Appunti Istituzioni di Matematica

Appunti delle lezioni del corso di Istituzioni di Matematica tenuto al primo anno della laurea triennale in Scienze Geologiche basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. D'Alessandro dell’Università degli Studi di Roma La Sapienza. Scarica il file in formato PDF!

Esame Istituzioni di matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. D'Alessandro Flavio

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Publisher Miri__0

A.A. 2019-2020

85 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Prof. Flavio D'Alessandro

Elementi di analisi matematica
Geometria analitica e algebra lineare
Informatica

Inserire I Numeri

R numeri reali

N numeri naturali

Z numeri relativi

Q numeri razionali

C numeri complessi

Catena di inclusione insiemistica \( N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R \subseteq C \)

Operazioni: \( + \) (somma), \( \cdot \) (prodotto)

Se \( a, b \) sono in un insieme \( N \) allora \( a+b, a\cdot b \) lo sono.

Leggi:

Commutativa: \( \forall a, b \in C \, \, a+b = b+a \, \, a\cdot b = b\cdot a \)
Associativa: \( \forall a, b, c \in N \, \, a+(b+c) = (a+b)+c \, \, a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c \)
Distributiva: \( \forall a, b, c \in N \, \, a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c \)

Numeri Speciali

\( 0 \) -> \( a+0 = a \) identità

Notazione Insiemistica

Un insieme è una classe ben definita di oggetti.
È opportuno \( \forall x \) comune a ciascuno quantificatori universali
\( \exists \) quantificatore esistenziale
Se \( A \subseteq B allora \, \forall x \, \, x \in A \Rightarrow x \in B \)
\( \cdot \) Relazione di inclusione insiemistica
Se \( A \subseteq B allora \, \, \forall x \, \, x \in B \slash A \) sotto insieme proprio \[ \exists \, \, \, \, \, \, \, \, \, \] x che elemento di A ma anche elemento di B esiste un elemento di B diverso a A con \( a \in B, b \in GGB, \exists \) \( a \in A \)
\[ A = \{1, 2, 3 \}, \, \, A \subseteq B \subseteq C \subseteq \bigcirc \]

Difetto N è algebrico \( a-b = \pm \Rightarrow Z \, \, \subseteq \subseteq \)

\( Z = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 \)

Operazioni e leggi addolcite

Abbiamo introdotto numero opposto da N.

Difetto Z è metricopreludio H mi compiuq uinex frandouzemp

\( Q \subseteq Q \leftarrow Z \subseteq \subseteq \subseteq \, Q \)

\( Q = \left\{ \frac{p}{q} : p \in Z, g \in N, q \leq 0 \right\} \)

\( N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R \)

\( P \in Z \, p, f \in Q \)

È dato dal rapporto di due numeri interiRapparentazione canonica di un numero razionale

\( \forall c \, \ \, P = (e \in N), q \not= 0 \Rightarrow (P, q) devono... avere fattori comuni

\( \cos \theta^2 \, mod += 1 \)

\( 2 = 2 \)

\( \frac{a}{b} \, = \frac{\mu Z}{nZ} \)

Proprietà

a, b, c ∈ ℚ
a+(b+c) = (a+b)+c
a(b·c) = (a·b)·c

Associative

a+b=b+a
a·b=b·a

Commutativa

a(b+c) = a·b+a·c

Distributiva

a·1 = 1·a = a

Elementi neutri per + e ·

a+(-a)=(-a)+a=0

Opposto

∀ a ≠ 0, ∃ a^-1, a a^-1=1

Inverso di &Chopf;

Teorema

E' uno struttura con seguenti oggetti:

Oggetto δ
Ipotesi = condizioni che δ deve soddisfare (possono non esistere)
Tesi = conclusione che δ soddisfa in presenza delle ipotesi

Dimostrazione = sequenza di ragionamenti elementari che permettono di partire da δ e ottenere la tesi che soddisfa le ipotesi

Teorema d'assorbimento

Siano a, b, ε ℚ,

Se a·b=a, allora a=0 ∨ b=1

Dimostrazione

∃ a, b ≠ 0, con ab=a => a(a^-1)b=a(a^-1) =>

=> ab=1 => a = a·1 = a(b(b^-1)) = ab(b^-1) => b=1

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

X, Y ⊂ ℝ

x = oria detta variabile o piu impropriatili X ⊂ X ⊂ ℝ ⇒ f(x) ∈ Y ⊂ ℝ

Il GRAFICO do f in un sottoinsieme do ℝ, contratto G_f, e obiettivo e come:

{(x, f(x)): x ∈ X}

X = { ...}

@ f(x) = x

f(0) = 0
f(1) = 1
f(-1) = -1

G_f = {(x, x): x ∈ ℝ}; G_f {(x, -x): x ∈ ℝ}

a) f(x) = |x| = { x se x>0- x se x

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