Appunti Lezioni Onde elettromagnetiche e Mezzi trasmissivi

DISCLAIMER: I seguenti appunti sono stati in parte trascritti da quelli forniti originariamente dal Professor

Andrea Melloni nel corso dell’AA 2016/2017. Oltre a poter contenere inesattezze (dovute principalmente

alla difficile comprensione della grafia), il loro scopo era fungere da canovaccio per le lezioni. Non possono

essere in alcun modo sostituiti allo studio, ma permettono una veloce rivisitazione degli argomenti trattati

nel corso, nonché contengono concise spiegazioni rapide. Sono contenuti inoltre anche alcuni rapidi

esercizi, la maggior parte dei quali sono stati caricati originali.

LINEE DI TRASMISSIONE

Le linee di trasmissione comprendono tutte le strutture e i mezzi per trasmettere energia, segnali,

informazioni da un punto ad un altro. Es: doppini (twisted pair), cavi di vario genere e onde fibre ottiche.

Le terminazioni nervose possono essere viste come linee di trasmissione.

In un caso generale

Il ruolo della frequenza è fondamentale. La tensione (supposta sinusoidale) del generatore si propaga nella

( − )]

[

linea e la tensione lungo la linea è 2 =

La fase di VL differisce dalla fase di Vt della quantità

Quindi la linea di trasmissione non è un conduttore equipotenziale ma una “linea” lungo la quale la

tensione e corrente sono diversi punto per punto.

Ci sono due famiglie di linee:

- Cavi (2 o + conduttori)

- Guide (tubi metallici, non le facciamo)

Invece di trattare il problema elettromagnetico, si può pensare ad un equivalente “elettrico” che non

rappresenta la fisica dei fenomeni ma la fenomenologia (come in tutti i modelli elettromagnetici, acustici,

termici, meccanici, chimici). Questo modello si chiama “costanti concentrate” ed è valido per qualsiasi cavo

indipendente dalla sua forma.

Un tratto infinitesimo di una linea di trasmissione può essere rappresentato come

R= resistenza dei due conduttori

L=induttore H/m (include l’effetto pelle)

C=capacità tra i 2 conduttori F/m

G=conduttanza del mezzo isolante che separa i 2 conduttori S/m

R, L, C, G descrivono le proprietà della linea e dipendono dalle caratteristiche dei materiali e dalla forma del

cavo stesso (sezione traverso)

Se i conduttori sono ideali e pure il dielettrico R=0 e G=0

Trovare il legame tra i parametri geometrici- fisici e i parametri del circuito a costanti concentrate è un

problema elettromagnetico. Ad esempio

E relazioni analoghe per R e G che non consideriamo.

=

Per tutte le linee (TEM) slide cavo coassiale.

EQUAZIONI DELLE LINEE (O DEI TELEGRAFISTI)

Usiamo la legge di kirchoff per le tensioni. (, )

(, ) − (, ) − − ( + , ) = 0

Dividendo per dz ( + , ) (, )

−[ ] = (, ) +

∆

∆ → 0

Lim (, ) (, )

− = (, ) +

Applicando kirkchoff per le correnti si trova

(, ) (, )

− = (, ) +

Equazioni dei telegrafisti nel dominio del tempo

(, ) = {() }

Assumiamo () − () − ( + ) = 0

Dividendo per dz e riordinando (, +) − ()

− = ()

Eq Telegrafisti in regime sinusoidale: ()

− = ()

Analogamente ()

− = ()

Per risolvere e trovare V e I ovunque.

Ora supponiamo segnali sinusoidali e passiamo al dominio delle frequenze

() (

− = + )()

{ () (

− = + )()

Per risolverle conviene avere una equazione tutta in V(z) e una in I(z), derivando la prima per z:

2

() ()

()

− =

2

2

() 2

− () = 0

2

Con 2 2

(

= + )( + ) = −

2

() 2

− () = 0

2

= +

Equazioni d’onda con costante di propagazione e α=0 senza perdite, α=Re(z) con perdite

= √ =

La soluzione delle equazioni delle onde è nel caso senza perdite

0+ 0−

−

() = +

0+ 0−

−

() = +

(la verifica si può fare semplicemente sostituendo queste nelle equazioni delle onde)

Ricordando che ()

− = ()

E sostituendo v(z) con la * si trova 0+ 0−

+ −

− −

[ ]

() = + = +

0

0

0 0

0+ 0−

= =−

Con 0 0+ 0−

Che nel caso senza perdite che senza perdite è:

=√

= =

0

√

= impedenza caratteristica (rapporto tra tensione e corrente in ogni punto della linea è come per lo

0 0

spazio libero)

−

è un’onda che si propaga nella direzione +z con velocità fase

1

= =

√

=

Ricordando che 1

=

√

= √

Dove μ e ε sono i materiali con cui è fatta la linea

Per un cavo coassiale

0

√

= = ln ( )

