Appunti Macchine ed azionamenti elettrici (MAE)

Compensazione in avanti

KC = v + C = - C - K = ω = ωω = ArrrrA²2kΦkΦkΦKkΦkΦkΦKkΦAA *e quindi la compensazione in avanti ci permette di ottenere proprio una velocità ω anche'v. La piccola in presenza di carico resistente incrementando la tensione al motore fino a acaduta di velocità non riguarda la condizione a regime e verrà analizzato più avanti.1 La si può ottenere ponendo nullo il carico C e ricavando la funzione di trasferimentor 45Figura 4.7: Motore a regime in feedforwardCon questa tecnica i parametri C, R, k, Φ e K non sono conosciuti con esattezza e, ra Aquindi, la semplificazione precedentemente considerata non è valida. In realtà risulta: ''RR R Kv aa Aaa *C = ω + C - C-ω = rr r'2 2 2 2' 'kΦkΦ kΦkΦ KkΦA' ' 'dove i parametri R, k, Φ che consideriamo nel progetto sono quelli di

targa del motore,a′mentre C è il disturbo misurato dal sensore o stimato da un osservatore. Con la compensazionerin avanti si ha comunque un piccolo errore a regime dovuto alla conoscenza inesatta deiparametri.

4.4 Schema del motore valido anche in transitorio

Determiniamo ora lo schema a blocchi del motore valido anche in transitorio. Consideriamole equazioni differenziali del motore e trasformiamole secondo Laplace :

 v (s) − kΦω(s)a( i (s) = av (s) = R i (s) + L si (s) + e(s)  R (1 + τ s)a a a a a a a→Jsω(s) = C (s) − C (s) kΦi (s) − C (s)e r a r ω(s) = JsL acon τ =a R adove τ è la dell’avvolgimento d’armatura. A partire da talicostante di tempo elettricaaequazioni si ricava il seguente schema a blocchi di figura 4.8.

Dato che i sistemi trattati sono tutti :

• Lineari
• Tempo-invarianti
• Causali,

possiamo applicare l’utilissimo principio di sovrapposizione degli

effetti (P SE) che ci permettedi semplificarne lo studio analizzando l'effetto degli ingressi separatamente.

Figura 4.8: Diagramma del motore valido anche in transitorio

• C (s) = 0r 1 1kΦ 2 2k Φ 1 11′ 1ω (s) R (1+τ s) Js τ s(1+τ s)1+τ s R J s kΦ′ a a m a= = =G = a a0 12 2 2 2k Φ k Φ 11 1v (s) kΦ 1 +1 + 1 +a τ s(1+τ s)R (1+τ s) Js 1+τ s R J s m aa a a a11 R Ja′G = con τ =m0 2 2 2kΦ τ τ s + τ s + 1 k Φm a m ′dove τ è la e la G trovata tiene conto dell'inerzia elettrica.costante di tempo meccanicam 0∗Calcolando il limite nel caso div (s) = kΦω (s) a gradino:a 1 1 ∗′ ′ω (∞) = lim sω (s) = lim s v (s) = ωa2kΦ τ τ s + τ s + 1s→0 s→0 m a mHo un errore nullo di posizione in risposta al gradino in ingresso. Il motore è unsistema di tipo 1, ovvero la funzione di trasferimento

in anello aperto presenta un polonell'origine.

• v (s) = 0a 1 1 1′′ω (s) Js Js Js′′ = = ==G 0 12 2 2 21 1k Φ k Φ 1−C (s) 1+1+ 1+r 1+τ s(1+τ s)R (1+τ s) Js 1+τ s R J s m aa a a aR 1 + τ sa a′′G =0 2 2 2k Φ τ τ s + τ s + 1m a m′′dove la G trovata tiene conto dell'inerzia meccanica. Calcolando il limite nel caso di0−C (s) a gradino:r ∗1 + τ s −C RR a aa r ∗′′ ′′ C= −ω (∞) = lim sω (s) = lim s r2 2 2 2 2k Φ τ τ s + τ s + 1 s k Φs→0 s→0 m a mAnche in questo caso ho un errore nullo di posizione in risposta al gradino in ingresso,infatti il denominatore della funzione di trasferimento è lo stesso del caso in cui C (s) = 0re v (s) è diverso da zero.a 47

Figura 4.9: Risposta al gradino di tensione

Figura 4.10: Risposta al gradino di coppia

Ora quindi possiamo comporre

Consideriamo il fatto che a mPertanto possiamo pensare di aggiungere τ al denominatore come di seguito, in modo taleache la scomposizione in fattori permetta di semplificare il numeratore.

