente lo scopo di trasformare il moto

Corpo (o membro): parte di una macchina (o meccanismo) che si muove rigidamente, cioè non dotata di moto interno, indipendente

dal numero di sotto-parti di cui è eventualmente composta. Possono essere anche deformabili (catene, funi, cinghie, etc.) o liquidi

(olio, etc.).

I corpi sono collegati fra loro da coppie cinematiche che ne limitano la mobilità: tutte le macchine hanno un corpo fisso chiamato

telaio. Inoltre ci saranno uno o più membri detti moventi attraverso i quali la potenza meccanica entra nel sistema ed uno o più

membri detti cedenti attraverso i quali la stessa esce.

Si distinguono macchine:

• Energetiche: destinate alla trasformazione di energia. Si possono suddividere in:

○ Macchine elettriche, quali motori elettrici o generatori elettrici

○ Macchine a fluido, quali macchine idrauliche (fluido incomprimibile) o termiche (fluido comprimibile)

• Operatrici: costruite per scopi diversi dallo scambio energetico

TIPI DI MECCANISMO

Trasmissioni di potenza: realizzano un rapporto costante fra le velocità di uscita e quelle di ingresso del meccanismo (rotismi,

trasmissioni e giunti, etc.)

Meccanismi per il moto vario: consentono di realizzare leggi di moto prestabile (sistemi articolati, camme, meccanismi per moto

unidirezionale ed intermittente, etc.)

Meccanismi a fune: frequentemente utilizzati nelle macchine di sollevamento carichi (paranchi, verricelli, argani, etc.)

Trasmissioni a fluido: trasmissione della potenza basata sul flusso di un fluido all'interno di condotti e di organi. Il sistema è definito

pneumatico (fluido comprimibile) o oleodinamico (fluido incomprimibile)

Quadrilatero articolato: il più semplice meccanismo in catena chiusa ed è costituito da 4 aste e 4 cerniere (sospensioni, pinze, sistemi

di apertura/chiusura, etc.).

Meccanismo a glifo: (sospensione McPherson)

Manovellismo ordinario: sistema biella-manovella, conversione moto di rotazione in moto alterno.

Ingranaggio cilindrico: il più semplice meccanismo che consente di trasmettere potenza tra due assi mantenendo un rapporto

costante fra le rispettive velocità angolari

Ingranaggio a vite senza fine: la rotazione della vite determina quella della ruota a denti elicoidali ad essa accoppiata. I relativi assi

sono ortogonali ed i rapporti di velocità ottenibili sono molto elevati.

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Azionamento lineare a chiocciola e vite senza fine: converte il moto rotatorio della vite in quello traslatorio della chiocciola ed è

molto utilizzato per l'azionamento di assi lineari

Meccanismo per moto unidirezionale: consente la rotazione del tamburo in una sola direzione (sistema di sicurezza).

Croce di malta: consente di realizzare un moto intermittente del cedente quando il movente ruota a velocità costante, moto

intermittente (utilizzato nei sistemi di proiezione cinematografica analogica ed in alcune isole automatizzate di produzione).

Lo studio affronta e risolve tutti i problemi legati ai sistemi meccanici, fra cui le vibrazioni: queste sono presenti in tutti i sistemi

meccanici con elementi in rotazione. Un elemento di grandi dimensioni, con un peso rilevante che ruota ad elevate regimi di rotazione

genera un effetto giroscopico: il rotore reagisce con una rotazione in direzione ortogonale all'asse di rotazione

Il tipo di studio che viene effettuato su un problema meccanico può essere:

• Cinematico: condotto indipendentemente dalle forze o coppie che agiscono sul meccanismo, per cui il suo movimento viene

determinato esclusivamente in base alla geometria e ai vincoli

• Dinamico: studiato in relazione alle forze o coppie che lo producono

• Statico: le forze di inerzia che agiscono sui vari membri sono assenti o trascurabili

I modelli hanno lo scopo di catturare gli aspetti essenziali del sistema in esame e di trascurare quelli ininfluenti. Possono essere:

• Modello fisico: deve essere in grado di rappresentare tutte le grandezze di interesse del sistema reale

• Modello matematico: derivato dal precedente attraverso l'applicazione delle equazioni della fisica. Descrive il comportamento

del sistema reale attraverso un sistema di equazioni algebriche e/o differenziali, che rappresentano in forma matematica le

relazioni fra le grandezze fisiche del sistema meccanico

• Modello cinematico: forniscono informazioni al progettista sulla mobilità dei meccanismi, l'eventualità di interferenze fra

membri, lo spazio di lavoro della macchina etc. sono costituiti da sistemi di equazioni algebriche, solitamente non-lineari ed

accoppiate.

