Appunti matematica corso base

DERIVATA

RAPPORTO INCREMENTALE

Data una funzione f(x) definita in un intervallo (a; b), si definisce rapporto incrementale della funzione tra i due punti il rapporto tra la variazione della funzione (ordinata) e la variazione della variabile indipendente (ascissa).

Δy/Δx = f(x₂) - f(x₁) / x₂ - x₁

Esprime la pendenza della retta secante la funzione in corrispondenza dei due punti dati.

lim Δy/Δx = lim f(x) - f(x₀) / x - x₀ = l = f'(x₀)_{x→x₀x→x₀}

Il valore di tale limite prende il nome di derivata della f(x) in x₀.

Esprime la pendenza della retta tangente alla funzione in corrispondenza di x₀.

Una funzione si dice derivabile in x₀ se esiste la sua derivata prima in quel punto.

Derivabilità e continuità

Una funzione è derivabile in x₀ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale e che sia uguale da destra e da sinistra.

La continuità della funzione in x₀ è condizione necessaria ma non sufficiente ai fini della derivabilità della funzione in quel punto.

DERIVATA

RAPPORTO INCREMENTALE

Data una funzione f(x) definita in un intervallo (a; b), si definisce rapporto incrementale della funzione tra i due punti il rapporto tra la variazione della variabile dipendente (ordinata) e la variazione della variabile indipendente (ascissa).

_{Δy Δx} = f(x2) - f(x1) = _{x2 - x1}

ESPRIME LA PENDENZA DELLA RETTA SECANTE LA FUNZIONE IN CORRISPONDENZA DEI DUE PUNTI DATI.

lim _Δy = lim f(x) - f(x0) = l = f'(x0)_Δx→0 _x-x0

IL VALORE DI TALE LIMITE PRENDE IL NOME DI DERIVATA DELLA f(x) IN x0.

ESPRIME LA PENDENZA DELLA RETTA TANGENTE ALLA FUNZIONE IN CORRISPONDENZA DI x0.

Una funzione si dice derivabile in x0 se esiste la sua derivata prima in quel punto.

Derivabilità e continuità Una funzione è derivabile in x0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale e che sia uguale da destra e da sinistra.

La continuità della funziona in x0 è condizione necessaria, ma non sufficiente, ai fini della derivabilità della funzione in quel punto.

PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

log_a(x·y) = log_ax + log_ay

log_a(x/y) = log_ax - log_ay

log_ax^y = y log_ax

log_ab = ^log_cb/_logca (CAMBIAMENTO DI BASE)

log_ab = ¹/_logba (FORMULA DI INVERSIONE)

=> esempio (trasformo il log₂ in un log₁₀)

=> log₂3 = ^log₁₀3/_log102

REGOLE DI DERIVAZIONE

D[a] = 0

D[ax] = a

D[af(x)] = a · f'(x)

D[x^a] = a · x^a-1

D[(f(x))^a] = a (f(x))^a-1 · f'(x)

D[e^x] = e^x

D[a^f(x)] = a^f(x) · ln a · f'(x)

D[e^f(x)] = e^f(x) · f'(x)

D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

D[^f(x)/_g(x)] = ^{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/_(g(x))²

nei punti in cui g(x) ≠ 0

D[en x] = ¹/_x => D[loga(x)] = ¹/_xln(a)

D[sen x] = cos x

D[cos x] = -sen x

D[tan x] = ¹/_{cos² x} = 1 + tan² x

REGOLE DI DERIVAZIONE

PER FUNZIONI COMPOSTE

D[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

Sono PUNTI DI NON DERIVABILITÀ della funzione i punti che pur appartenendo al campo di definizione della funzione sono esclusi dal campo di definizione della sua derivata - primi: PUNTO DI CUSPIDE

se c'è un approssimarsi e infinito PUNTO ANGOLO se limite finito ma mai uguale da destra e da sisinstra()

FUNZIONE

Dati A e B, si definisce applicazione di A in B una legge, una legge tale che a uno, uno preso in B.

f: A → B

A = dominio dell'applicazione

f(A) ⊆ B = codominio dell'applicazione o di B.

• APPLICAZIONE SURATTIVA, INIETTIVA, BIETTIVA.
• CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

FUNZIONE REALE DI UNA SOLA VARIABILE REALE

che consente di associare ad ogni numero reale di A un numero re