R 1 + τ s 1 + τ sRa a aa′′ω (s) = C (s) = C (s)r r2 2 2 2 2 2k Φ τ τ s + τ s + 1 k Φ τ τ s + (τ + τ )s + 1m a m m a m a✘✘✘1+ τ s 1RR ✘ a aa C (s) = C (s)= ✘✘ r r✘✘2 2 2 2k Φ (1 + τ s) (1 + τ s) k Φ (1 + τ s)✘m a m

Figura 4.12: Diagramma equivalente approssimato

4.4.2 Schema con uscita in corrente i (s)aUn modello che presenti un segnale di uscita in corrente i (s) è molto utile nei controlli diaC (s) è proporzionale proprio ad essa. Riprendiamo per questo il diagrammacoppia, dato che ra blocchi di figura 4.8 ed aggiungiamo un segnale di uscita in corrente i (s).aEffettuiamo l’analisi della risposta analizzando le risposte separatamente rispetto agliingressi per: 49Figura 4.13: Diagramma

per il controllo di corrente• C (s) = 0r 1′ τ si (s) 1R (1+τ s) ma′ a a=G = =0 2 2 2k Φ 1v (s) R τ τ s + τ s + 11 +a a m a mJR s(1+τ s)a a′ (s), dovuto alla sola tensione di armatura è nullo.A regime il contributo di ia• v (s) = 0a 1kΦ−′′i (s) 1 1JR s(1+τ s)a′′ a a=G = −=0 2 2 21k Φ−C (s) kΦ τ τ s + τ s + 11 +r m a mJR s(1+τ s)a a′′ ∗A regime il contributo di i (s), dovuto alla sola coppia resistente, è pari a C /(kΦ).a rPertanto ora possiamo, per il P SE, riscrivere la risposta totale del modello :τ s 111 m′ ′′ v (s) + C (s)i (s) = i (s) + i (s) = a ra a a 2 2R τ τ s + τ s + 1 kΦ τ τ s + τ s + 1a m a m m a mIl nuovo schema a blocchi e l’andamento delle risposte ω(s) e i (s) sono riportate in figuraa4.13.Già in questa sezione è possibile evidenziare come nella fase

invece riportati in figura 5.2. Si può notare che nell'istante in cui viene applicato il carico C si avverte un piccolo transitorio. Esso è dovuto sostanzialmente al fatto che la funzione di trasferimento della compensazione in avanti non è costante, ma è dipendente da s. Infatti ponendo sinteticamente i blocchi pari a G in catena diretta, G al disturbo e H il blocco 1 2 incognito, risulta che:

ω = G K (v + HC) - G C1 A r r 2 r → G K v = G K v + G K HC - G C1 A r 1 A r 1 A r 2 r∗ω = ω | = G K v1 A rC = 0r1

È evidente che tale tecnica richiede un trasduttore di coppia, che è molto costoso.

Figura 5.2: Andamento della risposta con compensazione in avanti

G kΦR2 aH = (1 + τ s)a2 2G K K Φ K1 A A

Data l'entità però della variazione, tale fenomeno viene completamente trascurato e si pone la funzione di trasferimento costante.

Nella figura 5.2 è possibile notare la segnalazione di un errore minimo. Infatti anche

se insimulazione pura (in ) l'errore è nullo, nella realtà i parametri k, Φ ed R non sonoSimulink anoti perfettamente (vengono forniti dal costruttore come costanti) e possono subire minimevariazioni durante il funzionamento della macchina, per esempio a causa dell'effetto di unincremento di temperatura. Tale scostamento provoca cosı̀ un piccolo errore a regime, che ècomunque di entità trascurabile.Un'ultima considerazione può essere fatta riguardo la nuova caratteristica del motore.Per mantenere la velocità angolare a regime pari a quella a vuoto, viene incrementata latensione di alimentazione d'.