Appunti matematica corso base

Derivata

Rapporto Incrementale

Data una funzione f(x) definita in un intervallo (a, b) si definisce rapporto incrementale della funzione tra i due punti il rapporto tra la variazione della variabile dipendente (ordinata) e la variazione della variabile indipendente (ascissa).

Δy/Δx = [f(x₂) - f(x₁)] / [x₂ - x₁]

Esprime la pendenza della retta secante la funzione in corrispondenza dei due punti dati.

_limx→x₀ [Δy/Δx] = _limx→x₀ [f(x) - f(x₀)] / [x - x₀] = l = f'(x₀)

Il valore di tale limite prende il nome di derivata della f(x) in x₀.

Esprime la pendenza della retta tangente alla funzione in corrispondenza di x₀.

Una funzione si dice derivabile in x₀ se esiste la sua derivata prima in quel punto.

Derivabilità e continuità

Una funzione è derivabile in x₀ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale e che sia uguale da destra e da sinistra.

La continuità della funzione in x₀ è condizione necessaria ma non sufficiente ai fini della derivabilità della funzione in quel punto.

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

log_a(x y) = log_a x + log_a y

log_a(x/y) = log_a x - log_a y

log_a x^y = y log_a x

log_a b = ^{log_c b}/_{logc a}

(CAMBIAMENTO DI BASE)

log_a b = ¹/_logb(a)

(FORMULA DI INVERSIONE)

esempio (trasformo il log₂ in un log₁₀)

=> log₂ 3 = ^{log₁₀ 3}/_{log10 2}

Polinomio di Taylor di 1^o ordine:

f(x) ≅ T₁(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)

Polinomio di Taylor di ordine superiore:

P_n(x-x₀) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ¹⁄₂ f''(x₀)(x-x₀)² + ¹⁄_3! f'''(x₀)(x-x₀)³ + ... + ¹⁄_n! fⁿ (x₀)(x-x₀)ⁿ

INTEGRALI SU INTERVALLI ILLIMITATI

1. Se f(x) è continua in [a, +∞[, risulta integrabile in ogni intervallo [a, t[ con t