Appunti Geometria e Algebra Lineare

VETTORIALI SOTTOSPAZI

Vspazio vettoriale è un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V se unIK ≤ un, sottospazio se le seguenti proprietà vettoriali di V valgono per W:

1. La somma di due vettori in W è ancora in W.
2. Il prodotto di un vettore in W per uno scalare è ancora in W.

Ad esempio, per stabilire se W = { (x1, x2) | x1 + 4x2 = 0 } è un sottospazio di R2, considero due vettori generici in W: (x1, x2) e (y1, y2).

1. Verifico la prima proprietà: (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2). Se x1 + 4x2 = 0 e y1 + 4y2 = 0, allora (x1 + y1) + 4(x2 + y2) = (x1 + 4x2) + (y1 + 4y2) = 0 + 0 = 0, quindi la somma di due vettori in W è ancora in W.
2. Verifico la seconda proprietà: a(x1, x2) = (ax1, ax2). Se x1 + 4x2 = 0, allora ax1 + 4ax2 = a(x1 + 4x2) = a(0) = 0, quindi il prodotto di un vettore in W per uno scalare è ancora in W.

Essendo entrambe le proprietà verificate, allora W è un sottospazio vettoriale di R2.

Per stabilire se E = { (x1, x2, x3) | x1 - 3x2 - 3x3 = 0 } è un sottospazio di R3, considero un vettore generico in E: (x1, x2, x3).

Verifico la proprietà: x1 - 3x2 - 3x3 = 0. Quindi E è un sottospazio vettoriale di R3.

Per verificare se IR3 è un sottospazio di IR3, la verifica NON è necessaria in quanto IR3 è tutto lo spazio vettoriale stesso.

W→W Epreliminare NOc-: Oo =- ☐-, LICOKQuindi proprietà veriprimala nonla seconda sonoe .-04È{ES 3 R2( ?stabilire un ' dic- sottospaziose un≤ne: × en ≥✗: o, ,?) ?( ?W ✓0.0 E ✓◦ o 0≥≤ o"W 1) somma di Wqualsiasi W inla elemento stadi2) NONSe 170il risultatogenerico sta èW AEIR veroel W solomolti seUn maunper →inp . . { IRMR2 04Gli unici sottospazi rettele passanti l'sonodi origineper× e,≥ 3--74 ?V23') R1×11×21×3 diretistalattite4 sottospazioES C- e: 2×1+3×2: unse ✗-'?)Io E IRdièWNON° 0 W !No soli, ., 4 >}{ R3)(ES diSOHIR5 W 3×2 vettoriali'' Ese ✗2×1✗ +stato :✗✗ 3=0- e21- , .,. ?)g) (considero (generici rettori Wz W WEW Ee 441 42E✗2 Wntwzxn =xzwn := ], ,, ,)) ((3)(WzWi 4342 2+421×3+43✗ 41 +1+ -141=+ ✗✗1) 1 ✗= 2 ,,i ,, ( ))21×1+411+3 ( verificata→ 1)Us+42 ✗ +3 o=× -> WC-perche v1= W→W Epreliminare NOc-: Oo =- ☐-, LICOKQuindi proprietà veriprimala nonla seconda sonoe .-04È{ES 3 R2( ?stabilire un ' dic- sottospaziose un≤ne: × en ≥✗: o, ,?) ?( ?W ✓0.0 E ✓◦ o 0≥≤ o"W 1) somma di Wqualsiasi W inla elemento stadi2) NONSe 170il risultatogenerico sta èW AEIR veroel W solomolti seUn maunper →inp . . { IRMR2 04Gli unici sottospazi rettele passanti l'sonodi origineper× e,≥ 3--74 ?V23') R1×11×21×3 diretistalattite4 sottospazioES C- e: 2×1+3×2: unse ✗-'?)Io E IRdièWNON° 0 W !No soli, ., 4 >}{ R3)(ES diSOHIR5 W 3×2 vettoriali'' Ese ✗2×1✗ +stato :✗✗ 3=0- e21- , .,. ?)g) (considero (generici rettori Wz W WEW Ee 441 42E✗2 Wntwzxn =xzwn := ], ,, ,)) ((3)(WzWi 4342 2+421×3+43✗ 41 +1+ -141=+ ✗✗1) 1 ✗= 2 ,,i ,, ( ))21×1+411+3 ( verificata→ 1)Us+42 ✗ +3 o=× -> WC-perche v1=

