Appunti matrici (rango, riduzione di Gauss, moltiplicazione matriciale, Rouchè-Capelli, inversa, determinante, Laplace, Cramer, minori orlati)

Introduzione alle matrici

a₁₁x₁ + ... + a_mnx_n = b₁

a₂₁ x₁ + ... + a₂₂x_n = b₂

a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_m

Riscriviamo l’att. linee con matrici a ho associati

• a₁₁ ... a_1m

  • MATRICE DEI COEFFACENTI (della imagina)

• a_m1 ... a_mm

  • MATRICE m x m

b₁

• MATRICE DEI TERMINI NOTI

b_m

• MATRICE m x 1

• a₁₁ ... a_1m | b₁

  • MATRICE COMPLETA ASSOCIATA AL SISTEMA LINEARE

• a_m1 ... a_mn | b_m

  • MATRICE m x m+1

* Matrici

1. Spazi delle matrici m x m a coefficienti in k

Notazioni:

M^m_m(k), M^m_m(k), k M^m_m

Notazione compatta:

(a_is), i = 1... m Righes = 1... m colonne

Si tratta di uno spazio vettoriale, quindi vale la somma e il prodotto per scalare

(a_is) + (b_is) := (a_is + b_is)t(a_is): = (t a_is) ∀t ∈ k

Matrici triangolari superiori/inferiori

• Metti i quadrati che i tutti 0: sufficienti sopra e oltre la diagonale

0 a₂₂ a₂₃ a_2m |0 0 a₃₃ a_3m |

➔ triangolare superiore

Dimensioni di M x M (K)

• In queste, le dim (M^m x K) = m x m

Matrice ridotta per righe

Se per ogni riga non nulla Rs esiste un elemento non nullo ai; s(0 detto pivot), tale che sopra di lui tra tutti gli di Ls sono nulli:

R₁ - Ls 0 0 0 0 0 0 0R₂ 0 2 1 0 3 0 0A = R₃ | 0 0 0 3 6 1 2 4 ➔ matrice ridottaLe₂ 4 | 0 0 6 8 16 12Le₄ R₅ -1 2 0 3 4 11R₆ 0 1 4 0 0 0 0

Se gr(A) di A coincide, nel caso di A ridotta, con il num di righe non nulle sarebbe tale regola o lui:

Questa nel caso precedente r(A) = 5

Quindi dim (span {R₂, R₃, R₄, R₅, R₆} = 5 ≤ 8

Matrici fortemente ridotte

Sia A ridotta per ex

(R)

• 3 1 0
• 2 1 0 2 1 0
• 2 1 0 2 1 0
• (R)
• 2 1 0 2 1 0
• 3 1 0 2 1 0

Nella colonna dei pivot ci sono solo zeri e tutti 0

Vett. liberi Anna_m ≠0

Osservazione 1

L'immagine della relazione lin. dei vett. presenti.identi.

Osservazione 2

Se a_i=b mem è input lin β (A|B) = β(A)+

Se la matr. aumentata A è ridotta a scal./pivot di A_m

l'ordinata nello schema L = m è ordinato

Osservazione 3

Le colonne are red== ident.Rivolto simil Est

-Schema

AE=

β ridotta

β(CA) = ragg per righe =

- num righe non nulle

- num di pivot

Detto che ragg per righe ragg per due

per cercar origine per colonna di forma nome di chi =

des: PIVOT deru grignion del nome ds ignorità

+ {

Reddlin ≠1

in Nente Down

ti C₃ + te1 C₅ + te2 C₆ = 0

⇒ ti1 + te1 table

(1|0) + (2|0) + (0|1)

=

(2c₁, ti1, -ti3) =

(3tu0 l, 26u)

= (b=ti) + b1 = 0 ⇒

c3 = c5 | C

INSIEME DELLE SOLUZIONI DI UN SISTEMA LINEARE COMPATIBILE É UN k-v di Rⁿ

∃x:

AX = b

12v. particolari x, vettore x_p = vettore sol.

S(A) = {x | AX = 0} m-n = n-m variabile libero,

prendiamo x_p particolare c

      {sol. eq. AX=0}

dim. → dim. delle soluzioni del vettore

x_p = struttura AX = 5

allora è intero alla soluzione S del vettore AX=0

S = x_p + W                         

dim. W = {x | f. g: k^m x = 0 <= lettura V(x

                       lettura}                        x_p, x₀)

direzione particolare, direzioneprendo il w

stessa propor. offerte di k^m di dimensione

e m = n - k -= n ➔ S(A) contiene basi di m-n

Vale quando nemico minimo 0

Osservazione

Se r=n ⇒ dim W=0 ovvero W={0}

Quindi si ha una unica soluzione S={c}

Matrici quadrate: ricerca di una inversa a destra

Dati A ∈ M^m(K)

Allora C ∈ M^m(K) è detta inversa di A da destra se

A · C = I_m = 10 0⋱ 01

Osservazione

La A ∈ M^m(K) non è detto che A ammetta una inversa a destra. In particolare, A ammette un inverso a destra ⇔ β(A) = m in tal caso è unica (vedi dimostrazione per aula letta _5;3).

Inversa a sinistra

Dato A ∈ M^m(K), B è detta inversa a sinistra di A se

C · A = I_m = 10 0⋱ 01

con C ∈ M^m (K)

Allora come nel caso dell’inversa da destra la matrice A ammette un’inversa a sinistra ⇔ β(A) = m e in tal caso è unica.

Proposizione

Se β(A) = m ℵ B l’inverso di A a destra e C l’inverso di A da sinistra, allora B = C.

Quindi, A ∈ M^m(K) è detta INVERTIBILE se β(A) = m ℵ B = C è detta l’inversa di A e si notifica con A⁻¹, quindi

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I_m = 10 0⋱ 01

22/05/11

REGOLA DI SARRUS (vale per n=3)

         a₁₁   a₁₂   a₁₃

         a₂₁   a₂₂   a₂₃

         a₃₁   a₃₂   a₃₃

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂

= a₁₃a₂₂a₃₁ - a₂₃a₃₂a₁₁ = A₁₃a₂₁a₃₂

- DEFINIZIONI EQUIVALENTI DI DETERMINANTE

È l'unica funzione su Mⁿ(k) multilineare alternata sulle colonne che vale 1 su In onde

A = Σ_{sigma in Sn} (±1) [a_sigma(1)...

A = (a_i,j)]

L'unica funzione su Mⁿ(k) multilineare alternata sulle colonne che vale 1 su I_n è

A = Σ_{sigma in Sn} (±1) a_sigma(i)1...

+ Enunciato su det(A) oppure |AA tildato =

|A| = !A

Queste due definizioni si ottengono esprimendo le righe/colonne come combinazione lineare.

Questa delle basi canoniche.

(dimostrazione per cui slide 165)