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Dimostrazioni
1. Dimostrazione Diretta
Hp: ipotesi. m ∈ ℕ m dispari
Th: tesi. m2 dispari
Qualsiasi numero dispari si può scrivere m = 2k + 1. Per dimostrare il teorema occorre poter scrivere m2 come (numero pari) + 1.
m2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1
Poiché 2(2k2 + 2k) è un intero pari, m2 è dispari.
2. Controesempio
È un esempio di oggetto x che soddisfa le ipotesi di un teorema, mostrandone la falsità.
Hp: m ∈ ℕ m primo
Th: m dispari
Hp ≠ Th perchè il numero m = 2 è un numero primo ma pari e fornisce il controesempio che dimostra la falsità della tesi.
3. Dimostrazione per Assurdo
Hp: ∀ m ∈ ℕ m2 pari
Th: m pari
Supponiamo per assurdo che ∃ m ∈ ℕ m dispari tale che m2 pari. Poiché m è dispari, m = 2k + 1
m2 = (2k + 1)2 = 2(2k2 + 2k) + 1 Anche m2 è dispari.
Inizialmente si nega la tesi, se anche l’ipotesi viene negata allora il teorema è risultato.
Non esiste un numero razionale la cui quadra è 2.
Supponiamo per assurdo che ∃ r ∈ ℚ tale che r2 = 2
Si suppone che la frazione termini uguali, ma m sono primi tra loro.
Somma
Siano a1, a2, ..., am numeri reali, la loro somma si può indicare con il simbolo di sommatoria
- PROPRIETÀ
- Prodotto per una costante
∑ ciai= c ∑ak
Somma di sommatorie
∑i:=kai=∑i:=lai + ∑i:=lai
Scomposizione
∑i:=kak=∑i:=kai + ∑i:=kak
Trasformazione di indice
∑k:=nan=∑i=mak+i
Riflessione di moduli
∑k:=1m(m2(m-1)(k-bar)(-1)k
- Proprietà telescopica
- ∑=k1 ∑Kn-m-1n-1
∑k=1m(k2-3(k-1)3+3k-1-1/
Binomio di Newton
P(m): (a+b)m = ∑ k=0 mCk ak bm-k
- Per m=0
P(0) => (a+b)0= 0C0 a0 b0 = 1=1 vero.
- Supponiamo che P(m) sia vera e dimostriamo per P(m+1)
(a+b)m+1= (a+b)(a+b)m Per ipotesi induttiva
(a+b)m= ∑ k=0 mCk ak bm-k quindi
(a+b)m+1= (a+b) ∑ k=0 mCk ak bm-k = ∑ k=0 mCk ak+1 bm-k + ∑ k=0 mCk ak bm+1-k
Ponniamo h=k+1 solo nella 1a somma se k=0 h=1 se k=m h=m+1
∑ h=1 m+1Ch ah bm+1-h + ∑ k=0 mCk ak bm+1-k
Ponniamo solo nella 2a somma h=k
∑ k=0 mCk ak+1 bm+1-k = ∑ k=1 m+1Ck ak bm+1-k
Nella 1a e 2a ho il primo elemento per k=m+1 e nella 2a se 2
devo l'ele elemento per k=0
mC1 am+1 bm+(m+1) + mC0 a0 bm+1 + ∑ k=1 m Ck am+1 bk-1 akm Cm ak1 m Ck am1 m+1
=am+1 + mCm+1 a0bm+1= ∑ K m+1 ( k+1 - ( m + bmk=1) ∑ K m + b +m =∑
Sommo le sommarie
am+1 + amb = ≤≤αmCK +ak bk + a (1)v e (2)
Applico la formula ( mCm bk=1 K1)
=αm+1(m k+1)
= am+1 am + (phagan1) + bC2 ( m+1 m5
Iminesso nella a αm+1 0 δ > 0 ∀m ↗ m0 vuota che R ∈ anbn
sub>n < an
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