• Modello dinamico o statico: utilizzati per il dimensionamento degli organi

• Modello geometrico: rappresentare la forma di una macchina o di qualche sua parte e sono spesso realizzati tramite CAD

• Modello numerico: realizzati su un computer a partire da dati sperimentali. Modelli modali, FEM, geometrici, etc.

• Modelli CAD-CAE: eseguono analisi cinematica o dinamica di macchine o meccanismi, sono detti simulatori multibody

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2.Coppie cinematiche

12 March 2020 11:12

Moto piano -> 3GdL, due traslazioni lungo x,y e una rotazione con asse perpendicolare al piano xy

Moto spaziale -> 6Gdl, 3 traslazioni lungo x,y,z e 3 rotazioni con asse perpendicolare ai piani xy,xz,yz

TIPI DI CONTATTO

• Sfera su piano: contatto su un punto P del piano, toglie la traslazione lungo la direzione perpendicolare al piano, ha quindi 5GdL

• Cilindro su piano: contatto tramite una linea del piano, toglie anche la rotazione lungo l'asse parallelo al piano, ha 4GdL

• Piano su piano: elimina un'ulteriore rotazione, ha 3GdL

Esistono poi vincoli composti da più di un contatto, che limitano ulteriormente la libertà dell'accoppiamento

CLASSIFICAZIOEN DEI VINCOLI

• Vincolo olonomo: vincoli geometrici, di posizione, l'espressione matematica che caratterizza questi vincoli dipende solo dalla

posizione e non dalla velocità

• Vincolo anolonomo: cinematici, di mobilità, vincolano anche la velocità

• Vincolo bilaterale: le equazioni sono definite tramite uguaglianze

• Vincolo unilaterale: le equazioni sono definite da disuguaglianze

• Vincolo scleronomo: sono indipendenti dal tempo

• Vincolo reonomo: compare esplicitamente il tempo

DEFINIZIONE DELLE COPPIE CINEMATICHE

Una coppia cinematica è una relazione di vincolo fra due corpi che idealizza le reali condizioni di moto presente tra le parti

considerate. Si indentificano in 6 coppie cinematiche inferiori quali

• Coppia rotoidale: lascia un grado di libertà, la rotazione attorno l'asse della coppia

• Coppia prismatica: permette il solo scorrimento lungo l'asse, 1GdL

• Coppia elicoidale: permette la sola rototraslazione del corpo, cioè la rotazione e la traslazione non sono indipendenti bensì sono

legate da una formula dh=p*d0 (p passo dell'elica, d0 rotazione, dh traslazione), 1GdL

• Coppia cilindrica: permette la rotazione e la traslazione lungo l'asse, 2GdL

• Coppia piana: permette due traslazioni lungo il piano e una rotazione attorno l'asse perpendicolare al piano, 3GdL

• Coppia sferica: permette le 3 rotazioni ma blocca ogni tipo di traslazione, 3GdL

Ci sono poi le coppie cinematiche superiori, collegamenti effettuati mediante corpi deformabili (cinghie) o mediante contatto

localizzato (ruote, camme, cuscinetti): nei meccanismi piani ci sono:

• Cerniera pattino: l'asola può traslare e il perno può ruotare, 2GdL

• Camma con possibilità di strisciamento: il contatto è localizzato in un punto, il corpo 2 può traslare su 1 o strisciare lungo la

tangente comune, 2GdL

• Camma senza possibilità di strisciamento: è inibita la possibilità di strisciare, 1GdL

Ricapitolando: PIANO SPAZIO

Tipo coppia N° vincoli N° GdL Tipo coppia N° vincoli N° GdL

Rotoidale 2 1 Rotoidale 5 1

Prismatica 2 1 Prismatica 5 1

Camma con S. 1 2 Elicoidale 5 1

Cerniera pattino 1 2 Cilindrica 4 2

Camma senza S. 2 1 Piana 3 3

Sferica 3 3

CATENE CINEMATICHE E MECCANISMI

Si definisce catena cinematica una connessione di corpi mediante coppie cinematiche: essa può essere

• Aperta: uno o più membri sono collegati ad una sola coppia cinematica

• Chiusa: tutti i membri sono connessi ad almeno 2 coppie cinematiche

• Mista: presenta entrambe le caratteristiche

La molteplicità di una coppia è data dal numero di corpi ad essa connessi -1. una coppia con molteplicità n è rappresentabile da n+1

coppie binarie, ed è necessario per il calcolo del numero di gradi di libertà della catena. Una catena cinematica diventa un

meccanismo se un suo membro viene fissato ed è detto telaio (0GdL).

