Appunti matrici (rango, riduzione di Gauss, moltiplicazione matriciale, Rouchè-Capelli, inversa, determinante, Laplace, Cramer, minori orlati)

Name: Appunti matrici (rango, riduzione di Gauss, moltiplicazione matriciale, Rouchè-Capelli, inversa, determinante, Laplace, Cramer, minori orlati)
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Author: AlessioBuc99

Revisionato il 27/06/2026

di AlessioBuc99

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Appunti lezione corso Geometria e Algebra lineareArgomenti trattati:-calcolo rango-matrici ridotte-algoritmo di riduzione di Gauss-moltiplicazione matriciale-sistemi lineari-teorema di …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Iannuzzi Andrea

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2020-2021

41 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Introduzione alle Matrici

a₁₁x₁ + ... + a_n1x_n = b₁,

a₂₁x₁ + ... + a_n2x_n = b₂,

a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_m.

Sistema lineare di m equazioni e n incognitea coefficienti K = a, b ∈ K

Riscriviamo il sist. lineare con matrici o loro ausiliati

(_a₁₁ ... a_n1... a_m1 ... a_mn) → MATRICE DEI COEFFICIENTI (delle incognite)

→ MATRICE m×nrighe \ colonna

(b₁...b_m) → MATRICE DEI TERMINI NOTI

→ MATRICE m×1

(a₁₁ ... a_1n b₁...a_m1 ... a_mn b_m) → MATRICE COMPLETA ASSOCIATA AL SISTEMA LINEARE

→ MATRICE m×(n+1)

INTRODUZIONE ALLE MATRICI

a₁₁x₁ + ... + a_1nx_n = b₁,a₂₁x₁ + ... + a_2nx_n = b₂,...a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_m

b sistemi lineari di m equazioni e n incognite:a coefficienti K = Q R Z C G

Racchiudiamo il tutto: lavorare con matrici è ben auspicabile.

( a₁₁ . . . a_1m...a_m1 . . . a_mm )→ MATRICIE DEI COEFFICIENTI (delle incognite)→ MATRICE m x m

riga ↓ colonna

(b₁...b_m )→ MATRICE DEI TERMINI NOTI→ MATRICE m x 1

( a₁₁ . . . a_1m b₁...a_m1 . . . a_mm b_m )→ MATRICE COMPLETA ASSOCIATA AL SISTEMA LINEARE→ MATRICE m x m+1

Matrici

spazio delle matrici m x m a coefficienti in k

Notazioni

M^m_m(k) , M^m_m(k) , k m x m

Notazione compatta

(a_i,j) 1... m righe
s = 1...m m colonne

Si tratta di uno spazio vettoriale quindi vale la somma e il prodotto per scalare

(a_i,j) + (b_i,j) := (a_i,j + b_i,j)
t (a_i,j) : (t a_i,j) ∀t ε k

03/02/22

Ogni matrice puó essere vista come un insieme di m vettori riga se la consideria

A ∈ M_{m x n}(k)

(

a₁₁ ... a_1n

a_m1 ... a_nm

)

= (

R₁

R_n

)

R_i = (a_i1, ..., a_in) ∈ k^{1 x n} ∈ K^m

Oppure puó essere vista come un insieme di n vettori colonna

(

a₁₁ ... a_1n

a_nm ... a_nm

)

= (C₁, ..., C_n)

C_i = (

q_1,1

q_m,1

)

∈ M_{m x 1}(k) ∈ K^m

- Rango per righe

Consiste a un minore estratto

dim ({\displaystyle E_{1}, R_{m}}) = max num di righe L.I

Questo insieme non può superare m perché ogni riga è coperta

da m vettori.

- Rango per colonne

dim ({\displaystyle E_{1}, C_{m}}) = max num di colonne L.I

Questo insieme non può superare m perché ogni colonna è coperta

da m vettori.

In una matrice A ∈ M{sup}({\displaystyle C}), il rango per righe è

uguale a quello per colonne.

- Notazione

ρ(A)

Allora ρ(A) ≤ min { M, n }

- MATRICE TRASPOSTA

Se ho una matrice A la sua trasposta é A^Tche equivale allo scambiare le righe con le colonne.Quindi detta

A = (a_ij) i, j = 1, ..., m ϵ Γ^m,n (K) β ϵ Γ^n,m (K) un β_A (p,q) β = 1,...,m q = 1,...,mdove β(p,q)=a_qp

- MATRICI QUADRATEin cui m=n

- MATRICI DIAGONALI E IDENTITÀ

(a_ij) con a_ij = 0 ∀i ≠ j

(0 0 ⋅ ⋅)(0 1 ⋅ ⋅) → Matrice identità con i termini della(0 ⋅ 0 1) diagonale nulli: 1NOTAZIONE → Id

- MATRICI SIMMETRICHEA = A^T → a_ij = a_ji

- MATRICI ANTI-SIMMETRICHE

A = - A^T → a_ij = - a_ji

- MATRICI HERMITIANE (x la per K=ℋ)A = A̅^T → a

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