Appunti Laboratorio Quantitativo

Teoria statistica

La statistica si occupa della raccolta, della classificazione e dell'analisi dei dati che esprimono aspetti di fenomeni collettivi scelti come oggetto di studio e che si manifestano negli elementi di un determinato insieme. L'indagine statistica è lo strumento statistico mediante il quale si acquisiscono informazioni su uno o più fenomeni attinenti a una popolazione. Consta in diverse fasi: progettazione, realizzazione, elaborazione e presentazione.

Fasi dell’indagine statistica

La fase di progettazione consiste nella stesura di un documento di progettazione che specifica tutte le modalità che dovranno essere svolte nella rilevazione dei dati, nella loro elaborazione e nella presentazione dei risultati. Nella fase di realizzazione si devono seguire le specifiche del documento di progettazione per rilevare le informazioni che verranno successivamente trattate statisticamente nella fase di elaborazione. Nella fase di presentazione vengono presentati i risultati nel modo più efficace possibile.

Rappresentazioni grafiche

Le rappresentazioni grafiche rendono i dati più facilmente comprensibili rispetto a una semplice tabella numerica. I grafici riassumono efficacemente i dati statistici rendendo più evidenti le informazioni importanti. Esempi: diagramma circolare, istogramma, diagramma cartesiano o cartogramma.

Indicatori statistici

Un indicatore statistico è una funzione di un insieme di valori che viene usato in statistica per fare una sintesi dei dati. Si suddividono in:

• Indici di posizione: media, mediana, moda, ecc.
• Indici di dispersione: o di variabilità; permettono di studiare la dispersione dei valori di una serie; es. campo di variazione (presenta due problemi: dipende esclusivamente dal valore max e min registrati, senza considerare gli intermedi e su di esso influisce pesantemente la presenza anche di un solo valore anomalo), varianza, deviazione standard, ecc.
• Indici di concentrazione: indice di Gini, ecc.
• Indici di diversità: indice di Shannon-Wiener, ecc.
• Indici di correlazione: covarianza, ecc.
• Indice di simmetria.
• Indice di curtosi.

Precisione e accuratezza

La precisione è il grado di "dispersione" dei dati rilevati individualmente rispetto al valore medio della serie a cui appartengono. Può essere espressa come varianza, deviazione standard e coefficiente di variazione rispetto alla media. Descrive il grado di riproducibilità delle misure ed è una valutazione della concordanza dei dati ottenuti. Vengono distinti tre tipi di precisione:

• Ripetibilità: è la dispersione di valori ottenuta usando gli stessi strumenti, con gli stessi operatori, nelle stesse condizioni ed in un tempo ragionevolmente breve.
• Riproducibilità: è la dispersione ottenuta compiendo le stesse misurazioni con strumenti ed operatori differenti e/o su un tempo relativamente lungo.
• Precisione intermedia: esprime la dispersione ottenuta compiendo misurazioni all'interno di un laboratorio con lo stesso metodo, dallo stesso operatore, nello stesso laboratorio e con gli stessi strumenti, ma in tempi diversi.

L'accuratezza è la misura dello scostamento tra il dato teorico (o valore vero, valore reale) di riferimento e quello sperimentale ottenuto da una serie di valori misurati. È la differenza tra il valore medio della misura e il valore vero o di riferimento. Indica la vicinanza del valore trovato a quello reale. Viene espressa come errore assoluto ed errore relativo.

Tipi di errore sperimentale

Ogni misura presenta un'incertezza che è chiamata errore sperimentale.

• Errore sistematico o errore determinato: è un errore ricorrente (riproducibile) che può essere rivelato e corretto (strumentazione non tarata, errori di metodo, errore dell’operatore) e influenza l’accuratezza dei risultati, quindi la vicinanza della misura al valore vero (accettato). Gli errori sistematici introducono quindi un bias nella tecnica di misura. Per bias si intende la misura dell’errore sistematico, ossia dello scostamento rispetto al valore reale, associato ad un'analisi e può avere segno positivo o negativo.
• Errore casuale o indeterminato: deriva dall’effetto prodotto da una serie di variabili incontrollate (e talvolta incontrollabili come variazioni di temperatura e tensione elettrica, vibrazioni) e influenza la precisione di una misura, quindi la riproducibilità delle misurazioni.
• Errore grossolano: si presenta occasionalmente, è spesso elevato e fa sì che un singolo dato si discosti da tutti gli altri dati di una serie di misure replicate.