Si utilizza la formula di Grubler per il calcolo dei gradi di libertà di una catena cinematica

Ncm numero di membri mobili della catena (numero totale - 1 nel caso di presenza del telaio)

C1 è il numero di coppie cinematiche che lasciano 1GdL, dunque rotoidali, prismatiche e camma senza strisciamento, mentre c2 è il

numero di coppie cinematiche che lasciano 2GdL, dunque camma con strisciamento e pattino: c1 e c2 sono calcolati tenendo conto

delle molteplicità delle coppie cinematiche.

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3.Forze di contatto ed effetti dissipativi

18 April 2020 17:36

3.1 INTRODUZIONE

La trasmissione di moto avviene tramite uno scambio di forze fra la macchina e l'ambiente o fra i vari corpi che compongono la

macchina in corrispondenza delle coppie cinematiche.

Le forze di contatto sono solitamente perpendicolari rispetto alle forze di campo che entrano in gioco: la materia che le studia è detta

tribologia. Le azioni che si scambiano i due membri sono sempre governate dal principio di azione e reazione, assumono un ruolo

fondamentale:

• Geometria del contatto

○ Puntiformi: il contatto ideale è un punto (cuscinetto a sfere, ingranaggi sghembi)

○ Lineari: il contatto è una linea (cuscinetto a rulli, camme)

○ Superficiali: il contatto avviene su una o più superfici (vite-madrevite, guide lineari)

• Tipo di moto relativo fra i corpi

○ Puro rotolamento: la velocità relativa nel punto di contatto è nulla

○ Strisciamento: la velocità relativa nel punto di contatto ha la direzione della tangente alle superfici di contatto

○ Urto o distacco: la velocità relativa ha una componente lungo la direzione normale

• Fenomeno dissipativo presente

○ Attrito radente (secco): moto relativo di strisciamento con materiali in contatto diretto

Attrito limite: è presente uno strato molto sottile di lubrificante, in alcuni punti c'è comunque contatto diretto fra le

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○ Attrito limite: è presente uno strato molto sottile di lubrificante, in alcuni punti c'è comunque contatto diretto fra le

superfici (caso intermedio)

○ Attrito fluido (o mediato): le due superfici sono separate da un meato di lubrificante

Il contatto implica sempre dissipazione di energia: le forze di attrito si oppongono al moto relativo (velocità relativa fra i due membri

non nulla) di un membro rispetto all'altro e in una coppia cinematica si creano resistenze di attrito. In presenza di un moto relativo di

strisciamento nascono delle forze di attrito radente che si oppongono al movimento (attrito statico e attrito dinamico).

Se i due membri della coppia hanno velocità angolari differenti, come per esempio nel moto di rotolamento nascono anche delle

resistenze al rotolamento che si oppongono alla rotazione relativa, chiamate attrito volvente.

Nel contatto con urto si manifestano spesso dei fenomeni dissipativi chiamati attrito interno.

3.2 CONTATTI: DEFORMAZIONE ELASTICA

La classificazione geometrica del contatto è puramente teorica: in realtà, la zona nominale di contatto si deforma sotto l'azione dei

carichi esterni:

• Contatto attraverso una superficie di area finita

• La distribuzione della pressione di contatto non è uniforme

La teoria di Hertz è basata sulla meccanica del continuo e tiene conto delle proprietà elastiche dei materiali della coppia. Le ipotesi

sono:

• Materiale uniforme, isotropo e perfettamente elastico

• Si considerano solo le forze nominali alla superficie di contatto (no forze di attrito)

• Aree di contatto piccole rispetto alle dimensioni dei corpi

• Deformazioni piccole rispetto alle dimensioni delle zone di contatto

Per esempio, il contatto fra due sfere di raggio r1 e r2 sotto l'azione di una forza Q genera una zona di contatto circolare di raggio a:

con r curvatura relativa:

ed E modulo elastico equivalente:

La pressione media generata è proporzionale all'area di contatto:

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La distribuzione di pressione superficiale è di tipo ellissoidale:

uguagliando la pressione massima*il semi-ellissoide che ne definisce l'andamento alla pressione media*area di contatto si ottiene:

si può calcolare poi il delta di deformazione generato dal carico:

Si può estendere quanto detto al caso di contatto sfera-piano, poiché una superficie piana è assimilabile ad una sfera di raggio infinito

(equivalenza con il contato sfera-sfera di raggio 2r):

Le stesse considerazioni si possono fare per il contatto cilindro-cilindro che può essere esteso al contatto cilindro-piano.

