Appunti di Macchine ed azionamenti elettrici [MAE]

T

con costante k (figura 5.3).

p 53

Figura 5.3: Feedback e proporzionale

Modifichiamo il diagramma a blocchi per rendere la retroazione unitaria : si dividono

tutti gli ingressi al nodo sommatore per K , mentre le uscite vengono invece moltiplicate per

T

K . Aggreghiamo insieme quindi tutti i blocchi che consentono il controllo :

T Si occupa della misurazione della velocità angolare effettiva di uscita (è un

• K T

trasduttore di velocità)

Si occupa di correggere la tensione di regolazione proporzionalmente alla differenza

• k p

tra velocità attuale e quella obiettivo (è un controllore proporzionale)

Si occupa di amplificare la tensione di regolazione generando una corrispondente

• K A

tensione di alimentazione (è un raddrizzatore controllato).

Otteniemo cosı̀ il diagramma di figura 5.4 :

Figura 5.4: Feedback unitario e proporzionale

È possibile ora notare che l’ingresso controllato non è più in tensione v (s), ma in velocità

r

∗

angolare, possiamo quindi ragionare direttamente in termini di ω (s) richiesta. Effettuiamo

ora lo studio delle risposte separatamente, per poi effettuare la sovrapposizione degli effetti :

• C (s) = 0

r ′

k ′

k k K K

ω(s) p T A

2

τ τ s +τ s+1 ′

′ = dove k =

=

G = m a m

0 k ′ 2

∗ ′

ω (s) τ τ s + τ s + 1 + k kΦ

1 + m a m

2

τ τ s +τ s+1

m a m 54

A regime per il teorema del valore finale si ha : ∗ ′

′ ω k

k ∗ ∗

ω < ω

=

ω(∞) = lim sω(s) = lim s 2 ′ ′

τ τ s + τ s + 1 + k s 1 + k

s→0 s→0 m a m

Dunque anche in assenza del disturbo C (s), si ha che l’errore di posizione a regime è

r ∗

non nullo (il motore non ha sufficiente tensione per raggiungere ω ) e questo perchè

′

G non è una funzione di tipo 1 (non ha polo nell’origine). Per annullare l’errore

la 0

occorre inserire un blocco insieme al segnale d’ingresso, che contenga la funzione di

trasferimento : ′ ′

k 1 + k

∗ ∗

(F T · ω ) = ω → F T =

ω(∞) = ′ ′

1 + k k

Tale operazione permette di agire d’astuzia, fornendo un boost di tensione che per-

Figura 5.5: Feedback unitario e blocco supplementare

mette di assegnare un valore di riferimento più elevato, in maniera tale da raggiungere

comunque la velocità angolare obiettivo anche in presenza dell’errore dovuto al control-

2

lore proporzionale che riduce notevolmente la tensione di alimentazione (figura 5.6) .

Effettuando nuovamente il limite si osserva che in questo caso:

′

′ k

1 + k ∗ ∗

ω = ω

ω(∞) = lim sω(s) = ′ ′

k 1 + k

s→0

In questo modo il controllo in retroazione non introduce alcun errore a regime (in realtà

′

la non perfetta conoscenza di k ne introduce uno trascurabile a regime).

∗

• ω (s) = 0 1+τ s

R a

a R 1 + τ s

ω(s) a a

2 2 2

k Φ τ τ s +τ s+1

′′ =

=

G = m a m

0 2 2 2 2 2

R 1+τ s k Φ k ′ ′

−C (s) k Φ τ τ s + τ s + 1 + k

1+ a a

r m a m

2 2 2

k Φ τ τ s +τ s+1 R 1+τ s

m a m a a

3 A regime si ricava che : 1 + τ s C 1

R

R a r a

a = −

ω(∞) = lim sω(s) = lim −s 2 2 2 2 2

′ ′

k Φ τ τ s + τ s + 1 + k s k Φ 1 + k

s→0 s→0 m a m ′

Come si può notare l’errore a regime può essere ridotto grazie al fattore k . Questo

non vuol dire però che l’errore può essere completamente annullato, perchè non si può

′

aumentare k (e in particolare k ) oltre certi limiti.

p

2 Ovviamente la G cambia e dovrà essere ricalcolata

0

3 ′′

Per ricavare G è stato effettuato lo spostamento del nodo sommatore e applicata la regola della

0

retroazione positiva nello schema di figura 5.5 55

Pertanto ora applicando il P SE otteniamo la risposta del modello completo rappresentato in

′

figura 5.6, ricordandosi di ricavare la nuova G con il blocco supplementare:

0 R 1 + τ s

a

a

′ ′′ ′ ∗

ω(s) = ω (s) + ω (s) = G ω (s) − C (s)

r

0 2 2 2 ′

k Φ τ τ s + τ s + 1 + k

m a m

Figura 5.6: Andamento della risposta con compensazione in avanti

5.3 Feedback e controllore proporzionale integrale P I

Un ulteriore tipo di controllo che permette di rimettere un polo nell’origine (che è per

definizione la prova che il motore sarà perfetto a regime) è il controllo P I che ha la seguente

funzione di trasferimento : k 1

s + s +

i

k k

i τ

p

= k = k

G = k + i

p p

c p s s s

1 + τ s k

i p

G = k con τ =

c p i

τ s k

i i

dove τ è la costante di tempo integrale. Il diagramma a blocco è quello in figura 5.7.

i

Rendiamo adesso la retroazione unitaria ottenendo il modello di figura 5.21.