Quantificazione degli errori sistematici

Gli errori sistematici possono essere rilevati e compensati mediante:

• Analisi di campioni standard, se disponibili.
• Analisi del campione mediante un metodo indipendente, ovvero che prevede l'utilizzo di strumentazione di provata affidabilità o di riferimento.
• Analisi del bianco, cioè di una soluzione contenente tutti i componenti presenti nel campione in esame eccetto l'analita di interesse; il bianco ideale è costituito dalla stessa matrice in cui è contenuto l'analita di interesse.
• Analisi di campioni contenenti un diverso ammontare della variabile misurata.

L’errore sistematico viene quantificato mediante il calcolo dell’errore assoluto, ovverosia la differenza fra il valore osservato (o la media) e il valore reale utilizzando standard, ovvero campioni di analita a concentrazione nota. L'errore casuale è un errore di misurazione che può incidere influenzando la precisione del risultato. L’errore casuale ha pari probabilità di essere positivo o negativo (dispersione dei dati più o meno simmetrica intorno al valore medio) e non può essere corretto.

Distribuzione delle misure sperimentali

I dati si possono organizzare in gruppi di distribuzione di frequenza (cluster) e, per ciascuno di essi, si valuta la popolazione ovvero il numero di misure che rientrano in un determinato intervallo di ampiezza. Nel trattamento statistico dell’errore casuale in uno studio scientifico, si intende:

• Popolazione: è l’insieme di tutte le misure di interesse.
• Campione: sottoinsieme della popolazione selezionato per l’analisi e rappresentativo della popolazione stessa.

Stima della deviazione standard

Quando si ha a che fare con un campione di una popolazione si rimpiazza il numero di osservazioni n che si trova a denominatore della varianza con n – 1 perché non è nota la media dell’intera popolazione ma solo una sua stima corrispondente alla media del campione. Si parla quindi di stima della deviazione standard o di deviazione standard corretta (s).

Intervallo di confidenza

È possibile stimare la media x̄ e la deviazione standard s del campione. Grazie a questi valori, è possibile definire un intervallo in cui poter assumere ragionevolmente che in esso sia compreso il valore vero. Tale intervallo è chiamato intervallo di confidenza o intervallo di fiducia o limiti fiduciali. I valori estremi che definiscono l’intervallo di confidenza sono chiamati limiti di confidenza. L’intervallo di confidenza definisce quindi la probabilità che la media vera m giaccia entro una certa distanza dalla media stimata (misurata) x̄. La probabilità che il valore atteso di un parametro stimato sia incluso in un intervallo stimato del parametro stesso si chiama livello di confidenza (o di fiducia), si indica con 1-α ed è espresso con un numero tra 0 e 1 (o in percentuale). La quantità complementare si chiama livello di significatività.

Test t di Student

Il test t o t-test è un test statistico che viene utilizzato per verificare se il valore medio di una distribuzione si discosta in modo significativo da un certo valore di riferimento. Dal punto di vista analitico, il test t può essere usato per esprimere gli intervalli di confidenza, per confrontare i risultati di diversi esperimenti e, più in generale, per confrontare medie di due popolazioni diverse. I valori di t si trovano tabulati in tabelle presenti in tutti i testi di statistica.

Confronto delle medie con il test t

Il test t viene utilizzato per confrontare due serie di misure al fine di decidere se sono o non sono significativamente differenti tra loro. Se t _calcolata > t _tabulata (al 95%) la differenza è significativa. Il t-test si usa anche come confronto di misure ripetute (t-test non accoppiato); e come confronto di singole differenze: questo è il caso che viene utilizzato per confrontare due metodi differenti per effettuare singole misure sugli stessi campioni.