percheo WZEW= o ?3)(2) AnnAconsidero IRgenetico EW WE C-rettore Wi ✗✗ genun e un✗= 1 :2, , .(1×1,7×2,7×3)( ( (2×11--3%3)=01) 3) 1×3=721×1+31×2A Vette→Wn ✗ ✗✗ = →= 21 -,, perché un EW- o-' 4{unici RdispariGli sotto sono ◦: - }{ È- OriginRette passanti- ✗piani passanti orig- x .la UNEAREcombinazione vettorialeVsia 11 Insuspazio campouno un: IK .. .dielementi Si rettoridi1K dice V1 .vncombinazione lineare Una qualunque.. .UnInV2tipo 12 Vettore11di Risultato+somma diV1 V→++ =. . ..A colla . acoellsi DIPENDENTI esisteLINEARMENTE rione linearedicono una cambinolorose , .dàtutti nulli ilrisultatoche rettorenon nullocome, .INDIPENDENTILINEARMENTE risultatoSono l' Comb che dase unica comelineareloro .il Avettore ovvero tuttinullo quella nullicoelliha0= chee ..V212 11=1211 InV1 +-1 VM implica+ In == 0-... .. .. ??:( indipIR clip) 1)ESEMPIO Vllt (i sono1 di1,2V1 v2 4: oe - ,. ..-19211devo

risolvere V1 Va o=1) )) 12 (0/0)(( () 482,72+ =11 41,2 271)0,0 t= 1 ,,{ 11 -1412=0 { 71 "-412 { °="= uneorm.in ouypsono .412271+72=0 C- ) -11 12=02 ovvero settori= dueio che, stessasullanon sono contrarioretta il. di vettoritrattasise )Iva(dipendenti V1 - ?( )ESEMPIO (( ) V2 1i ) d1,13 0,21,1V12 V3V 0 sonoe: = oDlp in= = ,,,. ,f)/ /|/ 73=-11/! / =/ ?=/! →È Èa "a + 71 1172da+ 1- = -→= o sina.nir.am» ao. - -=> .( )segue tiquindi-11 Antutteche 1leMa terme 11 soluzionesono se-,,(f)) (7)!| (f) ciò chedirevuolDipendentiC- uno1) 1)C- >==1- ++ puòsidei B. linearescriveretre come com'=/ f)(G)complanari (f)mentre l'sono V1 v31.↳0W +=, + .< =fossero indi} penase non sarebbero.1123complanari inSpariconsideriamo definìdirettori siinsieme V 1Kun spaziodi uno reti su campounn . .l' insiemeSPANUNEARE i { 4/( /) AihaSpan V171V1 V2V2 1KC-+ Anton.vn +=- ., . ..,vettoridi itutti si dicombinazionechevoiscriverepossono Vnlineare vaicome . ., . .puòSi ilspam chiamatoè Vdidimostrare Vettoriale èsoltospche edun anche. ?sottospazio (èvettoriale talvolta Lindicatoda .vnV1V2 V2generato .vnv1 con. .. .,, , .V1 V2✗ }UnO , . . . R2 114tutti( rettoridiESEMPIO 1 ) dii tipo' contieneV1v1 alloraun vettore L1=0se: equindi direzionesi della ditratta V1originel'retta passante persuoi multiplitutti sulla rettaiun il→ quindisono Spansuo> originesarà l' avente direzionerettala passante laperdel settore .ESEMPIO 11222 (: deltutti) rettoriV.to idivettori contienev2 allora Lsono 2#e v20 v1 ,tipo In tratta quindiV1 Si72 V2 :+ .' rettori paralleliIR idell' due sonoseintero non- vettoril' parallelidella iretta origine V1 V2 sopassarne contiene sono2per- che e(↳ ) )V2Lquesto LIV1in V1coso =, lineare vettorideicombinazione paralleliQualunque di èvettore piano non2questo↳ fossero ) (( '(se ) V2L Combparalleli →

Una perV1 lineare moltiplicato=LV2 una certav1: , .)costante . } LIvettori )i IR alloraESEMPIO contiene i vettorituttiV1due in3 se vs V2 Sono-1-0to:del quinditipo V1 Si32 V2 tratta71 + :. paralleliNONoriginel'del Seipiano contienepassante V2cheper voltv1 sono2e-[ . )contienedella Liverutto ( )paralleli 2sonopassante se >0per ciche vi.= va -.,↳^ ' ≥ quindisise IRVettori di tratterebbe.tot-ovz.tov1 V3 :{ È } complanariNONveltintero spazio sonoise- ." originel' almeno' passante paratisonopiano se 2per nonI :> - , ." complanarituttisono- 3e e✓ . l'Di originerettauno passante paralleliseper sono- , .GENERATORI vettorii diognidiI GeneratoriSISTEMAsi dicono V vettoreYnv1Di: se. . ., ( )✓combinazione✓ linearepuò =Lsi diottenere YnV2 V1seovvero V2come V11 Vn,, .. ... .si rettoridice di VVnche V2V1 una basei :sesono. . ., ""}INDIPENDENTI GeneratoriliberoLINEAR DiDettosono sistemaanche- .. ai generatoriinsiemeunsono-

La base V è costituita da un insieme di vettori, dove ogni vettore è costituito da una base diversa nello spazio. Quindi si può dire che la dimensione di V è n.