0

√

COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE

L’origine si prende al carico perché è questo che impone le condizioni al contorno

0+ 0− + −

+

0+ 0− 0

0

= 0 = + = − → = 0‼! = =

Al carico da cui e

0

+ −

−

0 0 0 0

−

0

0− +

=

0

+

0

Da cui trovo 0−

−

0

|Γ |

Γ = = =

0 0

+

+

0

0

Coefficienti di riflessione, definito come il rapporto tra l’ampiezza complessa dell’onda riflessa e l’onda

incidente (adimensionale).

| | ≤ 1

0 0−

| |=0 ≡ 0 =

cioè solo onda incidente, solo se . Ha è reale quindi deve essere un carico resistivo

0 0 0

= 0.

0− 0+

| |=1 =

nel caso di circuito aperto e

0 0− 0+

| |=-1 = −

nel caso di cortocircuito e

0

Esercizi

Onde stazionarie

|Γ |

Γ =

posto

0 0 0+ −

() = ( + Γ )

0

0+ −

() = + Γ

( )

0

Lungo la linea la tensione, in modulo, vale 1

0+ 0+

− 2

|()| |Γ | |

(1 ))

= | | + Γ = | | + + 2|Γ cos(2 +

| | 2

0 0 0

−

+ = 2 cos

Poiché

Analogamente per la corrente

L’andamento oscillante è detto onda stazionaria ed è dovuto alla somma delle onde + e -. I massimi sono

[2 + = 2],

dove le 2 onde sono in fase i minimi dove le 2 onde sono in controfase

[2 + = 2 + ]

2

Il periodo (spaziale) è cioè λ/2 0+

|()| | |=

=

In assenza di onde riflessa costante

Nel caso di cortocircuito o circuito aperto 0+

| |(1 |Γ |)

= + = 2

0

0+

| |(1 |Γ |)

= − = 0

0

Il rapporto tra i due |Γ |

| | 1 +

0

= =

|Γ |

| | 1 −

0

Detto ROS Rapporto Onda Stazionaria.

Nei max e nei min Γ è reale

IMPEDENZA LUNGO LA LINEA

+ −

()

= −

Il rapporto tra è l’impedenza caratteristica, dipende solo dal mezzo e vale . Idem per .

0 0

+ −

()

()

Il rapporto della tensione (totale) e corrente dipende invece dal carico (e dal mezzo) e varia al variare

()

della posizione, Z(z), perché V(z) e I(z) variano punto per punto in modo diverso.

Conoscere questa grandezza Z(z) è importante per un gran numero di motivi, che vedremo.

0+ −

() ( + Γ )

() = = 0+

() −

( − Γ )

0

−

− ±

0

0

Γ = = = cos ± sin

Ma e ricavando da da cui:

+

+

0

0 − tan

0

() =

0 − tan

0

Quindi dal punto di vista del generatore: − tan

0

= (−) =

0 − tan

0

Questo vale perché L=0

Quindi il generatore “vede” un carico che dipende dalle

lunghezze, della linea dalla frequenza, oltre che dal

carico stesso e dal cavo.

=

+

0+ −

= [ + Γ ]

Da cui ricavo che 1

0+

=

Si ottiene −

+ +Γ

0± 0±

Che conclude la soluzione dell’equazione delle onde nei cavi (dei telegrafisti) visto che e sono legate

0+ 0−

da ,

0 0

CASI PARTICOLARI

2) se la linea è lunga un multiplo interno di ½ lunghezze d’onda

2 2

= =

2

tan = 0 → = ∀

0

= = ∀

1) Linea di trasmissione adattate: se 0 0

− tan 1 − tan

0

= (−) = = =

0 0 0

− tan 1 − tan

0

0−

() = , Γ = 0, = 0

Con 0

Si noti che non entra in gioco. Tutta la potenza viene fornita al carico, non dà onda riflessa per ogni L

0

0+ −

=

+

0

Che sfasa rispetto al carico.

2) Trasformatore a λ/4 2

λ λ 2 λ π Z

0

= + ~ → = = → Z =

Se in

4 2 λ 4 2 Z

L − tan

0

tan → ∞ − tan

0

Esempio = 70,7Ω = 100Ω

Sia data una linea con e

0

4) Linea in cortocircuito

Linee in cortocircuito o circuito aperto sono fondamentali per realizzare elementi reattivi ad alta

frequenza che non possano essere realizzati in altro modo.

()

= 0 = tan

Se cortocircuito

0

= 0 = 0

Ovviamente per in corto circuito.

tan > 0 tan < 0

Per altri valori di L, è una reattanza pura. Se è reattanza induttiva, se è una

reattanza capacitiva.