Confronto delle deviazioni standard col test F

Se da una parte il test t consente il confronto di medie, il test F viene utilizzato per il confronto di due varianze. Il test F è un test di ipotesi basato sulla distribuzione F di Fischer ed è volto a verificare l’ipotesi che due popolazioni che seguono entrambe una distribuzione normale, abbiano la stessa varianza. Dal punto di vista dell’analisi chimica, il test F risulta particolarmente utile per confrontare le precisioni in termini di deviazione standard. Se F _calcolata > F _tabulata, allora la diversità è significativa.

Analisi della varianza (ANOVA)

L’analisi della varianza (ANOVA) permette di confrontare più di due medie di popolazioni cioè se esiste una differenza nelle medie di più di due popolazioni. Le popolazioni presentano valori diversi di una caratteristica comune chiamata fattore. Il fattore è la variabile indipendente, mentre la risposta è la variabile dipendente. I differenti valori del fattore di interesse vengono chiamati livelli del fattore. Quando sono coinvolti più di un fattore, si utilizza ANOVA a due vie (es. effetto della temperatura e pH sulla velocità di reazione). L’analista è un fattore e i diversi analisti sono i livelli del fattore. Il principio dell’ANOVA è di confrontare la variazione tra i diversi gruppi (livelli) rispetto alla variazione all’interno di ciascun gruppo (livello). L’ipotesi nulla è vera quando le variazioni tra le medie dei gruppi è simile alla variazione all’interno dei gruppi. L’ipotesi nulla è falsa quando la variazione tra le medie dei gruppi è maggiore rispetto alle variazione tra i singoli gruppi. Il test di base dell’ANOVA è il test F. Un valore alto di F rispetto a quello tabulato fa scartare l’ipotesi nulla a favore di quella alternativa.

Errore grossolano o occasionale

Si verifica occasionalmente, è spesso grande e provoca un significativo scostamento di un singolo dato (outlier) da tutti gli altri. Può capitare, nel corso di una misura, di avere un valore che si discosta significativamente da tutti gli altri dati replicati (outlier). È necessario stabilire se il valore ottenuto deve essere utilizzato per il calcolo della media oppure se va considerato un dato anomalo e quindi scartato. La scelta va fatta seguendo uno dei criteri codificati ed accettati.

Il test Q per i dati sospetti

Il test Q o test di Dixon o Q-test è un test statistico utilizzato per scartare o meno dati sospetti detti anche outlier. Se il Q _calcolato è maggiore del Q _tabulato allora si può scartare il valore, con affidabilità pari alla percentuale riportata. Nota bene: al massimo un valore per serie di dati può essere eliminato con il test Q, se si vuole preservare l'integrità statistica dei dati.

Minimi quadrati

Il più semplice metodo di regressione lineare è quello dei minimi quadrati che permette di identificare la miglior retta che passa attraverso i punti corrispondenti ai dati sperimentali mediante la minimizzazione dei quadrati delle distanze tra i punti sperimentali e la retta supposta ideale (solo deviazioni verticali). L’equazione della retta di calibrazione è: y = m.x + b. Il coefficiente di determinazione della regressione R² può assumere valori compresi tra 0 e 1 che indicano la qualità dell’equazione calcolata. Infatti: R² = 0 non c’è alcuna relazione tra le variabili x e y. R² = 1 si ha una perfetta relazione tra le variabili x e y, quindi ad un determinato valore di x esiste solo un valore di y.

Selettività e sensibilità

La selettività indica la capacità per un metodo analitico di riconoscere e/o quantificare una specie chimica in presenza di altre, che sono potenzialmente in grado di falsare i risultati delle analisi (interferenti). La sensibilità è il rapporto tra la risposta strumentale e la quantità dell’analita. È rappresentata dalla pendenza della curva di calibrazione in uno specifico intervallo di concentrazione. Se la calibrazione è lineare, la sensibilità è il coefficiente angolare della retta di calibrazione.

Incertezza di una misura

Tutte le misure sono affette da un certo grado di incertezza la cui entità può dipendere sia dall’operatore, sia dallo strumento utilizzato. Si definisce incertezza assoluta il margine d’incertezza associato a una misura. Si definisce incertezza relativa il rapporto fra incertezza assoluta e valore della misura.

