Appunti Lezioni Onde elettromagnetiche e Mezzi trasmissivi

MULTISTRATO

Con un approccio circuitale

Abbiamo in provato che sono le condizioni al contorno a dare la soluzione, si riparte dal fondo

- Si parte sempre dal fondo che è quello che impone le condizioni al contorno cioè la scelta della

soluzione matematica

- non dipende dall’eccitazione ma solo dai materiali

- È possibile avere

= =

Con in generale No , si solo se

1 3 2

Perché allora

E quindi

Strato di mezz’onda

Stessa periodicità dell’onda stazionaria

ADATTAMENTO λ/4

ALTRE RIFLESSIONI

Riflessione e trasmissione per incidenza obliqua

- Le condizioni al contorno si complicano perché in generale per polarizzazione ellittica non sono

perpendicolari e paralleli alla superficie e quindi non vanno separati nei due casi. Concettualmente

non è diverso da incidenza normalmente si complica molto per tutte le casistiche. La polarizzazione

dell’onda riflessa e trasmessa cambia rispetto all’incidenza.

- Non lo facciamo in generale

- Studieremo solo un caso (fibre ottiche)

EQUAZIONI DI MAXWELL

Le “equazioni Di Maxwell” sono 4 equazioni che formano il fondamento dell’elettromagnetismo. Maxwell

ha “collezionato” leggi ben note; ma:

1) ha aggiunto un termine fondamentale, la corrente di spostamento (displacement current).

2) ha capito la valenza di averle tutte 4 insieme e l’interazione fra E e H in regime tempo variabile.

Maxwell eq. – 2 equazioni semi flussi di campi E e B – 2 equazioni sulla circuitazione dei campi E e B

Queste 4 equazioni sono in grado di descrivere tutti fenomeni elettromagnetici. Se le proprietà dei

materiali sono lineari, non lineari, tempo varianti, hanno una dipendenza dalla frequenza, etc continuano a

valere. Anche per sistemi microscopici (con un singolo atomo o carica).

In regime relativistico continuano a valere ma le meccaniche sono cambiate.

In regime quantistico invece non bastano.

Velocita galileiana. 8

3 ∙ 10 /

Velocita della luce: non galileiana, non dipende dal sistema di riferimento, è sempre pari a

Le equazioni (come la maggior parte ma non la totalità della fisica) sono state ricavate per via sperimentale

da Gauss, Ampere e Faraday.

A dire la verità solo due sono indipendenti, le equazioni sui flussi (conservazione della carica) si possono

ricavare dalle altre due ma avendo un ben precisa valenza fisica vengono normalmente scritte

esplicitamente.

Riassumiamo: le leggi valide a regime statico le estenderemo al regime dinamico dove nascono fenomeni

fisici completamente diversi ed importanti.

CAMPO

A partire dal 1700 è stato chiaro che due cariche elettriche in qualche modo interagiscono ed a seconda del

loro segno si attraggono o si respingono. Coulomb nel 1785 propone una legge (sperimentale) che fornisce

le forze fra 2 cariche.

1 ⃗ −12

= 8.854 ∙ 10 /

= permeabilità dielettrica =

0

2

4

0 38

10

(esperimenti abbastanza semplici visto che la forza è volte piu forte delle forze gravitazionali fra le 2

cariche)

A dir la verità era stato Cavendish nel 1750 ad averlo scoperto ma non lo pubblico mai.

Il motivo dell’interazione restò misterioso (lo chiamavano etere che era stato definito come 5° elemento

dopo aria, acqua, terra, fuoco. Con la proprietà di trasmettere i fenomeni elettrici e magnetici) fino al 1850

circa quando Faraday introdusse il termine “campo” inteso come “campo d’azione”.

Campo gravitazionale = è il campo in cui una massa fa sentire la propria influenza come FORZA di

=

attrazione. Il campo gravitazionale è l’accelerazione = vettore con direzione, intensità, verso…

Campo magnetico, di temperatura…

In elettrostatica il CAMPO ELETTRICO è dato da (forza per unità di carica, come il capo gravitazionale è

=

dato da ).

Il campo elettrico si indica con delle linee dette LINEE DI FORZA (perché deriva da una forza)

⃗ dipende dal mezzo. ⃗ ⃗

=

Per svincolarsi dal materiale si definisce INDUZIONE ELETTRICA

0

Per singola carica Q

⃗

=

2

4

D ha il significato fisico di DENSITA’ DI FLUSSO ELETTRICO e quindi il flusso attraverso una superficie ds è

⃗ ⃗

→

= ⋅ = ∫ ⋅ flusso totale attraverso S

Simile al flusso di un liquido o aria. Maggiore è E (o D), maggiore è la

densità delle linee di forza e maggiore è il flusso.

