Appunti meccanica applicata alle macchine

Cinematica

Introduzione alle gare di corsa

Cinematica supponiamo di studiare le gare di corsa per mostrare l'atleta S. che parte da una posizione specifica. Voglio sapere dove si trova l'atleta al variare del tempo x(t). Voglio conoscere questo valore per analizzare la velocità nel tempo, valutando dx/dt = x(t). Inoltre, voglio sapere quanto vale l'accelerazione nel tempo, analizzando dv(t)/dt = x(t).

L'analisi cinematica consiste nel conoscere x(t) per ogni istante. V(t) rappresenta il diagramma delle velocità e a(t) il diagramma delle accelerazioni.

Diagrammi di velocità e accelerazione

Supponiamo di studiare le gare di corsa per monitorare l'atleta P. In questa analisi, voglio sapere dove si trova l'atleta al variare del tempo x(t). Le relazioni nel tempo coinvolgono l'analisi della velocità dV(t) e dell'accelerazione v(t). L'analisi cinematica consiste nel conoscere x(t) per ogni istante, con V(t) come diagramma delle velocità e a(t) come diagramma delle accelerazioni.

P(t) = [x_p(t), y_p(t)]

P(t+Δt) - x_pΔt + y_pd/dt [P(t) + o] = x^.p x + y^.p x^.x_p= v_xx + v_yy

Considerando il punto P nell'istante infinitesimale, la risultante può essere modellizzata con un arco di circonferenza dS = R*dθ; v_p(t) = V_P xe(t) + d/dt /td(v_P)d/k = v_P x

Moto circolare e dinamica di un corpo rigido

Considerando due termini, uno tangenziale delle relative d/dt= α)c(y)/dt d/dt = αx + αd/dt + sono perpendicolari la derivata di un invertito e αx(t+Δt) = x(t) + Δxe_n = V_p n̂

V_p = ds/dt = R dφ/dt = -wR df/dt = ω

La componente normale è sempre verso il centro di curvatura e_n = V_p ω n̂ = ω² R n̂ = V_p² / R n̂ V costante in questo tratto e_n è pure

In un caso più generico in cui e_n ≠ 0.

Vediamo ora il caso di un moto circolare v = ωR.

Dinamica di un corpo rigido. Se le deformazioni in un corpo sono trascurabili, posso utilizzare un corpo rigido.

(B-A) = (x_B-x_A)î + (y_B-y_A)ĵ d(x_B-x_A) / dt + d(y_B-y_A) / dt = +d / dt[(y_B-y_A)ĵ] + [ (y_B-y_A)ĵ ] dî/dt dî/dt = (-sinθ / dt) î + (cosθ / dt) ĵ

dĵ/dt = (Ω ∧ ĵ)v_B-v_A = [(x_B-x_A)(Ω ∧ î) - (y_B-y_A)(Ω ∧ ĵ) = Ω ∧ [(x_B-x_A)î + (y_B-y_A)ĵ] = Ω ∧ (B-A) φ_B - φ_A = Ω ∧ (B-A)

v_B = v_A + (i>Ω ∧ (B-A)v_C = v_A + Ω ∧ (C-A)

Q_B = Q_A + dω̂/dt ∧ (B - A) + ω̂ ∧ V̂ + d/dt (B - A) = V̂_A + dω̂/dt ∧ (B - A) ∧ ω̂ ∧ [ω̂ ∧ (B - A)] - ω² (B - A) Q_B = Q_A + ω ∧ (B - A) - ω² (B - A) ⇒

Se conoscessi V_A e ω posso sapere le velocità in qualsiasi punto dθ''/dt . d(θ* . x')/dt . dθ*/dt . dα/dt

Conosco V_A e conosco ω

V_B = V_A ∧ ω ∧ (B - A) V_C = V_A ∧ ω ∧ (C - A)

Il grado di libertà di un sistema è il numero minimo di parametri da conoscere per individuarlo nello spazio. Per un punto il grado di libertà è 3: x_A, y_A, φ.

Per un corpo rigido sono 3: y_A, x_A, α Considèro x_A(t) + y_A(t) → V_A dx_Adt = V_AX dy_Adt = V_AY

Conoscendo θ(t) dθ/dt = θ̇ → ω = θ̇ ω θ̈ = K → ω̇ = θ̈ e₂ - e₁ + ω̇ ∧ (c-b) → ω²(b-a)

Moto traslatorio

Nel moto traslatorio tutti i punti hanno le stesse velocità θ|̇ ω|= θ → V_A: V_B ω_A(b-a) = V_B Percorso equivalente Accelerazione ω_B(...