Per semplicità possiamo porre:

K K 1 + τ s

1 R

T A a

a

G (s) = G (s) =

1 2

2 2 2 2

kΦ τ τ s + τ s + 1 k Φ τ τ s + τ s + 1

m a m m a m

Analizziamo ora le risposte del modello ai singoli ingressi.

• C (s) = 0

r G G

c 1

′

G =

0 1 + G G

c 1

56

Figura 5.7: Feedback e proporzionale integrale

Figura 5.8: Feedback unitario e proporzionale integrale

Figura 5.9: Schema semplificato ∗

G G ω

c 1

′ ′ ∗

ω (∞) = lim sω (s) = lim s = ω

1 + G G s

s→0 s→0 c 1

Pertanto in tal caso a regime risulta che non si ha un errore di posizione. Il regolatore

P I ha introdotto cosı̀ un polo nell’origine della funzione di trasferimento ad anello

aperto. 57

∗

• ω (s) = 0 G 2

′′

G =

0 1 + G G

c 1 C

G r

2

′′ ′′ =0

ω (∞) = lim sω (s) = lim −s 1 + G G s

s→0 s→0 c 1

Quindi risulta che la risposta al gradino di coppia resistente è nulla. Introducendo un

regolatore P I a monte del disturbo C (s) si ha che l’errore a regime è nullo.

r

Sarebbe bastato un integratore per introdurre un polo nell’origine ed annullare l’errore a

regime, ma usando un P I si può anche modificare la dinamica del sistema. Ciò è essenziale,

poichè, come si vedrà in seguito nel paragrafo 5.4, il sistema agisce come sovrasmorzato,

P I permette a tal proposito di

e pertanto presenta una risposta molto lenta. Il controllo

ottenere, attraverso la sua taratura, una dinamica molto più pronta come sarà spiegato più

avanti. La risposta del modello è quella riportata in figura 5.10:

Figura 5.10: Risposta del modello con P I

5.4 Analisi dinamica del motore

Consideriamo, come al solito, il diagramma di figura 4.11, ed analizziamo in dettaglio la

dinamica di questo modello.

1 1

1 1 kΦ ∗

ω(s) = v (s) = K ω (s)

a A

2 2

kΦ τ τ s + τ s + 1 kΦ τ τ s + τ s + 1 K

m a m m a m A

1

1 τ τ

= = a m 1

1

2 2

τ τ s + τ s + 1 s +

s +

m a m τ τ τ

a a m

Pertanto la funzione di trasferimento in forma canonica è: r

2 τ

ω(s) ω 1 1

m

n 2

= con δ = = ω =

n

2 2

∗

ω (s) s + 2δω s + ω 2ω τ 4τ τ τ

n n a a a m

n

dove δ è il coefficiente di smorzamento dei poli, e ω è la pulsazione naturale dei poli. Le

n

radici del polinomio possono essere: 58

• 0 < δ < 1 → p = −δω ± jω

n d

1/2 √ 2

Poli complessi coniugati con parte reale negativa e ω = ω 1 − δ la pulsazione

d n

smorzata dei poli

• δ = 1 → p = −ω

n

1/2

Poli reali coincidenti e negativi

√ 2

• δ > 1 → p = −δω ± ω δ − 1

n n

1/2

Poli reali distinti e negativi

Figura 5.11: Piano di Gauss dei poli

Osservando la figura 5.11 è possibile definire due grandezze caratteristiche:

ω

p d

−1

2 2

(−δω ) + (ω ) , ϕ = arctan

ω =| p |= n d

n 1/2 δω n

Dato che il coefficiente di smorzamento dei poli è δ e che risulta τ ≫ τ , allora la risposta

m a

del modello del motore risulta sovrasmorzata δ > 1 (figura 5.12).

La risposta sovrasmorzata è una risposta lenta, allora, per mezzo del sistema di controllo

in retroazione e della presenza del PI, opportunamente progettato, cambieremo la dinamica

per ottenere una risposta sottosmorzata (0 < δ < 1) con un δ non troppo basso al fine di

contenere la sovraelongazione percentuale. Sostanzialmente ricercheremo un valore di δ che

ci permetta di avere una risposta del motore pronta, a fronte di un modesto: si

overshoot

osserverà che il miglior valore risulterà essere pari a δ = 0.707 (risposta sottosmorzata).

I parametri più importanti che descrivono la risposta indiciale di un sistema elementare

del secondo ordine con poli complessi e coniugati a parte reale negativa (ovvero per 0 < δ < 1)

sono (vedi anche figura 5.13):

Tempo di assestamento Si definisce tempo di assestamento t al 5% (2%) il tempo ne-

s

cessario affinchè la risposta indiciale abbia uno scostamento massimo del 5% (2%) del

valore finale. 59

Figura 5.12: Risposta indiciale del modello

Si definisce tempo di ritardo t , il tempo necessario affinché la risposta

Tempo di ritardo d

indiciale raggiunga il 50% del valore finale.

Tempo di salita Si definisce tempo di salita t il tempo necessario affinchè la risposta

r

raggiunga per la prima volta il valore finale.

Tempo di picco Si definisce tempo di picco t il tempo necessario per raggiungere il picco

P

massimo nella risposta indiciale.

Massima sovraelongazione percentuale Si definisce massima sovraelongazione percen-

tuale M , la differenza tra il valore massimo dell’uscita e il valore finale, espresso in

p

termini percentuali di quest’ultimo.

Figura 5.13: Caratteristiche di una risposta nel tempo

60

Dato che abbiamo ass