Se la superficie contiene la carica Q completamente

=∮ =

2

4

Il flusso elettrico uscente dalla superficie S è uguale alla carica che contiene.

Legge di Gauss = = 0

+ + = + +

1 2 3 1 2 3

⃗

∮ ⋅ = in cui ρ è la densità volumetrica, questa formula vale per una generica superficie

∫

finita indipendente dal materiale!!!

⃗

⋅ = relazione puntuale (o differenziale)

Legge di Gauss dell’elettrostatica

Il flusso elettrico che esce da una superficie chiusa ad un dato istante è uguale alla carica elettrica racchiusa

nella superficie in quell’istante.

Se ρ (o q) è tempo variante anche φ, D, E sono tempo varianti.

Questa è la prima equazione di Maxwell

=

Legge di Gauss della magnetostatica

Sorgenti di campo magnetico hanno sempre un Sud e un Nord.

Non esistono (al momento non sono state scoperte) sorgenti magnetiche solo N o solo S. Se si spezza una

calamita si riformano S e N.

⃗

∳ ⋅ = 0

Quindi: ⃗

⋅ =0 =

B= induzione magnetica o densità di flusso magnetico definita come la forza per unità di carica

La carica magnetica NETTA sulla superficie è = 0.

Le linee di campo elettrico iniziano e finiscono su cariche, quelle di campo magnetico sono chiuse su sé

stesse.

Sperimentalmente si è notato che su una corrente I che scorre in un campo magnetico B (ad esempio

indotta da una calamita) agisce una forza F data da: ⃗

= ×

Quindi neanche questo campo viene definito in base al “campo di forze” o “campo di azione” come le

precedenti.

DIVERGENZA ⃗

− = = ⋅ =

= ( + + )

⃗

= ( + + ) ⋅

⃗

⋅ =

La divergenza è il flusso puntuale di un campo (vettore).

ROTORE

La circuitazione di un vettore A è l’integrale di A lungo la linea chiusa

Si può dimostrate che:

∮ ⋅ = ∫ × ⋅

( )

× rotore è un operatore differenziale che trasforma un vettore in un vettore

∮ ⋅ = ×

→0

LEGGE DI AMPERE

Sorgenti di campo magnetico (calamite, correnti=cariche in movimento)

Una corrente I in un tratto di filo dl genera un campo magnetico:

⃗

×

⃗ 0

= 2

4

(in perfetta analogia con la legge di Coulomb)

−7

= à = 10

0

Il campo magnetico di un filo rettilineo è l’integrale di dB lungo il filo. B è perpendicolare al filo a R in ogni

punto quindi:

∞

0

⃗ ⃗

= ∫ ⋅ = 2

−∞

Se scambio B con I (spira di corrente), il campo magnetico è diretto come l’asse

Dal filo rettilineo si ottiene che

⃗ ⃗

0

∮ ⋅ = ∮ = ∮ ⋅ = LEGGE DI AMPERE

0 0

2

⃗

∮ ⋅ = = ∫ ⋅

La circuitazione del campo magnetico (integrale lungo una linea chiusa attorno al conduttore) è uguale alla

corrente che lo attraversa.

ROTORE → 0

Facendo il limite per il termine a dx diventa semplicemente l’intensità di corrente J e a sinistra il

rotore: ⃗

× =

→

Il campo magnetico non è irrotazionale non è conservativo

CORRENTE DI SPOSTAMENTO

Consideriamo questo circuito

Slide su corrente di spostamento ⃗

∮ ⋅ = +

⃗

⃗

× = +

TERZA EQUAZIONE DI MAXWELL

Corrente di conduzione esiste in corrente continua e in alternata.

= ∫ ⋅ c’è in metalli e dielettrici con perdite.

Corrente di spostamento esiste solo in alternata, cioè quando c’è un E(t).

⃗

= ∫ c’è in presenza di campo E, la parte all’interno dell’integrale è la densità di spostamento

LEGGE DI FARADAY

Nel 1831 Faraday si accorge che un campo magnetico tempo variabile induce una corrente elettrica in una

spira chiusa. La spira si comporta come se ci fosse un generatore interno. Se si taglia, ai capi si trova una

= −

tensione detta “forza elettromotrice indotta” che vale: LEGGE DI FARADAY

⃗

= ∫ ⋅

⃗

= ∮ ⋅

⃗ ⃗

∮ ⋅ = − ∫ ⋅

quindi

4° equazioni di MAXWELL

- Nota che se non c’è la spira va bene comunque, I=0 c’è il campo E

- La variazione di B induce I che genera B’ che si oppone a B. Nascono delle forze per cui è difficile

muovere la spira (dinamo della bicicletta, che fatica!! + veloce! + dura!)

⃗

∮ ⋅ = 0

- Se B=costate, cioè il campo elettrostatico è conservativo.

- L’integrale lungo una line