Esempio: determinare caratteristiche del contatto di una sfera di raggio r=10mm premuta contro un piano con una forza Q=500N

• Calcolando E equivalente pari a 115GPa si ricava dalle formule introdotte

○ a=0,32mm

○ p =2,3GPa

max

○ delta=10µm

• Come richiesto dalla teoria di Hertz, a<<r e delta<<a (area piccola rispetto alle dimensioni dei corpi e deformazione piccola

rispetto all'area di contatto)

Nel caso di contatto fra due cilindri (contatti lineari), considerando Q come la risultante di un carico distribuito uniformemente, si

ottiene:

mentre per quanto riguarda la deformazione, è costituita da una parte logaritmica che si può trascurare nel caso i carichi non siano

eccessivi:

L'andamento della pressione è un semi-cilindroide a direttrice ellittica, per ipotesi le pressioni massime sono verificate in

corrispondenza dell'asse e che le pressioni siano nulle sulle generatrici ai bordi del contatto:

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la pressione media dunque vale:

e la pressione massima si ricava come visto precedentemente:

Esempio: determinare caratteristiche del contatto di un cilindro di raggio r=10mm premuta contro un piano con una forza Q=500N

• Calcolando E equivalente pari a 115GPa si ricava dalle formule introdotte

○ b=0,026mm

○ p =0,6GPa

max

○ delta=1µm

• Come richiesto dalla teoria di Hertz, b<<r e delta<<b (area piccola rispetto alle dimensioni dei corpi e deformazione piccola

rispetto all'area di contatto)

3.3 ATTRITI E DISSIPAZIONI

Quando due corpi strisciano l'uno rispetto all'altro, nasce una forza detta attrito radente che si oppone al movimento: se questo è

trascurabile si parla di condizioni operative ideali, altrimenti si parla di caso reale. L'attrito radente segue il modello di Coulomb. Il

contatto non avviene sull'intera area teorica di contatto, ma in un numero limitato di zone, dove le asperità di una superficie

incontrano quelle dell'altra (micro-asperità)

La forza di attrito è causata da:

• Fenomeni di adesione o di coesione

• Asperità tra le superfici a contatto

• Materiale e stato delle superfici

Considerando due superfici di rame asciutte, esiste una dipendenza della forza di attrito dalla rugosità superficiale

La modellazione dipende dalle condizioni di moto considerate:

• Caso ideale (vincoli lisci): reazione vincolare tra membri della coppia in moto relativo è normale alle superfici coniugate (N)

• Caso reale: la reazione si inclina di un angolo φ , detto angolo di attrito dinamico (o anche cinematico). Dall'inclinazione nasce

d

una componente tangenziale (T), detta forza di attrito dinamico, che ha verso tale da opporsi al moto.

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Indicato f il coefficiente di attrito dinamico si ottiene

d

Si definiscono le ipotesi entro le quali è valida la teoria di Coulomb, secondo cui il coefficiente di attrito f :

d

• Dipende dalla natura dei corpi a contatto e dallo stato delle superfici

• È indipendente dalla velocità relativa e dall'area della superficie di contatto (cioè dalla pressione locale): nella realtà, questa è

solamente approssimata, come si vede dal seguente grafico (attrito statico maggiore rispetto a quello dinamico)

Se i due corpi non strisciano (attrito statico), rimangono in aderenza finché la forza di reazione R resta all'interno del cono di attrito

statico, che ha vertice nel punto P di contatto e semi-ampiezza pari all'angolo di attrito statico (detto di aderenza) φ .

s

La condizione di quiete è dunque garantita dalla disequazione:

Esempio: dato il blocco in figura, con m=100kg, fs=0,7 e fd=0,6, determinare l'equilibrio quando è applicata la forza orizzontale

1)F1=500N

• L'angolo di attrito vale φ =arctan(0,7)=35° e la massima forza di attrito sviluppabile al contatto vale T =f *mg=687N

s max s

• Poiché F1<T la forza di attrito T1 è in grado di equilibrare la forza esterna e il blocco rimane in quiete.

max

• La reazione vincolare R1 risulta inclinata dell'angolo α =arctan(T1/mg)=27° rispetto alla verticale ed è interna al cono di attri