Cifre significative

Il numero di cifre significative è dato dalle cifre note con certezza alla prima cifra il cui valore è incerto, non tenendo conto della posizione della virgola. Dato un numero, sono cifre significative tutte quelle che lo compongono ad esclusione degli zeri alla sua sinistra in quanto tali zeri servono solo a determinare l’ordine di grandezza del valore in esame. Gli zeri a destra sono da considerarsi cifre significative tutte le volte che si trovano in posizioni decimali e quando sono parte di un numero. Se il numero è intero, sono da considerarsi significativi quegli zeri che il numero è obbligato a conservare. Solo l’ultima cifra sulla destra del numero può essere incerta e le sue variazioni sono valutabili nell’intervallo ±1. Regole generali per gli arrotondamenti: il risultato deve essere arrotondato in modo da contenere solo cifre significative. È importante non ricorrere ad arrotondamenti fino a quando il calcolo non sia stato ultimato e comunque dovrebbe essere mantenuta una cifra significativa in più per tutto il calcolo in modo da eliminare l’errore introdotto dall’arrotondamento iniziale.

Addizione e sottrazione

Se i numeri da sommare o sottrarre hanno lo stesso numero di cifre significative, allora il risultato dovrà essere espresso con lo stesso numero di cifre significative. Se i numeri da sommare o sottrarre non hanno lo stesso numero di cifre significative, il risultato dovrà essere espresso con il numero di cifre significative corrispondente al dato più incerto.

Moltiplicazione

Il prodotto o il quoziente viene espresso con tante cifre significative quante ne contiene il termine meno preciso, cioè quello che ne possiede meno di tutti.

Analisi volumetrica

La normalità o è il numero degli equivalenti di un soluto disciolti in un litro di soluzione. N = n _eq / V. Il numero di equivalenti (n _eq) è dato dal numero di moli (n) moltiplicato per la valenza operativa (VO): n _eq = n *VO. Un equivalente di acido è la quantità di sostanza che cede una mole di ioni H⁺ dissociandosi; mentre quello della base cede OH^-. Un equivalente di ossidante è la quantità di sostanza che acquista una mole di elettroni in una reazione redox; mentre il riducente cede una mole di elettroni. La legge dell’equivalenza chimica: un equivalente di una specie chimica reagisce sempre con un equivalente di un'altra, dando un equivalente di prodotto.

Titolazioni

Le titolazioni sono metodi d’analisi basati sulla misura della quantità di agente titolante (reagente) a concentrazione nota che viene consumata nella reazione con l’analita. Le titolazioni si suddividono in:

• Volumetriche: si misura il volume della soluzione del reagente a concentrazione nota, necessario per reagire completamente con l’analita.
• Gravimetriche: si determina la massa del campione.
• Coulometriche: si misura la quantità di carica in coulomb richiesta per completare la reazione con l’analita.

L’analisi volumetrica utilizza, come suggerisce il nome, volumi di soluzioni a concentrazione nota ed è un particolare tipo di analisi quantitativa che utilizza il presupposto che soluzioni di eguale molarità sono tra loro equivalenti. In base al tipo di reazione utilizzata si suddividono in:

• Acidimetria e alcalimetria (reazioni di salificazione o neutralizzazione).
• Ossidimetria (reazioni redox).
• Complessometria (reazioni di formazione di complessi).
• Precipitometria (reazioni di precipitazione).

In base alle modalità operative, i metodi di analisi volumetrica si suddividono in:

• Titolazione diretta: si aggiunge direttamente il titolante all’analita fino al punto finale.
• Retrotitolazione: si aggiunge un eccesso noto di reattivo alla soluzione da titolare e si titola quello che non ha reagito tramite un opportuno titolante.
• Titolazione indiretta: l’analita viene fatto reagire quantitativamente in modo da formare una specie che poi viene titolata.

Nell'analisi volumetrica, la concentrazione di analita viene determinata mediante titolazione, cioè mediante aggiunta di un volume noto di una soluzione di reattivo a concentrazione nota, il titolante, che reagisce quantitativamente con l'analita in esame. Il punto di arresto o punto finale è il punto in cui vengono interrotte le aggiunte di titolante e deve essere il più possibile vicino al punto equivalente o punto di equivalenza cioè al punto in cui si sarebbe giunti dopo aver aggiunto la quantità esattamente stechiometrica di titolante.