5) Linee in circuito aperto

0

()

= − = − cos

Analogamente a prima 0

tan

Del tutto analogo al corto circuito. Infatti una linea lunga λ/4

2

0

Trasformo Zin in ma se ZL=infinito allora Zin =0

Esercizio

TRASFERIMENTO DI POTENZA

Alla fine, lo scopo di una linea di trasmissione è portare potenza al carico e quindi è importante

valutare questi aspetti. Essendo onde progressive e regressive, in generale, si ha un flusso di

potenza in entrambe le direzioni. Detta P+ e P- la potenza defluisce nelle due direzioni, la potenza

fornita al carico è PL=P+ - P-

Noi consideriamo solo la potenza media in regime sinusoidale

La potenza incidente 0+ 0+

2 2 2

| | | | |Γ|

1 1

+ − 2 +

|Γ |

= = =

2 2

0 0

Da cui 0+ 2

| |

1 2

|Γ|

(1 )

= −

2

0

−

= − = 10 − 2 = 8

Potenza dissipata dal carico

Se Zg = Z0 la P- viene assorbita e dissipata da Zg che non riflette nulla verso il carico. Se Zg diverso

da Z0 allora si riflette e le cose si complicano un po’… Noi supponiamo Zg = Z0 sempre

CARTA DI SMITH

Le formule che permettono di muoversi lungo la linea e calcolare impedenza, coefficiente di riflessione, …

sono di semplice uso per un programma al calcolatore. Prima sono stati sviluppati dei metodi grafici. Il piu

noto e usato è la “carta di Smith” da P.H. Smith 1939 e permette di fare calcoli in modo molto semplice,

efficacie e preciso. Oggi non si usa più per far calcoli ma permette di visualizzare la situazione carico, linea,

generatore, adattamento, ROS, etc. in un modo estremamente immediato. Tanto immediato e logico che

alcuni strumenti di misura hanno la carta di Smith incorporata

Slide

Noi non la usiamo e spieghiamo.

Un punto della carta rappresenta (complesso) e quindi anche Z(z).

- Centro = carico adattato

- A sx = corto circuito

- A dx = circuito aperto

- Cerchio esterno = reattanza (carico puramente reattivo)

- È normalizzata a Z0 e quindi è valida per ogni linea

- Può considerare anche linee con perdite

- Asse orizzontale= reattanza nulla |

- Muoversi lungo le linee=girare attorno al centro con R=|

Altro argomento che non trattiamo è quello delle risposte della linea nel dominio del tempo. Nota reattività

)si

la risposta del carico alle frequenze ( può usare Fourier.

Per Fourier la risposta temporale è quindi la distanza dei segnali.

ADATTAMENTO DI IMPEDENZA = = =0,

Una linea si dice adattata quando . in tal caso non ci dà onde riflesse e si ha il

0

massimo trasferimento di potenza al carico. Oltre per ragioni potenza trasferibile, l’adattamento è la

condizione per non distorcere (ulteriormente) il segnale per cui evita riflessione e sovrapposizioni

(ovvero interferenza intersimbolica). 2

=

8

0

Si chiama potenza disponibile (già vista con le antenne) ed è la massima potenza erogabile dal

generatore. Questa è anche la potenza dissipata dal carico. In caso di disadattamento la potenza

dissipata dal carico diminuisce.

Poiché in genere il carico ha impedenze diverse da (pensiamo ad una antenna) si è in condizioni di

0

disadattamento. Si può in questo caso fornire al carico tutta la potenza disponibile??? Si adattando

Se l’impedenza vista ai morsetti di ingresso della rete di adattamento è allora si riesce a fornire al

0

circuito “rete di adattamento + carico” il massimo della potenza, Pd.

Se la rete di adattamento ha solo elementi reattivi, la potenza disponibile è finita tutta al carico

=

anche se diverso da . Ovviamente =0 e quindi non si può fornirgli potenza!!!

0

Adattamento con λ/4

Se il carico è puramente resistivo = +J0, l’adattamento è molto semplice ricordando che un tratto di

linea lungo λ/4 è un invertitore di impedenza

= = √

Quindi imponendo si ha

0 0

L’impedenza caratteristica della linea lunga λ/4 che ha l’adattamento. La rete di adattamento è non

dissipativo e quindi tutta la potenza in arrivo Pd viene fornita al carico anche se diverso da !!!

0

Lunghezza elettrica dell’adattatore è λ/4. Ad altre frequenze non lo è ed esiste dei sistemi + complessi

per allargare la banda di cui non ci occuperemo

Adattamento di impedenza con λ/4

Se il carico ha una parte reattiva ci sono 2 modi per adattarlo a con un λ/4

0

Un modo semplice per adattare un’impedenza consiste nel cancellare la parte reattiva mettendo in

parallelo (o in serie) una reattanza (o suscettanza) uguale e contraria, realizzata mediante un pezzo di linea

lasciata in circuito aperto o in corto circuito di lunghezza opportuna.

Un altro modo è spostarsi lungo la linea fino a trova